考研數學之行列式的計算方法
行列式是線性代數中最基本的運算之一,也是考生複習線性代數必須掌握的兩大基本技能之一(另一項是線性方程組)。後面的很多知識點都會用到行列式,如判斷矩陣的可逆性,求矩陣的秩,求矩陣的特徵值等。在考試中,這一部分如果單獨出題的話往往以選擇題或填空題的形式出現,且以考查抽象矩陣的行列式為主;更多的時候,行列式是與其他知識點(如線性方程組、特徵值與特徵向量等)結合起來考查的,我們往往把行列式視為解決問題的.工具。
考生在複習行列式時,主要從如下三方面來把握:
首先理解行列式的定義,掌握行列式的基本性質和行列式按行按列展開的定理,並會利用他們計算各種形式的行列式。
其次是行列式與矩陣的各種運算的關係,如行列式與矩陣的乘積,數乘和矩陣的分塊等運算的關係。
最後,也是最重要的,是行列式與線性代數中其他概念的關係:如齊次線性方程組有無非零解的充要條件;N個N維列向量線性無關的充要條件;實對稱矩陣正定的充要條件。
行列式常見題型與方法總結如下:
題型一:對逆序及行列式定義的考查,正確理解概念,題型一便可迎刃而解。
題型二:抽象行列式的計算,解題思路為(1)用行列式的性質做恆等變形;(2)利用行列式與矩陣乘法的關係簡化計算;(3)利用特徵值與行列式的關係。
題型三:數字型行列式的計算,解題方法為(1)公式法,低階行列式,二階三階常可直接代公式;三階或以上按照行列式展開定理進行降階後再計算。(2)三角化法,用行列式的性質做恆等變形,將行列式化為上三角或下三角行列式。(3)遞推法,利用行列式按行或按列展開的定理對行列式降階,得到遞推式,再通過遞推式求通式。
以上是對線性代數行列式這一考點的解析,有助於考生在複習線性代數行列式這部分內容時,有一個宏觀瞭解,平時還要多加練習,天道酬勤!
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