2017河南省大學聯考數學模擬試卷及答案

大學聯考數學只有通過多練，才能在大學聯考中獲得好成績，以下是本站小編為你整理的2017河南省大學聯考數學模擬試卷，希望能幫到你。

2017河南省大學聯考數學模擬試卷題目

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.已知集合A={x|x2﹣2x﹣3>0}，B={x|lg(x﹣2)≤1}，則(∁RA)∪B=(　　)

A.(﹣1，12) B.(2，3) C.(2，3] D.[﹣1，12]

2.歐拉(Leonhard Euler，國籍瑞士)是科學史上最多產的一位傑出的數學家，他發明的公式eix=cosx+isinx(i為虛數單位)，將指數函數的定義域擴大到複數，建立了三角函數和指數函數的關係，這個公式在複變函數理論中佔用非常重要的地位，被譽為“數學中的天橋”，根據此公式可知，e﹣4i表示的複數在複平面中位於(　　)

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.下列命題正確的是(　　)

A.∃x0∈R，sinx0+cosx0=

B.∀x≥0且x∈R，2x>x2

C.已知a，b為實數，則a>2，b>2是ab>4的充分條件

D.已知a，b為實數，則a+b=0的充要條件是 =﹣1

4.已知圓O：x2+y2=4(O為座標原點)經過橢圓C： + =1(a>b>0)的短軸端點和兩個焦點，則橢圓C的標準方程為(　　)

A. + =1 B. + =1

C. + =1 D. + =1

5.已知等差數列{an}滿足a1=1，an+2﹣an=6，則a11等於(　　)

A.31 B.32 C.61 D.62

6.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　)

A.3 B. C. D.

7.已知函數f(x)= 的最大值為M，最小值為m，則M+m等於(　　)

A.0 B.2 C.4 D.8

8.如圖所示的程序框圖的算法思路來源於我國古代數學名著《九章算術》中的“更相減損術”，執行該程序框圖，若輸入a，b的值分別是21，28，則輸出a的值為(　　)

A.14 B.7 C.1 D.0

9.已知函數y=x+1+lnx在點A(1，2)處的切線l，若l與二次函數y=ax2+(a+2)x+1的圖象也相切，則實數a的取值為(　　)

A.12 B.8 C.0 D.4

10.已知△ABC的三個頂點的座標為A(0，1)，B(1，0)，C(0，﹣2)，O為座標原點，動點M滿足| |=1，則| + + 的最大值是(　　)

A. B. C. ﹣1 D. ﹣1

11.已知雙曲線C： ﹣ =1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，O為座標原點，點P是雙曲線在第一象限內的點，直線PO，PF2分別交雙曲線C的左、右支於另一點M，N，若|PF1|=2|PF2|，且∠MF2N=120°，則雙曲線的離心率為(　　)

A. B. C. D.

12.定義在R上的函數f(x)，當x∈[0，2]時，f(x)=4(1﹣|x﹣1|)，且對於任意實數x∈[2n﹣2，2n+1﹣2](n∈N*，n≥2)，都有f(x)= f( ﹣1).若g(x)=f(x)﹣logax有且只有三個零點，則a的取值範圍是(　　)

A.[2，10] B.[ ， ] C.(2，10) D.[2，10)

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.

13.已知實數x，y滿足條件 若目標函數z=2x+y的最小值為3，則其最大值為　　.

14.設二項式 展開式中的常數項為a，則 的值為　　.

15.已知A，B，C是球O的球面上三點，且 為該球面上的動點，球心O到平面ABC的距離為球半徑的一半，則三稜錐D﹣ABC體積的最大值為　　.

16.已知函數fn(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn，且fn(﹣1)=(﹣1)nn，n∈N*，設函數g(n)= ，若bn=g(2n+4)，n∈N*，則數列{bn}的前n(n≥2)項和Sn等於　　.

三、解答題：解答應寫出文字説明、證明過程或演算步驟.

17.已知向量 =(2cosx，sinx)， =(cosx，2 cosx)，函數f(x)= • ﹣1.

(Ⅰ)求函數f(x)的單調遞減區間;

(Ⅱ)在鋭角△ABC中，內角A、B、C的對邊分別為a，b，c，tanB= ，對任意滿足條件的A，求f(A)的取值範圍.

