九年級數學數據的分析

5 第29講 數據的分析

考標要求考查角度

1.會求一組數據的平均數、加權平均數、中位數、眾數、極差、方差，能理解它們在實際問題中反映的意義，而且會運用樣本估計總體的思想方法解決實際應用問題．

2．瞭解樣本方差、總體方差的意義．會根據同類問題的兩組樣本數據的方差比較兩組樣本數據的波動情況. 本講會考主要考查算術平均數、加權平均數、中位數、眾數、極差和方差的計算，結合實際問題來描述一組數據的集中趨勢和離散程度．題型以選擇題、填空題為主，還常與統計圖、概率等知識進行綜合考查.

知識梳理

一、平均數、眾數與中位數

1．平均數

(1)平均數：對於n個數x1，x2，…，xn，我們把1n(x1＋x2＋…＋xn)叫做這組數據的算術平均數，簡稱__________，記為x.

(2)加權平均數：如果有n個數x1，x2，…，xn，x1出現f1次，x2出現f2次，x3出現f3次，…，x出現f次(其中f1＋f2＋…＋f＝n)，那麼x＝1n(x1f1＋x2f2＋…＋xf)叫做x1，x2，…，x這個數的加權平均數，其中f1，f2，…，f分別叫做x1，x2，…，x的權，f1＋f2＋f3＋…＋f＝n.

2．眾數

在一組數據中，出現次數_______ ___的數叫做這組數據的眾數(一組數據的眾數有時有幾個)．

3．中位數

將一組數據按__________依次排列，把處在__________的一個數據(或最中間兩個數據的平均數)叫做這組數據的中位數．

二、數據的波動

1．極差

一組數據中__________與__________的差，叫做這組數據的極差．

2．方差

在一組數據x1，x2，x3，…，xn中，各數據與它們的平均數x的差的__________的平均數叫做這組數據的方差，即s2＝1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]．

3．極差、方差和標準差都可以衡量一組數據的波動大小；方差(或標準差)越大，説明這組數據波動越大．

自主測試

1．(20xx上海)數據5,7,5,8,6,13,5的中位數是( )

A．5 B．6 C．7 D．8

2．“恆盛”超市購進一批大米，大米的標準包裝為每袋30 g，售貨員任選6袋進行了稱重檢驗，超過標準重量的記作“＋”，不足標準重量的記作“－”，他記錄的結果是＋0.5，－0.5，0，－0.5，－0.5，＋1，那麼這6袋大米重量的平均數和極差分別是( )

A．0,1.5 B．29.5,1 C．30,1.5 D．30.5,0

3．甲、乙兩學生在軍訓打靶訓練中，打靶的總次數相同，且所中環數的平均數也相同，但甲的成績比乙的成績穩定，那麼兩者的方差的大小關係是( )

A．s2甲＜s2乙 B．s2甲＞s2乙C．s2甲＝s2乙 D．不能確定

4．(20xx浙江寧波)我市某一週每天的最高氣温統計如下：27,28,29 ,29,30,29,28(單位：℃)，則這組數據的極差與眾數分別為( )

A．2,28 B．3,29 C．2,27 D．3,28

考點一、平均數、眾數、中位數

【例1】 (1)某校藝術節演出中，5位評委給某個節目打分如下：9分， 9.3分，8.9分，8.7分，9.1分，則該節目的平均得 分是__________分．

(2)某文具商店共有單價分別為10元、15元和20元的3種文具盒出售，該商店統計了20xx年3月份這三種文具盒的銷售情況，並繪製統計圖如下：

文具店20xx年3月份3種文具盒銷售情況扇形統計圖

3種文具盒銷售情況條形統計圖

①請把條形統計圖補充完整；

②小亮認為該商店3月份這三種文具盒總的平均銷售價格為13(10＋15＋20)＝15元，你認為小亮的計算方法正確嗎？如果不正確，請計算總的平均銷售價格．

分析：(1)直接利用算術平均數的求法求；

(2)該商店3月份這三種文具盒總的平均銷售價格是求加權平均數．

解：(1)9 (2)①

3種文具盒銷售情況條形統計圖

②不正確，平均銷售價格為(10×150＋15×360＋20×90)÷(150＋360＋90)＝8 700÷60 0＝14.5(元)．

方法總結 平均數、眾數和中位數是以不同角度反映一組數據的集中趨勢．眾數是一組數據中出現次數最多的，而中位數是一組數據從小到大(或從大到小)排列處於中間位置的一個數或兩個數的平均數，平均數則是所有數的和與個數的商，求解時一定要明確其求法．

