高二數學排列組合的知識點歸納
排列組合公式/排列組合計算公式
排列P------和順序有關
組合C-------不牽涉到順序的問題
排列分順序,組合不分
例如把5本不同的書分給3個人,有幾種分法.排列
把5本書分給3個人,有幾種分法組合
1.排列及計算公式
從n個不同元素中,任取m(mn)個元素按照一定的順序排成一列,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列;從n個不同元素中取出m(mn)個元素的所有排列的個數,叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數,用符號p(n,m)表示.
p(n,m)=n(n-1)(n-2)(n-m+1)=n!/(n-m)!(規定0!=1).
2.組合及計算公式
從n個不同元素中,任取m(mn)個元素併成一組,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合;從n個不同元素中取出m(mn)個元素的所有組合的個數,叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數.用符號
c(n,m)表示.
c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n,m)=c(n,n-m);
3.其他排列與組合公式
從n個元素中取出r個元素的循環排列數=p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.
n個元素被分成k類,每類的個數分別是n1,n2,這n個元素的全排列數為
n!/(n1!*n2!*...*nk!).
k類元素,每類的個數無限,從中取出m個元素的組合數為c(m+k-1,m).
排列(Pnm(n為下標,m為上標))
Pnm=n(n-1)....(n-m+1);Pnm=n!/(n-m)!(注:!是階乘符號);Pnn(兩個n分別為上標和下標)=n!;0!=1;Pn1(n為下標1為上標)=n
組合(Cnm(n為下標,m為上標))
Cnm=Pnm/Pmm;Cnm=n!/m!(n-m)!;Cnn(兩個n分別為上標和下標)=1;Cn1(n為下標1為上標)=n;Cnm=Cnn-m
公式P是指排列,從N個元素取R個進行排列。公式C是指組合,從N個元素取R個,不進行排列。N-元素的總個數R參與選擇的元素個數!-階乘,如9!=9*8*7*6*5*4*3*2*1
從N倒數r個,表達式應該為n*(n-1)*(n-2)..(n-r+1);
因為從n到(n-r+1)個數為n-(n-r+1)=r
舉例:
Q1:有從1到9共計9個號碼球,請問,可以組成多少個三位數?
A1:123和213是兩個不同的排列數。即對排列順序有要求的,既屬於排列P計算範疇。
上問題中,任何一個號碼只能用一次,顯然不會出現988,997之類的組合,我們可以這麼看,百位數有9種可能,十位數則應該有9-1種可能,個位數則應該只有9-1-1種可能,最終共有9*8*7個三位數。計算公式=P(3,9)=9*8*7,(從9倒數3個的乘積)
Q2:有從1到9共計9個號碼球,請問,如果三個一組,代表三國聯盟,可以組合成多少個三國聯盟?
A2:213組合和312組合,代表同一個組合,只要有三個號碼球在一起即可。即不要求順序的,屬於組合C計算範疇。
上問題中,將所有的包括排列數的個數去除掉屬於重複的個數即為最終組合數C(3,9)=9*8*7/3*2*1
排列、組合的概念和公式典型例題分析
例1設有3名學生和4個課外小組.(1)每名學生都只參加一個課外小組;(2)每名學生都只參加一個課外小組,而且每個小組至多有一名學生參加.各有多少種不同方法?
解(1)由於每名學生都可以參加4個課外小組中的任何一個,而不限制每個課外小組的人數,因此共有種不同方法.
(2)由於每名學生都只參加一個課外小組,而且每個小組至多有一名學生參加,因此共有種不同方法.
點評由於要讓3名學生逐個選擇課外小組,故兩問都用乘法原理進行計算.
例2排成一行,其中不排第一,不排第二,不排第三,不排第四的不同排法共有多少種?
解依題意,符合要求的排法可分為第一個排、、中的某一個,共3類,每一類中不同排法可採用畫樹圖的方式逐一排出:
符合題意的不同排法共有9種.
點評按照分類的思路,本題應用了加法原理.為把握不同排法的規律,樹圖是一種具有直觀形象的有效做法,也是解決計數問題的一種數學模型.
例3判斷下列問題是排列問題還是組合問題?並計算出結果.
(1)高三年級學生會有11人:①每兩人互通一封信,共通了多少封信?②每兩人互握了一次手,共握了多少次手?
(2)高二年級數學課外小組共10人:①從中選一名正組長和一名副組長,共有多少種不同的選法?②從中選2名參加省數學競賽,有多少種不同的選法?
(3)有2,3,5,7,11,13,17,19八個質數:①從中任取兩個數求它們的商可以有多少種不同的`商?②從中任取兩個求它的積,可以得到多少個不同的積?
(4)有8盆花:①從中選出2盆分別給甲乙兩人每人一盆,有多少種不同的選法?②從中選出2盆放在教室有多少種不同的選法?
分析(1)①由於每人互通一封信,甲給乙的信與乙給甲的信是不同的兩封信,所以與順序有關是排列;②由於每兩人互握一次手,甲與乙握手,乙與甲握手是同一次握手,與順序無關,所以是組合問題.其他類似分析.
(1)①是排列問題,共用了封信;②是組合問題,共需握手(次).
(2)①是排列問題,共有(種)不同的選法;②是組合問題,共有種不同的選法.
(3)①是排列問題,共有種不同的商;②是組合問題,共有種不同的積.
(4)①是排列問題,共有種不同的選法;②是組合問題,共有種不同的選法.
例4證明.
證明左式
右式.
等式成立.
點評這是一個排列數等式的證明問題,選用階乘之商的形式,並利用階乘的性質,可使變形過程得以簡化.
例5化簡.
解法一原式
解法二原式
點評解法一選用了組合數公式的階乘形式,並利用階乘的性質;解法二選用了組合數的兩個性質,都使變形過程得以簡化.
例6解方程:(1);(2).
解(1)原方程
解得.
(2)原方程可變為
∵,,
原方程可化為.
即,解得
第六章排列組合、二項式定理
一、考綱要求
1.掌握加法原理及乘法原理,並能用這兩個原理分析解決一些簡單的問題.
2.理解排列、組合的意義,掌握排列數、組合數的計算公式和組合數的性質,並能用它們解決一些簡單的問題.
3.掌握二項式定理和二項式係數的性質,並能用它們計算和論證一些簡單問題.
二、知識結構
三、知識點、能力點提示
(一)加法原理乘法原理
説明加法原理、乘法原理是學習排列組合的基礎,掌握此兩原理為處理排列、組合中有關問題提供了理論根據.
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