18.某品牌的汽車4S店，對最近100例分期付款購車情況進行統計，統計結果如表所示，已知分9期付款的頻率為0.4;該店經銷一輛該品牌的汽車.若顧客分3期付款，其利潤為1萬元;分6期或9期付款，其利潤為2萬元;分12期付款，其利潤為3萬元.

付款方式 分3期 分6期 分9期 分12期

頻數 20 20 a b

(1)若以表中計算出的頻率近似替代概率，從該店採用分期付款購車的顧客(數量較大)中隨機抽取3位顧客，求事件A：“至多有1位採用分6期付款”的概率P(A);

(2)按分層抽樣的方式從這100位顧客中抽出5人，再從抽出的5人中隨機抽取3人，記該店在這3人身上賺取的總利潤為隨機變量η，求η的分佈列及數學期望E(η).

19.如圖所示，已知長方體ABCD中， 為DC的中點.將△ADM沿AM折起，使得AD⊥BM.

(1)求證：平面ADM⊥平面ABCM;

(2)是否存在滿足 的點E，使得二面角E﹣AM﹣D為大小為 .若存在，求出相應的實數t;若不存在，請説明理由.

20.設拋物線的頂點在座標原點，焦點F在y軸正半軸上，過點F的直線交拋物線於A，B兩點，線段AB的長是8，AB的中點到x軸的距離是3.

(1)求拋物線的標準方程;

(2)設直線m在y軸上的截距為6，且與拋物線交於P，Q兩點，連結QF並延長交拋物線的準線於點R，當直線PR恰與拋物線相切時，求直線m的方程.

21.已知函數 .

(1)當a=1時，求函數f(x)的單調區間;

(2)若﹣1

四、請考生在第22、23兩題中任選一題作答，注意：只能做所選定的題目，如果多做，則按所做的第一題計分，作答時請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號後的方框塗黑.4-4座標系與參數方程

22.在平面直角座標系xoy中，曲線C1的參數方程為 (θ為參數)，以座標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，與直角座標系xoy取相同的單位長度建立極座標系，曲線C2的極座標方程為ρ=2cosθ﹣4sinθ.

(1)化曲線C1，C2的方程為普通方程，並説明它們分別表示什麼曲線;

(2)設曲線C2與x軸的一個交點的座標為P(m，0)(m>0)，經過點P作斜率為1的直線，l交曲線C2於A，B兩點，求線段AB的長.

五、4-5不等式選講

23.已知f(x)=|2x﹣1|+x+ 的最小值為m.

(1)求m的值;

(2)已知a，b，c是正實數，且a+b+c=m，求證：2(a3+b3+c3)≥ab+bc+ca﹣3abc.

2017河南省大學聯考數學模擬試卷答案

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.已知集合A={x|x2﹣2x﹣3>0}，B={x|lg(x﹣2)≤1}，則(∁RA)∪B=(　　)

A.(﹣1，12) B.(2，3) C.(2，3] D.[﹣1，12]

【考點】交、並、補集的混合運算.

【分析】首先化簡集合A，B，進而算出∁RA，然後根據並集的定義進行求解.

【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x﹣3>0}={x|x<﹣1或x>3}

∴∁RA={x|﹣1≤x≤3}=[﹣1，3]

∵B={x|lg(x﹣2)≤1}，

∴ ，

解得2

∴B=(2，12]

∴(∁RA)∪B=[﹣1，12]

故選：D.

2.歐拉(Leonhard Euler，國籍瑞士)是科學史上最多產的一位傑出的數學家，他發明的公式eix=cosx+isinx(i為虛數單位)，將指數函數的定義域擴大到複數，建立了三角函數和指數函數的關係，這個公式在複變函數理論中佔用非常重要的地位，被譽為“數學中的天橋”，根據此公式可知，e﹣4i表示的複數在複平面中位於(　　)

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

【考點】複數的代數表示法及其幾何意義.

【分析】e﹣4i=cos(﹣4)+isin(﹣4)，再利用誘導公式與三角函數求值即可得出.

