高一數學第一單元函數的有關概念知識點

1.函數的概念：設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關係f，使對於集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那麼就稱f：AB為從集合A到集合B的一個函數.記作： y=f(x)，xA.其中，x叫做自變量，x的取值範圍A叫做函數的定義域;與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)| xA }叫做函數的值域.

注意：○2如果只給出解析式y=f(x)，而沒有指明它的定義域，則函數的定義域即是指能使這個式子有意義的實數的集合;○3 函數的定義域、值域要寫成集合或區間的形式. 義域補充

能使函數式有意義的實數x的集合稱為函數的定義域，求函數的定義域時列不等式組的主要依據是：(1)分式的分母不等於零; (2)偶次方根的被開方數不小於零; (3)對數式的真數必須大於零;(4)指數、對數式的底必須大於零且不等於1. (5)如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的.那麼，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.(6)指數為零底不可以等於零 (6)實際問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意義. (又注意：求出不等式組的解集即為函數的定義域。) 構成函數的三要素：定義域、對應關係和值域

再注意：(1)構成函數三個要素是定義域、對應關係和值域.由於值域是由定義域和對應關係決定的，所以，如果兩個函數的定義域和對應關係完全一致，即稱這兩個函數相等(或為同一函數)(2)兩個函數相等當且僅當它們的定義域和對應關係完全一致，而與表示自變量和函數值的字母無關。相同函數的判斷方法：①表達式相同;②定義域一致 (兩點必須同時具備)

(見課本21頁相關例2) 值域補充

(1)、函數的值域取決於定義域和對應法則，不論採取什麼方法求函數的值域都應先考慮其定義域. (2).應熟悉掌握一次函數、二次函數、指數、對數函數及各三角函數的值域，它是求解複雜函數值域的基礎。 3. 函數圖象知識歸納

(1)定義：在平面直角座標系中，以函數 y=f(x) , (xA)中的x為橫座標，函數值y為縱座標的點P(x，y)的集合C，叫做函數 y=f(x),(x A)的圖象.

C上每一點的座標(x，y)均滿足函數關係y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y為座標的點(x，y)，均在C上 . 即記為C={ P(x,y) | y= f(x) , xA }

圖象C一般的是一條光滑的連續曲線(或直線),也可能是由與任意平行與Y軸的直線最多隻有一個交點的若干條曲線或離散點組成。 (2) 畫法

A、描點法：根據函數解析式和定義域，求出x,y的一些對應值並列表，以(x,y)為座標在座標系內描出相應的點P(x, y)，最後用平滑的曲線將這些點連接起來. B、圖象變換法(請參考必修4三角函數)

常用變換方法有三種，即平移變換、伸縮變換和對稱變換 (3)作用：

1、直觀的看出函數的性質;2、利用數形結合的方法分析解題的思路。提高解題的速度。 發現解題中的錯誤。 4.快去了解區間的概念

(1)區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間;(2)無窮區間;(3)區間的數軸表示. 5.什麼叫做映射

一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對於集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那麼就稱對應f：A B為從集合A到集合B的一個映射。記作f：A B

給定一個集合A到B的映射，如果aA,bB.且元素a和元素b對應，那麼，我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象

説明：函數是一種特殊的映射，映射是一種特殊的對應，①集合A、B及對應法則f是確定的;②對應法則有方向性，即強調從集合A到集合B的對應，它與從B到A的對應關係一般是不同的;③對於映射f：AB來説，則應滿足：(Ⅰ)集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，並且象是唯一的;(Ⅱ)集合A中不同的元素，在集合B中對應的象可以是同一個;(Ⅲ)不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。 常用的函數表示法及各自的優點：

○1 函數圖象既可以是連續的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等等，注意判斷一個圖形是否是函數圖象的依據;○2 解析法：必須註明函數的定義域;○3 圖象法：描點法作圖要注意：確定函數的定義域;化簡函數的解析式;觀察函數的特徵;○4 列表法：選取的自變量要有代表性，應能反映定義域的特徵.

