高三數學立體幾何與空間向量專題複習的檢測含答案

一、選擇題

1.(2014武漢調研)一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的直觀圖可以是()

解析 A、B、C與俯視圖不符.

答案 D

2.將長方體截去一個四稜錐，得到的幾何體如圖所示，則該幾何體的側(左)視圖為()

解析 抓住其一條對角線被遮住應為虛線，可知正確答案在C，D中，又結合直觀圖知，D正確.

答案 D

3.(2014安徽卷)一個多面體的三視圖如圖所示，則該多面體的表面積為()

A.21+3 B.18+3

C.21 D.18

解析

由三視圖知，該多面體是由正方體割去兩 個角所成的圖形，如圖所示，則S=S正方體-2S三稜錐側+2S三稜錐底=24-231211+234(2)2=21+3.

答案 A

4.已知S，A，B，C是球O表面上的點，SA平面ABCD，ABBC，SA=AB=1，BC=2，則球O的表面積等於()

A.4B.3

C.2

解析

如圖所示，由ABBC知，AC為過A，B，C，D四點小圓直徑，

所以ADDC.

又SA平面ABCD，

設SB1C1D1-ABCD為SA，AB，BC為稜長構造的長方體，

得體對角線長為12+12+22=2R，

所以R=1，球O的表面積S=4.故 選A.

答案 A

5.(2014湖南卷)一塊石材表示的幾 何體的三視圖如圖所示.將該石材切削、打磨，加工成球，則能得到的最大球的半徑等於()

A.1 B.2

C.3 D.4

解析

由三視圖可得原石材為如圖所示的直三稜柱A1B1C1-ABC，且AB=8，BC=6，BB1=12.若要得到半徑最大的球，則此球與平面A1B1BA，BCC1B1，ACC1A1相切，故此時球的半徑與△ABC內切圓的半徑相等，故半徑r=6+8-102=2.故選B.

答案 B

6.點A，B，C，D均在同一球面上，其中△ABC是正三角形，AD平面ABC，AD=2AB=6，則該球的體積為()

A.323 B.48 C.643 D.163

解析

如圖所示，O1為三角形ABC的外心，過O做OEAD，

OO1面ABC，

AO1=33AB=3.∵OD=O A，

E為DA的中點.∵AD面ABC，

AD∥OO1，EO=AO1=3.

DO=DE2+OE2=23.

R=DO= 23.

V=43(23)3=323.

答案 A

二、填空題

7.某四稜錐的三視圖如圖所示，該四稜錐的體積是________.

解析

由三視圖可知，四稜錐的高為2，底面為直角梯形ABCD.其中DC=2，AB=3，BC=3，所以四稜錐的體積為132+3322=533.

答案 533

8.如圖，在三稜柱A1B1C1-ABC中，D，E，F分別是AB，AC，AA1的中點，設三稜錐F-ADE的體積為V1，三稜柱A1B1C1-ABC的體積為V2，則V1?V2=________.

解析 設三稜柱A1B1C1-ABC的高為h，底面三角形ABC的面積為S，則V1=1314S12h=124Sh=124V2，即V1?V2=1?24.

答案 1?24

9.在四面體ABCD中，AB=CD=6，AC=BD=4，AD=BC=5，則四面體ABCD的外接球的表面積為________.

解析 構造一個長方體，使得它的三條面對角線分別為4、5、6，設長方體的'三條邊分別為x，y，z，則x2+y2+z2=772，而長方體的外接球就是四面體的外接球，所以S=4R2=772.

答案 772

三、解答題

10.下列三個圖中，左邊是一個正方體截去一個角後所得多面體的直觀圖.右邊兩個是其正(主)視圖和側(左)視圖.

(1)請在正(主)視圖的下方，按照畫三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖(不要求敍述作圖過程).

(2)求該多面體的體積(尺寸如圖).

解 (1)作出俯視圖如圖所示.

(2)依題意，該多面體是由一個正方體(ABCD-A1B1C1D1)截去一個三稜錐(E-A1B1D1)得到的，所以截去的三稜錐體積

VE-A1B1D1=13S△A1B1D1A1E=1312221=23，

正方體體積V正 方體AC1=23=8，

所以所求多面體的體積V=8-23=223.

11.

(2014安徽卷)如圖，四稜柱ABCD-A1B1C1D1中，A1A底面ABCD.四邊形ABCD為梯形，AD∥BC，且AD=2BC.過 A1，C，D三點 的平面記為，BB1與的交點為Q.

(1)證明：Q為BB1的中點;

(2)求此四稜柱被平面所分成上下兩部分的體積之比.