【解答】解：e﹣4i=cos(﹣4)+isin(﹣4)，∵cos(﹣4)=cos[π+(4﹣π)]=﹣cos(4﹣π)<0，sin(﹣4)=﹣sin[π+(4﹣π)]=sin(4﹣π)>0，

∴e﹣4i表示的複數在複平面中位於第二象限.

故選：B.

3.下列命題正確的是(　　)

A.∃x0∈R，sinx0+cosx0=

B.∀x≥0且x∈R，2x>x2

C.已知a，b為實數，則a>2，b>2是ab>4的充分條件

D.已知a，b為實數，則a+b=0的充要條件是 =﹣1

【考點】命題的真假判斷與應用.

【分析】根據sinx+cosx= sin(x+ )≤ < ，判斷A錯誤;

舉例説明x=2時2x=x2=4，判斷B錯誤;

根據a>2，b>2時ab>4，判斷充分性成立C正確;

舉例説明a=b=0時 =﹣1不成立，判斷D錯誤.

【解答】解：對於A，∀x∈R，sinx+cosx= sin(x+ )≤ < 正確，

∴該命題的否定是假命題，A錯誤;

對於B，當x=2時，2x=x2=4，∴B錯誤;

對於C，a，b為實數，當a>2，b>2時，ab>4，充分性成立，

是充分條件，C正確;

對於D，a，b為實數，a+b=0時，若a=b=0，則 =﹣1不成立，

∴不是充要條件，D錯誤.

故選：C.

4.已知圓O：x2+y2=4(O為座標原點)經過橢圓C： + =1(a>b>0)的短軸端點和兩個焦點，則橢圓C的標準方程為(　　)

A. + =1 B. + =1

C. + =1 D. + =1

【考點】橢圓的簡單性質.

【分析】根據圓O：x2+y2=4(O為座標原點)經過橢圓C： + =1(a>b>0)的短軸端點和兩個焦點，可得b，c，a，

【解答】解：∵圓O：x2+y2=4(O為座標原點)經過橢圓C： + =1(a>b>0)的短軸端點和兩個焦點，

∴b=2，c=2，則a2=b2+c2=8.

∴橢圓C的標準方程為： ，

故選：B

5.已知等差數列{an}滿足a1=1，an+2﹣an=6，則a11等於(　　)

A.31 B.32 C.61 D.62

【考點】等差數列的通項公式.

【分析】由等差數列的性質依次求出a3，a5，a7，a9，a11.

【解答】解：∵等差數列{an}滿足a1=1，an+2﹣an=6，

∴a3=6+1=7，

a5=6+7=13，

a7=6+13=19，

a9=6+19=25，

a11=6+25=31.

故選：A.

6.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　)

A.3 B. C. D.

【考點】由三視圖求面積、體積.

【分析】由三視圖可得，幾何體為底面為正視圖，高為 的四稜錐，即可求出幾何體的體積.

【解答】解：由三視圖可得，幾何體為底面為正視圖，高為 的四稜錐，體積為 = ，

故選B.

7.已知函數f(x)= 的最大值為M，最小值為m，則M+m等於(　　)

A.0 B.2 C.4 D.8

【考點】函數的最值及其幾何意義.

【分析】設g(x)= ，得到g(x)為奇函數，得到g(x)max+g(x)min=0，相加可得答案.

【解答】解：f(x)= =2+ ，

設g(x)= ，

∴g(﹣x)=﹣g(x)，

∴g(x)為奇函數，

∴g(x)max+g(x)min=0

∵M=f(x)max=2+g(x)max，m=f(x)min=2+g(x)min，

∴M+m=2+g(x)max+2+g(x)min=4，

故選：C

8.如圖所示的程序框圖的算法思路來源於我國古代數學名著《九章算術》中的“更相減損術”，執行該程序框圖，若輸入a，b的值分別是21，28，則輸出a的值為(　　)

A.14 B.7 C.1 D.0

【考點】程序框圖.

【分析】由循環結構的特點，先判斷，再執行，分別計算出當前的a，b的值，即可得到結論.

【解答】解：由a=21，b=28，不滿足a>b，

則b變為28﹣21=7，

由b

由b

由a=b=7，

則輸出的a=7.

故選：B.

9.已知函數y=x+1+lnx在點A(1，2)處的切線l，若l與二次函數y=ax2+(a+2)x+1的圖象也相切，則實數a的取值為(　　)

A.12 B.8 C.0 D.4

【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程.