注意啊：解析法：便於算出函數值。列表法：便於查出函數值。圖象法：便於量出函數值 補充一：分段函數 (參見課本P24-25)

在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。在不同的'範圍裏求函數值時必須把自變量代入相應的表達式。分段函數的解析式不能寫成幾個不同的方程，而就寫函數值幾種不同的表達式並用一個左大括號括起來，並分別註明各部分的自變量的取值情況.(1)分段函數是一個函數，不要把它誤認為是幾個函數;(2)分段函數的定義域是各段定義域的並集，值域是各段值域的並集. 補充二：複合函數

如果y=f(u),(uM),u=g(x),(xA),則 y=f[g(x)]=F(x)，(xA) 稱為f、g的複合函數。 例如: y=2sinX y=2cos(X2+1) 7.函數單調性 (1).增函數

設函數y=f(x)的定義域為I，如果對於定義域I內的某個區間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1

如果對於區間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1f(x2)，那麼就説f(x)在這個區間上是減函數.區間D稱為y=f(x)的單調減區間.

注意：○1 函數的單調性是在定義域內的某個區間上的性質，是函數的局部性質; ○2 必須是對於區間D內的任意兩個自變量x1，x2;當x1

如果函數y=f(x)在某個區間是增函數或減函數，那麼説函數y=f(x)在這一區間上具有(嚴格的)單調性，在單調區間上增函數的圖象從左到右是上升的，減函數的圖象從左到右是下降的. (3).函數單調區間與單調性的判定方法 (A) 定義法：

○1 任取x1，x2D，且x1

(B)圖象法(從圖象上看升降)_ (C)複合函數的單調性

複合函數f[g(x)]的單調性與構成它的函數u=g(x)，y=f(u)的單調性密切相關，其規律如下：

函數 單調性

u=g(x) 增 增 減 減 y=f(u) 增 減 增 減 y=f[g(x)] 增 減 減 增

注意：1、函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其並集. 2、還記得我們在選修裏學習簡單易行的導數法判定單調性嗎? 8.函數的奇偶性 (1)偶函數

一般地，對於函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那麼f(x)就叫做偶函數. (2).奇函數

一般地，對於函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那麼f(x)就叫做奇函數.

注意：○1 函數是奇函數或是偶函數稱為函數的奇偶性，函數的奇偶性是函數的整體性質;函數可能沒有奇偶性,也可能既是奇函數又是偶函數。

○2 由函數的奇偶性定義可知，函數具有奇偶性的一個必要條件是，對於定義域內的任意一個x，則-x也一定是定義域內的一個自變量(即定義域關於原點對稱). (3)具有奇偶性的函數的圖象的特徵

偶函數的圖象關於y軸對稱;奇函數的圖象關於原點對稱.

總結：利用定義判斷函數奇偶性的格式步驟：○1 首先確定函數的定義域，並判斷其定義域是否關於原點對稱;○2 確定f(-x)與f(x)的關係;○3 作出相應結論：若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0，則f(x)是偶函數;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0，則f(x)是奇函數. 注意啊：函數定義域關於原點對稱是函數具有奇偶性的必要條件.首先看函數的定義域是否關於原點對稱，若不對稱則函數是非奇非偶函數.若對稱，(1)再根據定義判定; (2)有時判定f(-x)=眆(x)比較困難，可考慮根據是否有f(-x)眆(x)=0或f(x)/f(-x)=?來判定; (3)利用定理，或藉助函數的圖象判定 . 9、函數的解析表達式

(1).函數的解析式是函數的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數關係時，一是要求出它們之間的對應法則，二是要求出函數的定義域.

(2).求函數的解析式的主要方法有：待定係數法、換元法、消參法等，如果已知函數解析式的構造時，可用待定係數法;已知複合函數f[g(x)]的表達式時，可用換元法，這時要注意元的取值範圍;當已知表達式較簡單時，也可用湊配法;若已知抽象函數表達式，則常用解方程組消參的方法求出f(x)

10.函數最大(小)值(定義見課本p36頁)

○1 利用二次函數的性質(配方法)求函數的最大(小)值○2 利用圖象求函數的最大(小)值○3 利用函數單調性的判斷函數的最大(小)值：如果函數y=f(x)在區間[a，b]上單調遞增，在區間[b，c]上單調遞減則函數y=f(x)在x=b處有最大值f(b);如果函數y=f(x)在區間[a，b]上單調遞減，在區間[b，c]上單調遞增則函數y=f(x)在x=b處有最小值f(b);