觸類旁通1我市某一週的`最高氣温統計如下表：

最高氣温/℃25262728

天數1123

則這組數據的中位數與眾數分別是( )

A．27,2 8 B．27.5,28C．28,27 D．26.5,27

考點二、極差與方差

【例2】 (1)(20xx湖南株洲)在體育達標測試中，某校九年級5班第一小組六名同學一分鐘跳繩成績如下：93,138,98,152,138,183，則這組數據的極差是( )

A．138 B．183 C．90 D．93

(2)(20xx湖南懷化)為了比較甲、乙兩種水稻秧苗是否出苗整齊，每種秧苗各取10株分別量出每株長度，發現兩組秧苗的平均長度一樣，甲、乙方差分別是3.9,15.8，則下列説法正確的是( )

A．甲秧苗出苗更整齊 B．乙秧苗出苗更整齊

C．甲、乙出苗一樣整齊 D．無法確定

解析：(1)根據極差的概念求；(2)比較甲、乙方差的大小，方差越小，出苗越整齊．

答案：(1)C (2)A

方法總結 極差和方差都是表示該組數據的波動大小的數據，從統計的角度看，在平均成績相同的情況下看成績的穩定性就是比較方差的大小．

觸類旁通2 一次學科測驗，學生得分均為整數，滿分為10分，成績達到6分以上(包括6分)為合格，成績達到9分為優秀．這次測驗中甲、乙兩組學生成績分佈的條形統計圖如圖．

(1)請補充完成下面的成績統計分析表：

平均分方差中位數合格率優秀率

甲組%16.7%

乙組1.383.3%8.3%

(2)甲組學生説他們的合格率、優秀率均高於乙組，所以他們的成績好於乙組．但乙組學生不同意甲組學生的説法，認為他們組的成績要好於甲組，請你給出三條支持乙組學生觀點的理由．

1．(20xx湖南湘潭)已知一組數據3，a,4,5的眾數為4，則這組數據的平均數為( )

A．3 B．4 C．5 D．6

2．(20xx湖南婁底)一組 數據為：2,2,3,4,5,5,5,6，則下列説法正確的是( )

A．這組數據的眾數是2 B．這組數據的平均數是3

C．這組數據的極差是4 D．這組數據的中位數是5

3．(20xx湖南常德)已知甲、乙兩種棉花的纖維長度的平均數相等，若甲種棉花的纖維長度的方差s2甲＝1.327 5，乙種棉花的纖維長度的方差s2乙＝1.877 5，則甲、乙兩種棉花質量較好的是__________．

4．(20xx湖南張家界)一組數據是4，x,5,10,11共有五個數，其平均數為7，則這組數據的眾數是__________．

1．北京市今年6月某日部分區縣的最高氣温如下表：

區縣大興通州平谷順義懷柔門頭溝延慶昌平密雲房山

最高氣温/℃32323032303229323032

則這10個區縣該日最高氣温的眾數和中位數分別是( )

A．32,32 B．32,30 C．30,32 D．32,31

2．16位參加百米半決賽同學的成績各不相同，按成績取前8位進入決賽．如果小劉知道了自己的成績後，要判斷能否進入決賽，其他15位同學成績的下列數據中，能使他得出結論的是( )

A．平均數 B．極差 C．中位數 D．方差

3．某賽季甲、乙兩名籃球運動員12場比賽得分情況如圖所示：

對這兩名運動員的成績進行比較，下列四個結論中，不正確的是( )

A．甲運動員得分的極差大於乙運動員得分的極差

B．甲運動員得分的中位數大於乙運動員得分的中位數

C．甲運動員的得分平均數大於乙運動員的得分平均數

D．甲運動員的成績比乙運動員的成績穩定

4．某居民小區開展節約用電活動，對該小區100户家庭的節電量情況進行了統計，4月份與3月份相比，節電情況如下表：

節電量/千瓦時20304050

户數10403020

則4月份這100户節電量的平均數、中位數、眾數分別是( )