【分析】求出y=x+1+lnx的導數，求得切線的斜率，可得切線方程，再由於切線與曲線y=ax2+(a+2)x+1相切，有且只有一切點，進而可聯立切線與曲線方程，根據△=0得到a的值.

【解答】解：y=x+1+lnx的導數為y′=1+ ，

曲線y=x+1+lnx在x=1處的切線斜率為k=2，

則曲線y=x+1+lnx在x=1處的切線方程為y﹣2=2x﹣2，即y=2x.

由於切線與曲線y=ax2+(a+2)x+1相切，

y=ax2+(a+2)x+1可聯立y=2x，

得ax2+ax+1=0，

又a≠0，兩線相切有一切點，

所以有△=a2﹣4a=0，

解得a=4.

故選：D.

10.已知△ABC的三個頂點的座標為A(0，1)，B(1，0)，C(0，﹣2)，O為座標原點，動點M滿足| |=1，則| + + 的最大值是(　　)

A. B. C. ﹣1 D. ﹣1

【考點】平面向量的座標運算.

【分析】設點M的`座標是(x，y)，由兩點之間的距離公式化簡| |=1，判斷出動點M的軌跡，由向量的座標運算求出 + + ，表示出| + + |並判斷幾何意義，轉化為圓外一點與圓上點的距離最值問題，即可求出答案.

【解答】解：設點M的座標是(x，y)，

∵C(0，﹣2)，且| |=1，

∴ ，則x2+(y+2)2=1，

即動點M的軌跡是以C為圓心、1為半徑的圓，

∵A(0，1)，B(1，0)，

∴ + + =(x+1，y+1)，

則| + + |= ，幾何意義表示：

點M(x，y)與點A(﹣1，﹣1)之間的距離，即圓C上的點與點A(﹣1，﹣1)的距離，

∵點A(﹣1，﹣1)在圓C外部，

∴| + + |的最大值是|AC|+1= +1= ，

故選A.

11.已知雙曲線C： ﹣=1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，O為座標原點，點P是雙曲線在第一象限內的點，直線PO，PF2分別交雙曲線C的左、右支於另一點M，N，若|PF1|=2|PF2|，且∠MF2N=120°，則雙曲線的離心率為(　　)

A. B. C. D.

【考點】直線與橢圓的位置關係.

【分析】由題意，|PF1|=2|PF2|，|PF1|﹣|PF2|=2a，可得|PF1|=4a，|PF2|=2a，由∠MF2N=120°，可得∠F1PF2=120°，由余弦定理可得4c2=16a2+4a2﹣2•4a•2a•cos120°，即可求出雙曲線C的離心率.

【解答】解：由題意，|PF1|=2|PF2|，

由雙曲線的定義可得，|PF1|﹣|PF2|=2a，

可得|PF1|=4a，|PF2|=2a，

由四邊形PF1MF2為平行四邊形，

又∠MF2N=120°，可得∠F1PF2=120°，

在三角形PF1F2中，由余弦定理可得

4c2=16a2+4a2﹣2•4a•2a•cos120°，

即有4c2=20a2+8a2，即c2=7a2，

可得c= a，

即e= = .

故選B.

12.定義在R上的函數f(x)，當x∈[0，2]時，f(x)=4(1﹣|x﹣1|)，且對於任意實數x∈[2n﹣2，2n+1﹣2](n∈N*，n≥2)，都有f(x)= f( ﹣1).若g(x)=f(x)﹣logax有且只有三個零點，則a的取值範圍是(　　)

A.[2，10] B.[ ， ] C.(2，10) D.[2，10)

【考點】根的存在性及根的個數判斷;函數零點的判定定理.

【分析】由g(x)=f(x)﹣logax=0，得f(x)=logax，分別作出函數f(x)和y=logax的圖象，利用數形結合即可得到結論.

