考研數學極限七種運算方法及適用情況

基礎階段，我們的目標是三基本：基本概念、基本定理、基本方法，因此在基礎階段學習極限應從兩個方面着手，一是極限的定義，二是極限的運算。極限的定義在考試大綱中明確要求是理解，理解的意思並不是會背誦定義內容，而是能夠領會定義內容背後的所藴含的含義，正確理解所代表的任意小以及代表的距離。

除定義本身以外，極限的趨近狀態也要注意區分，對於函數來説有六種趨近狀態：各自的含義要非常清楚，而數列只有一種趨近狀態，雖然沒有指明，但是數列裏邊的隱含之意為。

極限的計算則需要首先掌握考研數學要考到的七種基本方法，知道七種方法適用的情況。

第一種是四則運算，此方法大家最為熟悉，但比較容易出錯，需要注意使用四則運算的前提是進行運算的函數極限必須都是存在的;

第二種是等價無窮小替換，這一方法比較受歡迎，而且很多極限計算的問題只需經過等價無窮小代換就能得出結果，不需再使用其他方法，需要注意的是等價無窮小代換前提必須首先是無窮小才可代換，另外只能在乘積因子內代換(有些是可以在加減因子中代換的，但是在沒有十足把握的情況下應避免使用在加減因子中代換);

第三種是洛必達法則，適用於及 型未定式，在使用的過程中需要注意一下幾點：

1、洛必達法則必須結合等價無窮小使用;

2、使用一次整理一次;

3、其他類型未定式需要轉化成 及 型才可以使用洛必達法則等;

第四種是泰勒展式，這是解決極限問題的利器，在基礎階段不必要求掌握如何使用，只需瞭解泰勒展式的內容即可，具體使用原則會在強化階段給出;

第五種是夾逼定理，主要用於解決含有不等式關係的極限問題，特別應用於 個分式之和的數列極限問題，通過放縮分母來達到出現不等關係的`目的;

第六種是定積分的定義，與夾逼定理相區別，夾逼定理解決的問題放縮分母后分子可用一個式子去表示，而定積分的定義可解決夾逼定理不能解決的問題，通過主要的三步：1、提取，2、湊出，3、極限符號及連加符號改寫為，改寫為，改寫為計算定積分即可解決個分式之和的數列極限問題;

第七種方法是適用於數列極限的單調有界性定理，難點在於如何確定證明方向，一般單調有界性定理適用於由遞推公式給出的數列極限問題，因此可採取數學歸納法證明有界性，做差的辦法證明單調性。

以上，從大的框架結構上給出了極限一章極限定義和極限計算的常用方法，希望同學們對這一章有一個宏觀的把握，但是具體的細節掌握還要待進一步細緻的學習。在複習的過程中要多留心多總結把重要的方法記錄下來，錯題記錄下來方便後續的自我檢查。