A．35,35,30 B．25,30,20 C．36,35,30 D．36,30,30

5．一個樣本為1,3,2,2，a，b，C．已知這個樣本的眾數為3，平均數為2，那麼這個樣本的方差為__________．

6．為了考察甲、乙兩種小麥的長勢，分別從中抽出20株測得其高度，並求得它們的方差分別為s2甲＝3.6，s2乙＝15.8，則_ ____ _種小麥的長勢比較整齊．

7．某國中學校欲向高一級學校推薦一名學生，根據規定的推薦程序：首先由本年級200名學生民主投票，每人只能推薦一人(不設棄權票)，選出了票數最多的甲、乙、丙三人，投票結果統計如圖(1)所示：

(1) (2)

其次，對三名候選人進行了筆試和麪試兩項測試，各項成績如下表所示：

測試項目測試成績/分

甲乙丙

筆試929095

面試859580

圖(2)是某同學根據上表繪製的一個不完整的條形圖．

請你根據以上信息解答下列問題：

(1)補全圖；

(2)請計算每名候選人的得票數；

(3)若每名候選人得一票記1分，投票、筆試、面試三項得分按照2∶5∶3的比確定，計算三名候選人的平均成績，成績高的將被錄取，應該錄取誰？

參考答案

【知識梳理】

一、1.(1)平均數 2.最多 3．大小 最中間

二、1.最大值 最小值 2.平方

導學必備知識

自主測試

1．B 因為這組數據從小到大排列為5,5,5,6,7,8,13，第四個數6為中位數．

2．C

3．A 根據方差的意義知，射擊成績比較穩定，則方差較小．

∵甲的成績比乙的成績穩定，∴有s2甲＜s2乙．故選A.

4．B 因為這組數中，最大的數是30，最小的數是27，

所以極差為30－27＝3.

29出現了3次，出現的次數最多，

所以眾數是29.

探究考點方法

觸類旁通1.A 由統計表可知，温度為25 ℃有1天，温度為26 ℃有1天，温度為27 ℃有2天，温度為28 ℃有3天．

觸類旁通2.分析：評價成績的好壞，不能只看某一方面，應多方面考慮．

解：(1)甲組：中位數7；乙組：平均分7，中位數7；

(2) (答案不唯一)①乙組學生的平均分高於甲組學生的平均分；②乙組學生的方差低於甲組學生的方差；③乙組學生成績不低於7分的人數比甲組多．

品鑑經典考題

1．B ∵眾數為4，∴a＝4，∴x＝3＋4×2＋54＝4.

2．C 這組數據中，5出現的次數最多，所以眾數是5，故A不正確；2×2＋3＋4＋5×3＋68＝4，故B不正確；6－2＝4，這組數據的極差是4，C正確；數據按從大到小排列後，處在中間位置的兩個數是4和5，所以中位數為4＋52＝4.5，故D不正確．

3．甲

4．5 4＋x＋5＋10＋115＝7，解得x＝5，∴這組數據的眾數是5.

研習預測試題

1．A 2 3.D 4

5.87 ∵這個樣本的眾數為3，

∴a，b，c中至少有兩個為3，設a＝b＝3，

∴1＋3×3＋2×2＋c7＝2，∴c＝0.

∴s2＝17×[(1－2)2＋(3－2)2＋(2－2)2＋(2－2)2＋(3－2)2＋(3－2)2＋(0－2)2]＝87.

6．甲

7．解：(1)

(2)甲的票數：200×34%＝68(票)，乙的票數：200×30%＝60(票)，丙的票數：200×28%＝56(票)．

(3)甲的平均成績：x1＝68×2＋92×5＋85×32＋5＋3＝85.1，

乙的平均成績：x2＝60×2＋90×5＋95×32＋5＋3＝85.5，

丙的平均成績：x3＝56×2＋95×5＋80×32＋5＋3＝82.7.

∵乙的平均成績最高，∴應該錄取乙．