【解答】解：當x∈[0，2]時，f(x)=4(1﹣|x﹣1|)，

當n=2時，x∈[2，6]，此時 ﹣1∈[0，2]，則f(x)= f( ﹣1)= ×4(1﹣| ﹣1﹣1|)=2(1﹣| ﹣2|)，

當n=3時，x∈[6，14]，此時 ﹣1∈[2，6]，則f(x)= f( ﹣1)= ×2(1﹣| ﹣ |)=1﹣| ﹣ |，

由g(x)=f(x)﹣logax=0，得f(x)=logax，分別作出函數f(x)和y=logax的圖象，

若0

若a>1，當對數函數圖象經過A時，兩個圖象只有2個交點，當圖象經過點B時，兩個函數有4個交點，

則要使兩個函數有3個交點，則對數函數圖象必須在A點以下，B點以上，

∵f(4)=2，f(10)=1，∴A(4，2)，B(10，1)，

即滿足 ，

即 ，解得 ，

即2

故選：C.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.

13.已知實數x，y滿足條件 若目標函數z=2x+y的最小值為3，則其最大值為　7　.

【考點】簡單線性規劃.

【分析】作出不等式組對應的平面區域，利用目標函數z=2x+y的最小值為3，建立條件關係即可求出m的值，然後求解最大值即可.

【解答】解：目標函數z=2x+y的最小值為3，

∴y=﹣2x+z，要使目標函數z=﹣2x+y的最小值為3，

作出不等式組對應的平面區域如圖：

則目標函數經過點A截距最小，

由 ，解得A(2，﹣1)，同時A也在直線﹣2x+y+m=0，

解得m=5，

目標函數z=2x+y經過B時取得最大值

由 ，解得B(3，1)，

z的最大值為：7.

故答案為：7.

14.設二項式 展開式中的常數項為a，則 的值為　﹣ 　.

【考點】二項式係數的性質.

【分析】利用二項式定理的通項公式可得a，再利用微積分基本定理即可得出.

【解答】解：二項式 展開式中的通項公式：Tr+1= =(﹣1)r .

令6﹣ =0，解得r=4.

∴常數項a= =15，

則 = cos3xdx= =﹣ .

故答案為：﹣ .

15.已知A，B，C是球O的球面上三點，且 為該球面上的動點，球心O到平面ABC的距離為球半徑的一半，則三稜錐D﹣ABC體積的最大值為　 　.

【考點】稜柱、稜錐、稜台的體積.

【分析】由題意畫出圖形，求出三角形ABC外接圓的半徑，設出球的半徑，利用直角三角形中的勾股定理求得球的半徑，則三稜錐D﹣ABC體積的最大值可求.

【解答】解：如圖，在△ABC中，∵ ，

∴由余弦定理可得cosA= ，則A=120°，

∴sinA= .

設△ABC外接圓的半徑為r，則 ，得r=3.

設球的半徑為R，則 ，解得 .

∵ ，

∴三稜錐D﹣ABC體積的最大值為 .

故答案為： .

16.已知函數fn(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn，且fn(﹣1)=(﹣1)nn，n∈N*，設函數g(n)= ，若bn=g(2n+4)，n∈N*，則數列{bn}的前n(n≥2)項和Sn等於　2n+n﹣1　.

【考點】數列的求和.

【分析】由分段函數，求得bn=a ，再由函數fn(x)，求得n=1時，a1=1，將n換為n﹣1，作差可得an=2n﹣1，進而得到

bn=2n﹣1+1，再由數列的求和方法：分組求和，結合等比數列的求和公式，計算即可得到所求和.

【解答】解：由函數g(n)= ，

可得bn=g(2n+4)=g(2n﹣1+2)=g(2n﹣2+1)=a ，

由函數fn(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn，且fn(﹣1)=(﹣1)nn，

可得﹣a1+a2﹣a3+…+an(﹣1)n=(﹣1)nn，①

n=1時，﹣a1=﹣1，可得a1=1;

n≥2時，﹣a1+a2﹣a3+…+an﹣1(﹣1)n﹣1=(﹣1)n﹣1(n﹣1)，②

①﹣②可得an(﹣1)n=(﹣1)nn﹣(﹣1)n﹣1(n﹣1)，

化簡可得an=2n﹣1，對n=1也成立.

則bn=a =2n﹣1+1，

則數列{bn}的前n(n≥2)項和Sn等於(1+2+4+…+2n﹣1)+n

= +n=2n+n﹣1.

故答案為：2n+n﹣1.

三、解答題：解答應寫出文字説明、證明過程或演算步驟.

