小升中重點知識點:餘數問題
一、中國古代剩餘定理
我國明朝有位大數學家叫程大位,他在解答“物不知其數”問題(即:有物不知其數,三三數之剩二,五五數之剩三,七七數之剩二,問物幾何?)時用四句詩概括出這類問題的優秀解法:“三人同行七十稀,五樹梅花廿一枝,七子團圓正月半,除百零五便得知.”這首詩就是解答此類問題的金鑰匙,它被世界各國稱為“中國剩餘定理”(ChineseRemainderTheorem),是我國古代數學的一項輝煌成果。詩中的每一句話都表示一個步驟:三人同行七十稀,是説除以3所得的餘數用70乘。五樹梅花廿一枝,是説除以5所得的餘數用21乘。七子團圓正月半,是説除以7所得的餘數用15乘。除百零五便得知,是説把上面乘得的3個積加起來,減去105的倍數,減得差就是所求的數。此題的中國剩餘定理的解法是:用70乘3除所得的餘數,21乘5除所得的餘數,15乘7除所得的餘數,把這3個結果加起來,如果它大於105,則減去105,所得的差如果仍比105大,則繼續減去105,最後所得的整數就是所求。
二、餘數性質
同餘定義
如果a,b除以c的餘數相同,就稱a,b對於除數c來説是同餘的,且有a與b的差能被c整除。(a,b,c均為自然數)
例如:17與13除以3的餘數都是2,所以(17-11)能被3整除。
同餘定理
(一)可加性
a與b的和除以c的餘數,等於a,b分別除以c的餘數之和(或這個和除以c的餘數)。
例如:23,16除以5的餘數分別是3和1,所以(23+16)除以5的餘數等於3+1=4。
注意:當餘數之和大於除數時,所求餘數等於餘數之和再除以c的餘數。
例如:23,19除以5的餘數分別是3和4,所以(23+19)除以5的餘數等於(3+4)除以5的餘數。
(二)可減性
a與b的差除以c的餘數,等於a,b分別除以c的餘數之差。
例如:23,16除以5的餘數分別是3和1,所以(23-16)除以5的餘數等於3-1=2。
注意:當較大數的餘數小於較小數的餘數時,所求餘數等於c減去餘數之差。
例如:23,19除以5的餘數分別是3和4,所以除以(23-19)的'餘數等於5-(4-3)=4。
(三)可乘性
a與b的乘積除以c的餘數,等於a,b分別除以c的餘數之積(或這個積除以c的餘數)。
例如:23,16除以5的餘數分別是3和1,所以除以5的餘數等於。
注意:當餘數之積大於除數時,所求餘數等於餘數之積再除以c的餘數。
例如:23,19除以5的餘數分別是3和4,所以除以5的餘數等於除以5的餘數。
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