導數幾何意義
(一)複習引入
1、函數的平均變化率:
已知函數 , 是其定義域內不同的兩點,
記
則 函數 在區間 的平均變化率
為
2、曲線的割線AB的斜率:
由此可知:曲線割線的斜率就是函數的平均變化率。
3、函數在一點處的導數定義:
函數 在點 處的導數就是函數 在點 的瞬時變化率:記作:
(二)講授新課
1、創設情境:
問題:平面幾何中我們怎樣判斷直線是否是圓的切線?
學生回答:與圓只有一個公共點的直線就叫做圓的切線
教師引導學生舉出反例如下:
教師舉反例如下:
因此,對於一般曲線,必須重新尋求曲線的切線定義。
引例:(看大屏幕)
2、曲線在一點處的切線定義:
當點B沿曲線趨近於點A時,割線AB繞點A轉動,它的最終位置為直線AD,
這條直線AD叫做此曲線在點A的切線。
教師導語:我們如何確定切線的方程?由直線方程的點斜式知,已知一點座標,只需求切線的斜率。
那如何求切線的斜率呢?
引例:(看大屏幕):
3、導數的幾何意義:
曲線 在點 的切線的斜率等於
注:點 是曲線上的點
(三)例題精講
例1、求拋物線 過點(1,1)的切線方程。
解:因為
所以拋物線 過點(1,1)的切線的斜率為2
由直線方程的點斜式,得切線方程為
練習題:求雙曲線 過點(2, )的切線方程。
答案提示:
例2、求拋物線 過點( ,6)的切線方程。
由於點( ,6)不在拋物線上,可設該切線過拋物線上的點( , )
因為
所以該切線的斜率為 ,
又因為此切線過點( ,6)和點( , )
所以
因此過切點(2,4),(3,9 )切線方程分別為: 即
(四)小結:
利用導數的幾何意義求曲線的切線方程的方法步驟:(可讓學生歸納)
①求出函數 在點 處的導數
②得切線方程
注:點 是曲線上的點
(五)板書:
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