17.已知向量 =(2cosx，sinx)， =(cosx，2 cosx)，函數f(x)= • ﹣1.

(Ⅰ)求函數f(x)的單調遞減區間;

(Ⅱ)在鋭角△ABC中，內角A、B、C的對邊分別為a，b，c，tanB= ，對任意滿足條件的A，求f(A)的取值範圍.

【考點】餘弦定理;平面向量數量積的運算.

【分析】(Ⅰ)根據函數f(x)= • ﹣1.利用向量的數量積的運算求解f(x)，結合三角函數的性質求解單調性即可.

(Ⅱ)tanB= 求解.

【解答】解：(Ⅰ)向量 =(2cosx，sinx)， =(cosx，2 cosx)，

函數f(x)= • ﹣1.

則f(x)=2cos2x+2 sinxcosx﹣1= sin2x+cos2x=2sin(2x )

由 ，

解得： ≤x≤ ，(k∈Z).

故得函數f(x)的單調遞減區間為[ ， ]，(k∈Z)

(Ⅱ)由tanB= ，即： ，

∵cosB=

∴sinB= .

又∵△ABC是鋭角，

∴B= .

則

由(Ⅰ)可知f(A)=2sin(2A )

那麼：2A ∈( ， )

則sin(2A )∈( ，1)

故得f(A)的取值範圍是(﹣1，2)

18.某品牌的汽車4S店，對最近100例分期付款購車情況進行統計，統計結果如表所示，已知分9期付款的頻率為0.4;該店經銷一輛該品牌的汽車.若顧客分3期付款，其利潤為1萬元;分6期或9期付款，其利潤為2萬元;分12期付款，其利潤為3萬元.

付款方式 分3期 分6期 分9期 分12期

頻數 20 20 a b

(1)若以表中計算出的頻率近似替代概率，從該店採用分期付款購車的顧客(數量較大)中隨機抽取3位顧客，求事件A：“至多有1位採用分6期付款”的概率P(A);

(2)按分層抽樣的方式從這100位顧客中抽出5人，再從抽出的5人中隨機抽取3人，記該店在這3人身上賺取的總利潤為隨機變量η，求η的分佈列及數學期望E(η).

【考點】離散型隨機變量的期望與方差;列舉法計算基本事件數及事件發生的概率.

【分析】(1)由 =0.4，得a=40，20+a+20+b=100，解得b.記分期付款的期數為ξ，依題意即可得出其概率.進而定點“購買該品牌汽車的3為顧客中至多有1位採用3期付款”的概率P(A).

(2)按分層抽樣的方式從這100位顧客中抽出5人，則顧客分3期付款與分6期付款的各為1人，分9期付款的為2人，分12期付款為1人.則η的可能取值為5，6，7.利用相互獨立與互斥事件的概率計算公式可得其概率，進而得到分佈列與數學期望.

【解答】解：(1)由 =0.4，得a=40，

∵20+a+20+b=100，∴b=20

記分期付款的期數為ξ，依題意得：

P(ξ=3)= =0.2，P(ξ=6)= =0.2，P(ξ=9)= =0.4，P(ξ=12)= =0.2.

則“購買該品牌汽車的3為顧客中至多有1位採用3期付款”的概率

P(A)= + =0.896.

(2)按分層抽樣的方式從這100位顧客中抽出5人，則顧客分3期付款與分6期付款的各為1人，分9期付款的為2人，分12期付款為1人.則η的可能取值為5，6，7.

P(η=5)=P(ξ=3)×P(ξ=6)×P(ξ=9)+P(ξ=3)×P(ξ=9)×P(ξ=9)= + = .

P(η=6)=P(ξ=3)×P(ξ=6)×P(ξ=12)+P(ξ=6)×P(ξ=9)×P(ξ=9)+P(ξ=3)×P(ξ=9)×P(ξ=12)= = ，

P(η=7)=P(ξ=6)×P(ξ=9)×P(ξ=12)+P(ξ=9)×P(ξ=9)×P(ξ=12)= = .

列表如下：

η 5 6 7

P 0.3 0.4 0.3

所以η的數學期望E(η)=5×0.3+6×0.4+7×0.3=6(萬元).

19.如圖所示，已知長方體ABCD中， 為DC的中點.將△ADM沿AM折起，使得AD⊥BM.