解 (1)證明：因為BQ∥AA1，BC∥AD，BCBQ=B，ADAA1=A，

所以平面QBC∥平面A1AD.

從而平面A1CD與這兩個平面的交線相互平行，即QC∥A1D.

故△QBC與△A1AD的對應邊相互平行，於是△QBC∽△A1AD.

所以BQBB1=BQAA1=BCAD=12，

即Q為BB1的中點.

(2)如圖，連接QA，QD.

設AA1=h，梯形ABCD的高為d，四稜柱被平面所分成上下兩部分的體積分別為V上和V下，BC=a，則AD=2a.

VQ-A1AD=13122ahd=13ahd，

VQ-ABCD=13a+2a2d12h=14ahd，

所以V下=VQ-A1AD+VQ-ABCD=712ahd，

又V四稜柱A1B1C1D1-ABCD=32ahd，

所以V上=V四稜柱A1B1C1D1-ABCD-V下=32ahd-712ahd=1112ahd.故V上V下=117.

B級能力提高組

1.(2014北京卷)在空間直角座標系Oxyz中，已知A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(1,1，2).若S1，S2，S3分別是三稜錐D-ABC在xOy，yOz，zOx座標平面上的正投影圖形的面積，則()

A.S1=S2=S3 B.S2=S1且S2S3

C.S3=S1且S3 S2 D.S3=S2且S3S1

解析 作出三稜錐在三個座標平面上的正投影，計算三角形的面積.如圖所示，△ABC為三稜錐在座標平面xOy上的正投影，所以S1=1222=2.三稜錐在座標平面yOz上的正投影與△DE F(E，F 分別為OA，BC的中點)全等，所以S2=1222=2.三稜錐在座標平面xOz上的正投影與△DGH(G，H分別為AB，OC的中點)全等，所以S3=1222=2.所以S2=S3且S1S3.故選D.

答案 D

2.(2014山東卷)三稜錐P-ABC中，D，E分別為PB，PC的中點，記三稜錐D-ABE的體積為V1，P-ABC的體積為V2，則V1V2=________.

解析 由於VP-ABE=VC-ABE，所以VP-ABE=12VP-ABC，又因VD-ABE=12VP-ABE，所以VD-ABE=14VP-ABC，V1V2=14.

答案 14

3.

(理)(2014課標全國卷Ⅱ)如圖，四稜錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA平面ABCD，E為PD的中點.

(1)證明：PB∥平面AEC;

(2)設二面角D-AE-C為60，AP=1，AD=3，求三稜錐E-ACD的體積.

解 (1)連接BD交AC於點O，連接EO.

因為ABCD為矩形，所以O為BD的中點.

又E為PD的中點，所以EO∥PB.

EO平面AEC，PB平面AEC，

所以PB∥平面AEC.

(2)因為PA平面ABCD，ABCD為矩形，所以AB，AD，AP兩兩垂直.

如圖，以A為座標原點，AB的方向為x軸的正方向，|PA|為單位長，建立空間直角座標系A-xyz.

則D(0，3，0)，E0，32，12， AE=0，32，12.

設B(m,0,0)(m0)，則C(m，3，0)，AC=(m，3，0)，

設n1=(x，y，z)為平面ACE的法向量，

則n1AC=0，n1AE=0，即mx+3y=0，32y+12z=0，

可取n1=3m，-1，3.

又n2=(1,0,0)為平面DAE的法向量，

由題設|cos〈n1，n2〉|=12，即 33+4m2=12，

解得m=32.因為E為PD的中點，所以三稜錐E-ACD的高為12.三稜錐E-ACD的體積V=131233212=38.

3.(文)如圖，在Rt△ABC中，AB=BC=4，點E在線段AB上.過點E作EF∥BC交AC於點F，將△AEF沿EF折起到△PEF的位置(點A與P重合)，使得PEB=30.

(1)求證：EF

(2)試問：當點E在何處時，四稜錐P-EFCB的側面PEB的面積最大?並求此時四稜錐P-EFCB的體積.

解 (1)證明：∵AB=BC，BCAB，

又∵EF∥BC，EFAB，

即EFBE，EFPE.

又BEPE=E，

EF平面PBE，

EFPB.

(2)設BE=x，PE=y，則x+y=4.

S△PEB=12BEPEsinPEB=14xy14x+y22=1.

當且僅當x=y=2時，S△PEB的面積最大.

此時，BE=PE=2.

由(1)知EF平面PBE，

平面PBE平面EFCB，

在平面PBE中，作POBE於O，

則PO平面EFCB.

即PO為四稜錐P-EFCB的高.

又PO=PEsin30=212=1.

S梯形EFCB =12(2+4)2=6.

VP-BCFE=1361=2.