長沙小升中奧數幾何問題之格點與面積經典例題彙總

長沙小升中奧數幾何問題之格點與面積經典例題。

經典例題

例1、圖中有21個點,其中每相鄰的三點“∴”或“∵”所形成的三角形都是面積為1的等邊三角形,試計算四邊形的面積。（小升中8月1號天天練）

【詳解】

方法一（分割法）：

如圖①做輔助線，將原圖分割成A、B兩個小三角形。這兩個小三角形都以輔助線為底的話，A就是底邊是1個面積單位三角形的4倍、高是1個面積單位三角形的1倍，所以A的面積是1個面積單位三角形的4×1倍，即4。

同理，B就是底邊是1個面積單位三角形的4倍、高是1個面積單位三角形的2倍，所以B的面積是1個面積單位三角形的4×2倍，即8。

所以，原三角形面積為：4+8=12（面積單位）。

方法二（擴展法）：

如圖②將原圖擴展成一個大的等邊三角形，很明顯這個等邊三角形的邊長是三角形格點的5倍，而四個擴展的`三角形A、B、C、B的面積的求法與分割法中的求法類似，靈活運用倍數思想！

大的等邊三角形：5×5=25

A：3×1=3

B：2×1=2

C：4×1=4

D：4×1=4

所以原三角形的面積為：25-3-2-4-4=12（面積單位）。

方法三（畢克定理）：

運用三角形格點圖的畢克定理，圖形內部格點數為5,圖形周界上格點數為4，所以，原三角形的面積為：(5+4÷2-1)×2=12(面積單位)。

例2、如圖是一組總面積為80平方釐米的七巧板，用它構成右圖陰影部分的形狀，這個形狀內接與長方形，請問這個長方形的面積為多少？（小升中8月2號天天練）

【詳解】長方形的長、寬不知道，所以不能直接用面積公式，但是告訴了另一個參照圖形--七巧板的面積，此時我們要努力找出兩者之間的聯繫！之前我們一直給出的是在格點圖中的圖形，現在我們不妨自己來構造格點圖！

如圖，將長方形分割成3×5個小正方形，而陰影面積一共佔了8個小正方形，所以每個小正方形的面積是：80÷8=10（平方釐米），所以長方形的面積是：10×3×5=150（平方釐米）。

例3、如圖是一個正六邊形，已知它的面積是54平方釐米，求陰影部分的面積。

（小升中8月3號天天練）

【詳解】正六邊形與正六角星都是典型的對稱圖形，我們先連接正六邊形的3條對稱抽，如圖①所示，將正六邊形分成了6個一樣的正三角形。

我們再來研究每個正三角形，如圖②所示，我們將陰影小三角形頂點與正三角形頂點連接，不難看出，正三角形被分割成3個一樣的小三角形（與陰影小三角形一樣）。

對於6個正三角形都進行同樣的操作，如圖③所以，這樣我們將整個正六邊形分割成了3×6=18個陰影小三角形，可以將陰影小三角形的面積看成是1個面積單位，那麼整個陰影部分面積就是6個面積單位，所以陰影部分面積為：54÷18×6=18（平方釐米）。

例4、如圖，正六邊形的面積是54，其中AP=2PF、CQ=2BQ，求陰影四邊形CEPQ的面積。（小升中8月6號天天練）

【詳解】由題意知P、Q分別是AF、BC上的三等分點，我們不妨將正六邊形每條邊都三等分，再順次連接這些點，如下圖所示，即在例3中把正六邊形分割成6個正三角形的基礎上，再把每個正三角形又分割成3×3個更小的正三角形，這樣我們就構造出了本專題中介紹的三角形格點圖！並且所求的陰影四邊形的各個頂點都在三角形格點上，所以是格點四邊形，我們可以直接利用畢克定理來解題：這裏N=13、L=7，所以S陰影四邊形CEPQ=2N+L-2=2×13+7-2=31。