(1)求證：平面ADM⊥平面ABCM;

(2)是否存在滿足 的點E，使得二面角E﹣AM﹣D為大小為 .若存在，求出相應的實數t;若不存在，請説明理由.

【考點】與二面角有關的立體幾何綜合題;平面與平面垂直的判定.

【分析】(1)推導出BM⊥AM，AD⊥BM，從而BM⊥平面ADM，由此能證明平面ADM⊥平面ABCM.

(2)以M為原點，MA為x軸，MB為y軸，過M作平面ABCM的垂線為z軸，建立空間直角座標系，利用向量法能求出存在滿足 的點E，使得二面角E﹣AM﹣D為大小為 ，並能求出相應的實數t的值.

【解答】證明：(1)∵長方形ABCD中，AB=2AD=2 ，M為DC的中點，

∴AM=BM=2，AM2+BM2=AB2，∴BM⊥AM，

∵AD⊥BM，AD∩AM=A，∴BM⊥平面ADM，

又BM⊂平面ABCM，∴平面ADM⊥平面ABCM.

解：(2)以M為原點，MA為x軸，MB為y軸，過M作平面ABCM的垂線為z軸，

建立空間直角座標系，

則A(2，0，0)，B(0，2，0)，D(1，0，1)，M(0，0，0)，

=(0，2，0)， =(1，﹣2，1)， = =(t，2﹣2t，1)，

設平面AME的一個法向量為 =(x，y，z)，

則 ，

取y=t，得 =(0，t，2t﹣2)，

由(1)知平面AMD的一個法向量 =(0，1，0)，

∵二面角E﹣AM﹣D為大小為 ，

∴cos = = = ，

解得t= 或t=2(舍)，

∴存在滿足 的點E，使得二面角E﹣AM﹣D為大小為 ，相應的實數t的值為 .

20.設拋物線的頂點在座標原點，焦點F在y軸正半軸上，過點F的直線交拋物線於A，B兩點，線段AB的長是8，AB的中點到x軸的距離是3.

(1)求拋物線的標準方程;

(2)設直線m在y軸上的截距為6，且與拋物線交於P，Q兩點，連結QF並延長交拋物線的準線於點R，當直線PR恰與拋物線相切時，求直線m的方程.

【考點】直線與拋物線的位置關係.

【分析】(1)設拋物線的方程為x2=2py(p>0)，求出準線方程，運用拋物線的定義和中位線定理，可得2(3+ )=8，解得p，即可得到拋物線的方程;

(2)設直線PQ的方程為y=kx+6，代入拋物線的方程，運用韋達定理，結合導數求得切線的斜率，再由兩點的方斜率公式，以及三點共線的條件：斜率相等，化簡整理解方程可得k的值，客人得到直線m的方程.

【解答】解：(1)設拋物線的方程為x2=2py(p>0)，

準線方程為y=﹣ ，

由拋物線的定義可得|AF|+|BF|=|AB|=2(3+ )=8，

解得p=2，

即有拋物線的方程為x2=4y;

(2)設直線PQ的方程為y=kx+6，代入拋物線的方程，可得

x2﹣4kx﹣24=0，

設P(x1， )，Q(x2， )，

可得x1+x2=4k，x1x2=﹣24，

由y= x2的導數為y′= x，

設R(t，﹣1)，可得kPR= = x1，

可得t= x1﹣ ，

再由Q，F，R共線，可得 = ，

消去t，可得 = ，

即有16x1x2=4(x12+x22)﹣16﹣(x1x2)2，

即有16×(﹣24)=4[(4k)2+2×24]﹣16﹣242，

解方程可得k=± ，

即有直線m的方程為y=± x+6.

21.已知函數 .

(1)當a=1時，求函數f(x)的單調區間;

(2)若﹣1

【考點】利用導數求閉區間上函數的最值;利用導數研究函數的單調性.

【分析】(Ⅰ)當a=1時，f(x)的定義域為(﹣1，1)∪(1，+∞)，

求出f′(x)= ，即可求單調區間;

(Ⅱ)f′(x)= ，

分(1)a≤0，(2)當a>0，討論單調性及最值即可.

