數學的三股推動力量數學內部的矛盾分析

一、數學內部的矛盾

整個數學的發展史就是一部矛盾鬥爭的歷史。數學內部的矛盾是推動數學長河滾滾向前的主要力量之一。

數學以現實世界的空間形式和數量關係作為自己研究的對家，為了在純粹形態上研究這些形式和關係，就必須和現實世界的內容割裂開來。但是，離開內容的形式和關係是不存在的。因此，數學按它的本質企圖實現這種割裂，是企圖實現一種不可能的事情。這是在數學本質中的根本矛盾，它是認識的普遍矛盾在數學方面的特殊表現。在越來越接近現實的各個認識階段上，不斷解決和重複上述矛盾，數學就不斷地前進、發展，由簡單到複雜，由低級向高級。

人類最早認識的是自然數，引進零和負數就經過了鬥爭：要麼引進這些數，要麼大量的數的減法就行不通。同樣，引進分數使乘法有了逆運算―除法，否則許多實際問題也不能解決。

但是接着又出現了這樣的問題：是否所有的量都能夠用有理數來表示？發現無理數並最終使得第一次數學危機的解決，促使了邏輯的發展和幾何學的系統化。方程解的問題導致虛數的出現，虛數從一開始就被認為是“不實的”，可是這種不實的數卻解決了實數所不能解決的問題，從而為自己爭得了存在的權利。數學就是這樣在矛盾鬥爭中發展的。幾何學從歐幾里得幾何的一統天下發展到多種幾何，也是如此。

在19世紀發現了許多用傳統方法不能解決的問題，如五次及五次以上代數方程不能通過加、減、乘、除、開方求出根來；古希臘幾何三大問題不能通過圓規和直尺作圖來解決等等。這些否定的結果表明了傳統方法的侷限性，也反映了人類認識的深入。

這些發現給有關學科帶來了極大的衝擊，幾乎完全改變了它們的方向。例如，代數學從此以後向抽象代數的方面發展，而求解方程的.根也變成了分析及計算數學的課題。在第三次數學危機中，這種情況也多次出現，尤其是包含整數算術在內的形式系統的不完全性、許多問題的不可判定性，都大大提高了人們的認識，也促進了數理邏輯的大發展。

由無窮小量的矛盾引起的第二次數學危機，反映了數學內部的有限與無窮的矛盾。第三次數學危機涉及集合論和數理邏輯，但它一開始就牽涉到無窮集合，而現代數學脱離無窮集合就寸步難行。一種極端的觀點是隻考慮有限集合或至多是可數的集合，不過這樣一來絕大部分數學將不復存在。

即使這些有限數學的內容也有許多要涉及無窮的方法，有很多的數學證明都要用有限的步驟解決涉及無窮的問題。藉助於計算機完成的四色定理的證明，首先也要把無窮多種可能的地圖歸結成有限的情形。對於無窮，計算機也是無能為力的。可見數學永遠迴避不了有限與無窮這對矛盾，可以説它是數學矛盾的根源之一。

數學中也一直貫穿着應用上清楚與邏輯上嚴格的矛盾。在這方面，比較注意實用的數學家盲目應用，而比較注意嚴密的數學家則提出批評。只有這兩方面取得協調一致，矛盾才能解決。例如，算符演算及δ函數，開始是形式演算，任意應用，直到施瓦爾茲才奠定廣義函數論的嚴整系統。微積分的應用與極限論的建立更是眾所周知的。

在數學史中，一直存在着經常起作用的兩種重要趨勢：一種是學科不斷分化的趨勢，另一種是學科不斷綜合的趨勢。這兩種矛盾的趨勢的辨證運動，表現為一個否定之否定的過程。

自然界作為一個無限多樣性的統一整體，通過感覺和知覺進入人類的意識。古時候，數學是在總體的數和形的關係上把握自然界的，算術、代數、幾何沒有彼此分開，任何一本數學名著都包括了這三方面的內容，並且把它們溶化在一起。因此，古代的數學本質上是一種感性直觀的關於數和理的綜合的科學。

從17世紀產生解析幾何和微積分以後，學科分化的趨勢一直居於主導地位。單一的未經分化的學科向許多專門分支學科發展，每一門學科所研究的又都是具體完整的數學中數與形的某一個方面。這種不斷分化，到19世紀下半葉達到了相當精細的程度，代數、幾何、分析等學科已經形成了各自不同的研究領域，特別是分析領域的發展更是蓬蓬勃勃。每個學科都可以互不聯繫地單獨向前發展，各學科在理論、語言、方法等方面可以互不相通，根本談不上統一的數學的圖景。

從1872年克萊因用“羣”的觀點統一各種幾何開始，到康托爾建立集合論和公理化運動，越來越分化的數學走向綜合的趨勢逐漸明顯。到20世紀初，數學學科的分化和綜合都明顯加快了。從20年代起，特別是第二次世界大戰後，綜合的趨勢已佔主導地位。學科的繼續分化實際上已經是綜合趨勢的一種表現形式，因為新學科的不斷出現正在越來越消除各學科之間的傳統界限。對於數和形的深入認識，更多地採用多學科的方法的綜合認識形式。因此，各門學科更加緊密地聯繫起來。現代數學發展的辨證法就是這樣的，越是理解了整體的各個方面，就越是接近於綜合地把握整體。

也許將來會出現一種公認的新觀點，把目前的數學統一起來。但是，這種統一隻是暫時的、相對的。隨着生產和科技的發展，又會產生新的問題，形成新的分支，促進新的分化。數學將在這種不斷的分化和綜合中不斷前進。