高三數學重要知識點
知識點,多用於口語化,特指教科書上或考試的知識,這是小編為大家帶來的高三數學重要知識點,希望能幫助到大家。
高三數學重要知識點1.數列的定義
按一定次序排列的一列數叫做數列,數列中的每一個數都叫做數列的項.
(1)從數列定義可以看出,數列的數是按一定次序排列的,如果組成數列的數相同而排列次序不同,那麼它們就不是同一數列,例如數列1,2,3,4,5與數列5,4,3,2,1是不同的數列.
(2)在數列的定義中並沒有規定數列中的數必須不同,因此,在同一數列中可以出現多個相同的數字,如:-1的1次冪,2次冪,3次冪,4次冪,…構成數列:-1,1,-1,1,….
(4)數列的項與它的項數是不同的,數列的項是指這個數列中的某一個確定的數,是一個函數值,也就是相當於f(n),而項數是指這個數在數列中的位置序號,它是自變量的值,相當於f(n)中的n.
(5)次序對於數列來講是十分重要的,有幾個相同的數,由於它們的排列次序不同,構成的數列就不是一個相同的數列,顯然數列與數集有本質的區別.如:2,3,4,5,6這5個數按不同的次序排列時,就會得到不同的數列,而{2,3,4,5,6}中元素不論按怎樣的次序排列都是同一個集合.
2.數列的分類
(1)根據數列的項數多少可以對數列進行分類,分為有窮數列和無窮數列.在寫數列時,對於有窮數列,要把末項寫出,例如數列1,3,5,7,9,…,2n-1表示有窮數列,如果把數列寫成1,3,5,7,9,…或1,3,5,7,9,…,2n-1,…,它就表示無窮數列.
(2)按照項與項之間的大小關係或數列的增減性可以分為以下幾類:遞增數列、遞減數列、擺動數列、常數列.
3.數列的通項公式
數列是按一定次序排列的一列數,其內涵的本質屬性是確定這一列數的規律,這個規律通常是用式子f(n)來表示的,
這兩個通項公式形式上雖然不同,但表示同一個數列,正像每個函數關係不都能用解析式表達出來一樣,也不是每個數列都能寫出它的通項公式;有的數列雖然有通項公式,但在形式上,又不一定是唯一的,僅僅知道一個數列前面的有限項,無其他説明,數列是不能確定的,通項公式更非唯一.如:數列1,2,3,4,…,
由公式寫出的後續項就不一樣了,因此,通項公式的歸納不僅要看它的前幾項,更要依據數列的構成規律,多觀察分析,真正找到數列的內在規律,由數列前幾項寫出其通項公式,沒有通用的方法可循.
再強調對於數列通項公式的理解注意以下幾點:
(1)數列的通項公式實際上是一個以正整數集N*或它的有限子集{1,2,…,n}為定義域的函數的表達式.
(2)如果知道了數列的通項公式,那麼依次用1,2,3,…去替代公式中的n就可以求出這個數列的各項;同時,用數列的通項公式也可判斷某數是否是某數列中的一項,如果是的話,是第幾項.
(3)如所有的函數關係不一定都有解析式一樣,並不是所有的數列都有通項公式.
如2的不足近似值,精確到1,0.1,0.01,0.001,0.0001,…所構成的數列1,1.4,1.41,1.414,1.4142,…就沒有通項公式.
(4)有的數列的通項公式,形式上不一定是唯一的,正如舉例中的:
(5)有些數列,只給出它的前幾項,並沒有給出它的構成規律,那麼僅由前面幾項歸納出的數列通項公式並不唯一.
4.數列的圖象
對於數列4,5,6,7,8,9,10每一項的序號與這一項有下面的對應關係:
序號:1234567
項:45678910
這就是説,上面可以看成是一個序號集合到另一個數的`集合的映射.因此,從映射、函數的觀點看,數列可以看作是一個定義域為正整集N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n})的函數,當自變量從小到大依次取值時,對應的一列函數值.這裏的函數是一種特殊的函數,它的自變量只能取正整數.
由於數列的項是函數值,序號是自變量,數列的通項公式也就是相應函數和解析式.
數列是一種特殊的函數,數列是可以用圖象直觀地表示的.
數列用圖象來表示,可以以序號為橫座標,相應的項為縱座標,描點畫圖來表示一個數列,在畫圖時,為方便起見,在平面直角座標系兩條座標軸上取的單位長度可以不同,從數列的圖象表示可以直觀地看出數列的變化情況,但不精確.
把數列與函數比較,數列是特殊的函數,特殊在定義域是正整數集或由以1為首的有限連續正整數組成的集合,其圖象是無限個或有限個孤立的點.
5.遞推數列
一堆鋼管,共堆放了七層,自上而下各層的鋼管數構成一個數列:4,5,6,7,8,9,10.①
數列①還可以用如下方法給出:自上而下第一層的鋼管數是4,以下每一層的鋼管數都比上層的鋼管數多1。
【同步練習題】
1.已知數列{an}中,an=n2+n,則a3等於()
A.3B.9
C.12D.20
答案:C
2.下列數列中,既是遞增數列又是無窮數列的是()
A.1,12,13,14,…
B.-1,-2,-3,-4,…
C.-1,-12,-14,-18,…
D.1,2,3,…,n
解析:選C.對於A,an=1n,n∈N*,它是無窮遞減數列;對於B,an=-n,n∈N*,它也是無窮遞減數列;D是有窮數列;對於C,an=-(12)n-1,它是無窮遞增數列.
3.下列説法不正確的是()
A.根據通項公式可以求出數列的任何一項
B.任何數列都有通項公式
C.一個數列可能有幾個不同形式的通項公式
D.有些數列可能不存在最大項
解析:選B.不是所有的數列都有通項公式,如0,1,2,1,0,….
4.數列23,45,67,89,…的第10項是()
A.1617B.1819
C.2021D.2223
解析:選C.由題意知數列的通項公式是an=2n2n+1,
∴a10=2×102×10+1=2021.故選C.
5.已知非零數列{an}的遞推公式為an=nn-1an-1(n>1),則a4=()
A.3a1B.2a1
C.4a1D.1
解析:選C.依次對遞推公式中的n賦值,當n=2時,a2=2a1;當n=3時,a3=32a2=3a1;當n=4時,a4=43a3=4a1.
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