【解答】解：(Ⅰ)當a=1時，f(x)的定義域為(﹣1，1)∪(1，+∞)，

f′(x)= ，

當﹣13時，f′(x)>0，當0

所以函數f(x)的增區間為(﹣1，0)，(3，+∞)，減區間為(0，1)，(1，3)

(Ⅱ)f′(x)= ，

當a≤0時，f′(x)>0恆成立，故0f(0)=0，不符合題意.

當a>0時，由f′(x)=0，得x1= ，x2= .

若00，f(x)>f(0)=0，不符合題意.

若a>1，此時﹣1f(0)=0，不符合題意.

若a=1，由(Ⅰ)知，函數f(x)在x=0處取得最大值0，符合題意，

綜上實數a的取值為1.

四、請考生在第22、23兩題中任選一題作答，注意：只能做所選定的題目，如果多做，則按所做的第一題計分，作答時請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號後的方框塗黑.4-4座標系與參數方程

22.在平面直角座標系xoy中，曲線C1的參數方程為 (θ為參數)，以座標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，與直角座標系xoy取相同的單位長度建立極座標系，曲線C2的極座標方程為ρ=2cosθ﹣4sinθ.

(1)化曲線C1，C2的方程為普通方程，並説明它們分別表示什麼曲線;

(2)設曲線C2與x軸的一個交點的座標為P(m，0)(m>0)，經過點P作斜率為1的直線，l交曲線C2於A，B兩點，求線段AB的長.

【考點】參數方程化成普通方程.

【分析】(1)根據sin2θ+cos2θ=1消去曲線C1的參數θ可得普通方程;根據ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，進行代換即得曲線C2的普通方程;

(2)令曲線C2的y=0，求解P的座標，可得過P的直線方程，參數方程的幾何意義求解即可.

【解答】解：(1)曲線C1的參數方程為 ，消去參數可得： ，表示焦點在y軸上的橢圓方程.

曲線C2的極座標方程為ρ=2cosθ﹣4sinθ，可得ρ2=2ρcosθ﹣4ρsinθ，

∴x2+y2=2x﹣4y，整理得(x﹣1)2+(y+2)2=5，表示以(1，﹣2)為圓心，半徑r=5的圓.

(2)曲線C2與x軸的一個交點的座標為P(m，0)(m>0)，令y=0，解得x=2，

∴P(2，0)，可得直線l：y=x﹣2.

將曲線C1的參數方程帶入直線l可得： sinθ=2cosθ﹣2.

整理可得：cos( )= ，即θ=2kπ或 ，(k∈Z).

那麼：A(2，0)，B(﹣1，﹣3)，

∴|AB|= .

五、4-5不等式選講

23.已知f(x)=|2x﹣1|+x+ 的最小值為m.

(1)求m的值;

(2)已知a，b，c是正實數，且a+b+c=m，求證：2(a3+b3+c3)≥ab+bc+ca﹣3abc.

【考點】不等式的證明.

【分析】(1)討論當x≥ 時，當x< 時，去掉絕對值，運用一次函數的單調性，可得最小值;

(2)由a+b+c=1，先證a3+b3≥a2b+b2a，由作差法可得，即有a3+b3≥ab﹣abc，同理可得b3+c3≥bc﹣abc，c3+a3≥ca﹣abc，累加即可得證.

【解答】解：(1)當x≥ 時，f(x)=3x﹣ 遞增，且f(x)≥ ﹣ =1;

當x< 時，f(x)= ﹣x遞減，且f(x)> ﹣ =1;

綜上可得x= 時，f(x)取得最小值1，即m=1;

(2)證明：a，b，c是正實數，且a+b+c=1，

由a3+b3﹣a2b﹣b2a=a2(a﹣b)+b2(b﹣a)=(a﹣b)(a2﹣b2)=(a+b)(a﹣b)2≥0，

即有a3+b3﹣a2b﹣b2a≥0，即a3+b3≥a2b+b2a=ab(a+b)=ab(1﹣c)=ab﹣abc，

可得a3+b3≥ab﹣abc，

同理可得b3+c3≥bc﹣abc，

c3+a3≥ca﹣abc，

上面三式相加可得，2(a3+b3+c3)≥ab+bc+ca﹣3abc，

當且僅當a=b=c= 取得等號.