小升中奧數幾何五大模型知識點彙總
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一、等積模型
①等底等高的兩個三角形面積相等;
②兩個三角形高相等,面積比等於它們的底之比;
兩個三角形底相等,面積比等於它們的高之比;
如下圖:
③夾在一組平行線之間的等積變形,如右圖;
反之,如果,則可知直線AB平行於CD.
④等底等高的兩個平行四邊形面積相等(長方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形);
⑤三角形面積等於與它等底等高的平行四邊形面積的一半;
⑥兩個平行四邊形高相等,面積比等於它們的底之比;兩個平行四邊形底相等,面積比等於它們的高之比.
二、鳥頭定理
兩個三角形中有一個角相等或互補,這兩個三角形叫做共角三角形.
共角三角形的面積比等於對應角(相等角或互補角)兩夾邊的乘積之比.
如圖在中,D、E分別是AB、AC上的點如圖 ⑴(或D在BA的延長線上,E在AC上),則
三、蝴蝶定理
任意四邊形中的比例關係(“蝴蝶定理”):
①
或者②
蝴蝶定理為我們提供瞭解決不規則四邊形的面積問題的一個途徑.通過構造模型,一方面可以使不規則四邊形的面積關係與四邊形內的三角形相聯繫;另一方面,也可以得到與面積對應的對角線的比例關係.
梯形中比例關係(“梯形蝴蝶定理”):
四、相似模型
(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型
所謂的相似三角形,就是形狀相同,大小不同的'三角形(只要其形狀不改變,不論大小怎樣改變它們都相似),與相似三角形相關的常用的性質及定理如下:
⑴相似三角形的一切對應線段的長度成比例,並且這個比例等於它們的相似比;
⑵相似三角形的面積比等於它們相似比的平方;
⑶連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.
三角形中位線定理:三角形的中位線長等於它所對應的底邊長的一半.
相似三角形模型,給我們提供了三角形之間的邊與面積關係相互轉化的工具.
在國小奧數裏,出現最多的情況是因為兩條平行線而出現的相似三角形.
五、燕尾定理
在三角形ABC中,AD,BE,CF相交於同一點O,那麼
上述定理給出了一個新的轉化面積比與線段比的手段,因為和的形狀很象燕子的尾巴,所以這個定理被稱為燕尾定理.該定理在許多幾何題目中都有着廣泛的運用,它的特殊性在於,它可以存在於任何一個三角形之中,為三角形中的三角形面積對應底邊之間提供互相聯繫的途徑
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