立體幾何教案

引導語：立體幾何是三維圖，你知道有多少呢?下面的是本站小編為大家精選的立體幾何教案，希望你能夠喜歡。

1、空間一點 位於不共線三點 、 、 所確定的平面內的充要條件是存在有序實數組 、 、 、 ,對於空間任一點 ,有 且 ( 時常表述為:若 且 ,則空間一點 位於不共線三點 、 、 所確定的平面內。)

2、若多邊形的面積為 ,它在一個平面上的射影面積為 ,若多邊形所在的平面與這個平面所成的二面角為 ,則有 。(射影面積公式,解答題用此須作簡要説明)

3、經過平面外一點只有一個平面和已知平面平行。

4、過一點和一個平面垂直的直線有且只有一條;過一點和一條直線垂直的平面有且只有一個。

5、經過兩條異面直線中的一條,只有一個平面與另一條直線平行。

6、三個兩兩垂直的平面的交線兩兩垂直。

7、對角線相等的平行六面體是長方體。

8、線段垂直平分面內任一點到這條線段兩端點的距離相等。

9、經過一個角的頂點引這個角所在平面的斜射線,設它和已知角兩邊的夾角為鋭角且相等,則這條斜射線在這個平面內的射影是這個角的平分線。(斜射線上任一點在這個平面上的.射影在這個角的平分線上)

10、如果一個角 所在平面外一點到這個角兩邊的距離相等,那麼這點在平面 上的射影,在這個角的平分線上。(解答題用此須作簡要證明)

11、若三稜錐的三條側稜相等或側稜與底面所成的角相等,那麼頂點在底面上的射影是底面三角形的外心。

(1)當底面三角形為直角三角形時,射影落在斜邊中點上。

(2)當底面三角形為鋭角三角形時,射影落在底面三角形內。

(3)當底面三角形為鈍角三角形時,射影落在底面三角形外。

12、如果三稜錐的三個側面與底面所成的二面角都相等或三稜錐的頂點到底面三條邊距離都相等(頂點在底面上的射影在底面三角形內),那麼頂點在底面上的射影是底面三角形的內心。

13、如果三稜錐的三條側稜兩兩垂直,或有兩組對稜垂直,那麼頂點在底面上的射影是底面三角形的垂心。

14、若平面 、平面 、平面 兩兩互相垂直,那麼頂點 在平面 內的射影是三角形 的垂心。

15、稜長為 的正四面體的對稜互相垂直,對稜間的距離為 。(該間距為小稜切球之直徑)

16、設正四面體的稜長為 ,高為 ,外接球半徑為 ,內切球半徑為 ,稜切球(與各條稜都相切的球,正四面體中存在兩個這樣的球)半徑為 ,體積為 ,則:

, , , 或 ,

17、設正方體的稜長為 ,正方體的內切球、稜切球(與各條稜都相切的球)、外接球的半徑分別為 、 、 ,則 , , 。

18、若二面角 的平面角為 ,其兩個面的法向量分別為 、 ,且夾角為 ,則 或 ( )。

19、點 到平面 的距離: (其中 為垂足, 為斜足, 為平面 的法向量)。

20、證明兩平面平行:

(1)若平面 、 的法向量 、 共線,則 ;

(2)若平面 、 有相同的法向量 ,則 。

21、若直線 與平面 的法向量 共線,則可推出 。

22、設 為空間直角座標系內一點,平面 的方程為: ,則點 到平面 的距離為 。

23、證明兩平面垂直:

(1)確定兩個平面 、 的法向量 、 ,若 ,則 ;

(2)在平面 內找出向量 ,若 與 的法向量共線,則 ;

24、向量 與 軸垂直 豎座標 (對 軸、 軸同理)。

25、"等積變換"、"割形"與"補形"是解決立體幾何問題常用方法。有關正四面體中的計算有時可造正方體模型,使正方體的面對角線恰好構成正四面體。

三條側稜兩兩垂直的正三稜錐中的有關計算有時可以補成正方體。

題型:四面體abcd中,共頂點a的三條稜兩兩相互垂直,且其長分別為1、 、3,若四面體的四個頂點同在一個球面上,則這個球的表面積為( )。該題型解法:可構造球內接長方體,長方體的體對角線長為球直徑。

補充:三稜錐能夠構造長方體的幾種基本情形

(1)三條側稜兩兩垂直的三稜錐可以構造長方體;

(2)三個側面兩兩垂直的三稜錐可以構造長方體;

(3)三組對稜兩兩相等的三稜錐可以構造長方體。