2017年小升中數學知識點:雞兔同籠問題
為了能更好更全面的做好複習和迎考準備,確保將所涉及的考點全面複習到位,讓孩子們充滿信心的步入考場,yjbys小編現特准備了小升中數學知識點——雞兔同籠問題。希望對各位考生有幫助!
基本概念:雞兔同籠問題又稱為置換問題、假設問題,就是把假設錯的那部分置換出來;
基本思路:
①假設,即假設某種現象存在(甲和乙一樣或者乙和甲一樣):
②假設後,發生了和題目條件不同的差,找出這個差是多少;
③每個事物造成的差是固定的,從而找出出現這個差的原因;
④再根據這兩個差作適當的調整,消去出現的差。
基本公式:
①把所有雞假設成兔子:雞數=(兔腳數×總頭數——總腳數)÷(兔腳數——雞腳數)
②把所有兔子假設成雞:兔數=(總腳數一雞腳數×總頭數)÷(兔腳數一雞腳數)
關鍵問題:找出總量的差與單位量的差。
例、籠中有若干只雞和兔,它們共有50個頭和140只腳,問雞兔各有多少隻?
解法1 假設法
假設一個未知數是已知的,比如假定50個頭全是兔,則共有腳(4×50=)200(只),這與題中已知140只不符,多出(200-140=)60(只),多的原因是雞當兔後每隻雞多算了2只腳,所以雞的只數是(60÷2=)30(只),則兔的只數為(50-30=)20(只)。
解法2 公式法
讓每隻雞呈金雞獨立之狀,每隻兔呈玉兔拜月狀,着地的腳數之和有(140÷2=)70(只),其中雞的頭數與腳數相等,由於每隻兔的腳比頭數多1,因此兔的頭數為(70-50=)20(個),即兔有20只,則雞有(50-20=)30(只)。
實際上我們用瞭如下的公式。
腳數和÷2-頭數和=兔子數。
典型例題
例【1】 雞兔同籠,共有45個頭,146只腳。籠中雞兔各有多少隻?
分析 題目中給出了雞、兔共45只。如果假設這45只全都是兔子,那麼就應該有180只腳。而題目只告訴我們有146只腳,我們算的180只腳和實際相比多算了34只腳。為什麼呢?因為一隻雞是兩隻腳,而我們把它當成4只腳算了。如果用一隻雞來置換一隻兔,就要減少2之腳,那麼,34只腳裏包含多少個2只腳,也就是我們把多少隻雞當成了兔子,顯然34÷2=17(只)。所以雞有17只,兔子有28只。當然,我們也可以把45只都假設成是雞,把以上問題反過來考慮。
解法一 假設全是兔子。
(4×45-146)÷(4-2)=17(只)——雞
45-17=28(只)——兔
解法二 假設全是雞。
(146-2×45)÷(4-2)=28(只)——兔
45-28=17(只)——雞
答:雞有17只,兔子有28只。
例【2】 盒子裏有大、小兩種鋼珠共30個,共重266克,已知大鋼珠每個11克,小鋼珠每個7克。盒中大鋼珠、小鋼珠各有多少個?
分析 假設全部都是大鋼珠,則共重:11×30=330(克);
比原來的克數重:330-266=64(克);
小鋼珠的個數是:64÷(11-7)=16(個)
大鋼珠的個數是:30-16=14(個)
同樣,也可以假設全部都是小鋼珠。算法一樣。
解法一 假設全是大鋼珠。
(30×11-266)÷(11-7)=16(個)——小鋼珠
30-16=14(個)——大鋼珠
解法二 假設全是小鋼珠。
(266-30×7)÷(11-7)=14(個)——大鋼珠
30-14=16(個)——小鋼珠
例【3】 一個集郵愛好者買了10分和20分的郵票共100張,總值18元8角。這個集郵愛好者買這兩種郵票各多少張?
分析 先假定買來的100張郵票全部是20分一張的,那麼總值應是2000分,比原來的總值多120分。而多的120分,是把10分一張的看作是20分的一張的,每張多算10分。因此可以先求出10分一張的郵票有多少張。
解 10分一張的郵票的張數有:
(2000-1880)÷(20-10)=12(張)
20分一張的郵票張數有:
100-12=88(張)
答:10分一張的郵票有12張,20分一張的郵票有88張。
例【4】 學校買來3個排球和2個足球,共花去111元。每個足球比每個排球貴3元。每個排球和每個足球各多少元?
分析 根據“每個足球比每個排球貴3元”可知,當把買2個足球換成買2個排球時,買球共花的錢就會比原來少6元,現在買的是(3+2)個排球,因此,可以求出每個排球的價錢。
解 每個排球的價錢:
(111-3×2)÷(3+2)=21(元)
每個足球的價錢:
21+3=24(元)
答:每個排球的價錢是21元,每個足球的`價錢是24元。
財務小管家:1. 瓷器商店委託搬運站運送800只花瓶,雙方商定每隻運費是0.35元,如果打破1只,不但不計運費,而且要賠償2.50元,結果運到目的地後,搬運站共得運費268.6元,求打破了幾隻花瓶?
2. 藍墨水和紅墨水,以前都是3角錢一瓶,王營國小每學期都花12元買若干瓶.現在每瓶藍墨水漲價5分,每瓶紅墨水漲價3分,雖然買的兩種墨水瓶數還和各學期相等,但比每學期都多付1.8元.該校每學期買兩種墨水各多少瓶?
例【5】 買2支鋼筆的價錢等於買8支圓珠筆的價錢。如果買3支鋼筆和5支圓珠筆共花17元,問兩種筆每支各多少元?
分析 根據“買2支鋼筆的價錢等於買8支圓珠筆的價錢”,可知“買1支鋼筆的價錢等於買4支圓珠筆的價錢”,買3支鋼筆的價錢可以買(4×3)支圓珠筆。這樣,我們就可以將買鋼筆的支數轉換為買圓珠筆的支數了。從而順利地求出每支圓珠筆的價錢。
解 一支圓珠筆的價錢:
5+(8÷2)×3=17(支)
17÷17=1(元)
一支鋼筆的價錢:
1×8÷2=4(元)
答:一支鋼筆4元,一支圓珠筆1元。
新型雞兔同籠
某些問題中的量可能並不是雞與兔,但是其本質仍是雞兔同籠問題.比如下面兩個問題.我們都採用第二種假設與置換法來解決.
例題1:在一個停車場上,汽車、摩托車共停了60輛,一共有190個輪子。其中每輛汽車有4個輪子,每輛摩托車有2個輪子,求停車廠上汽車和摩托車各有多少輛?
解:假設60輛都是汽車,則有輪子(60×4=)240個,比已知條件多出(240-190=)50個,這是因為每一輛摩托車被假設為汽車時,就多出2個輪子,所以多出來的50輪子中包含多少個2個輪子,就是多少輛摩托車被假設為汽車的輛。
摩托車:(60×4-190)÷(4-2)=25(輛)
汽車:60-25=35(輛)。
例題2:某國小舉行一次數學競賽,共15道題,每做對一題得8分,每做錯一題倒扣4分,小明得72分,他做對多少道題?
解:假設15道全對了,則得(8×15=)120分,比已知條件多(120-72=)48分,這是因為每一道錯題假設為對題時,相差(8+4)=12分,所以求出來的48分中包含幾個12,就是做錯題的數量。
做錯題:(8×15-72)÷(8+4)=4(道)
做對題:15-4=11(道)。
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