數學五年級上冊《數學廣角─植樹問題》教材分析

和前面幾冊教材一樣，本冊也專門安排了數學廣角單元，向學生滲透了一些重要的數學思想方法。本冊的數學廣角──植樹問題包含三個例題，主要是滲透有關植樹問題的一些思想方法，通過現實生活中一些常見的實際問題，讓學生從中發現一些規律，抽取出其中的數學模型，然後再用發現的規律來解決生活中的一些簡單實際問題。

解決植樹問題的思想方法是實際生活中應用比較廣泛的數學思想方法。植樹問題通常是指沿一定的路線植樹，這條路線的總長度被樹平均分成若干段（間隔），由於路線的不同、植樹要求的不同，路線被分成的段數（間隔數）和植樹的棵數之間的關係就不同。在現實生活中類似的問題還有很多，比如公路兩旁安裝路燈、花壇擺花、廣場敲鐘等，這些問題情境中都隱藏着總數和間隔數之間的關係問題，我們就把這類問題統稱為植樹問題。在植樹問題中，植樹的路線可以是一條線段，也可以是一條首尾相接的封閉曲線（如正方形、長方形或圓形等）。即使是關於一條線段的植樹問題，也可能有不同的情形（如兩端都要栽，只在一端栽另一端不栽，或是兩端都不栽）。

《義務教育數學課程標準（2011年版）》強調：要從學生已有的生活經驗出發，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型並進行解釋與應用的過程，進而使學生獲得對數學理解的同時，在思維能力、情感態度與價值觀等多方面得到進步和發展。

教材在編排上，注重引導學生進行觀察、猜測、驗證、推理等數學活動，使學生初步體會解決植樹問題的思想方法（模型思想），培養學生從實際問題中探索解決問題的有效方法的能力。在教學植樹問題時，教師要引導學生根據實際問題情境，從簡單的情況入手，在解決問題的分析、思考過程中，逐步發現隱含的規律，經歷建立數學模型的過程，幫助學生積累數學活動的經驗，提高學生解決實際問題的能力。

下面就教材中安排的三個典型例題進行分析。

一、經歷解決問題的過程

教材第106頁例1通過學生熟悉的植樹情境，引導學生藉助線段圖，經歷猜想、實驗、抽象等數學活動過程，探索間隔與點之間的數量關係，建立植樹問題的數學模型，再運用模型解決實際問題。讓學生經歷分析、思考、解決問題的全過程。

教材用幾個小朋友的對話和圖片來呈現學生探索解決問題的過程。首先由一個男孩説出學生們可能會想到的答案：1005=20（棵），接着一個女孩問：對嗎？檢驗一下，來引發學生思考。接下來由小精靈提出瞭解決問題的常用方法──從簡單的情況入手解決複雜的問題。這裏先呈現直觀的圖示法，讓學生看到把一條線段平均分成4段，加上兩個端點，一共有5個點，也就是要栽5棵樹。使學生髮現植樹時確定樹苗數量的問題並不能簡單地用除法來解決。緊接着一個小男孩提出25 m可以栽幾棵？這次用畫線段圖的方式解決問題，不僅在研究方法上從直觀轉為抽象，更是向學生滲透歸納思想──一個特例不足以説明問題，多個不同的事物才能揭示規律。然後向學生提問：你發現了什麼規律？啟發學生透過現象發現規律，也就是栽樹的棵數要比間隔數多1。同時教材進一步提出不畫圖，你知道30 m、35 m要栽幾棵樹嗎？讓學生利用發現的規律先解決簡單的問題。最後教材要求應用發現的規律來解決前面的植樹問題：100 m長的小路共有20個間隔，兩端都要栽，所以一共要栽21棵樹。這樣就把分析、思考、解決問題的整個全過程展示出來，讓學生經歷這個過程並從中學習一些解決問題的方法和策略。即遇到問題時，可以先給出一個猜測，要判斷這個猜測對不對，可以用比較簡單的例子來檢驗，並且可以從簡單的事例中發現規律，然後應用找到的規律來解決原來的問題。

對於例2（兩端不栽的情況）以及第107頁做一做第2題（一端栽一端不栽的情況），由於學生前面有了探索的經驗，這裏可以放手讓學生去探索，用自己的方法去發現這兩種情況的植樹問題中隱含的規律。

二、體會基本的數學思想

本單元通過一些生活中的事例，讓學生根據不同的情況總結出規律，並利用這些規律解決問題。但是，本單元的教學最終目的並不只是讓學生明白規律，而是要引領學生進一步探究規律的產生原因，幫助其建立一一對應的`思維方式，形成解決問題的策略，從而體驗數學思想方法在解決實際問題中的應用。

在植樹問題中最重要的數學思想就是模型思想，而如何讓學生理解從實際問題中抽象出數學模型的過程是教學植樹問題的難點。為了突破這一難點，教材突出了線段圖的教學，通過幾何直觀幫助學生理解植樹問題的數學模型。例1是探討關於一條線段、並且兩端都要栽的植樹問題，讓學生通過畫線段圖來發現栽樹的棵數和間隔數之間的關係。通過這兩幅圖，讓學生把點（樹）與線（間隔）一一對應起來，結果發現還多出一個點（樹），所以栽樹棵數=間隔數+1。例2通過遷移呈現出兩端都不栽的線段圖，做一做的第2題讓學生通過遷移畫出一端栽另一端不栽的線段圖。例3則讓學生理解在封閉曲線上植樹的線段圖的畫法以及溝通它和一條線段上植樹中的一端栽另一端不栽的聯繫。整個單元教材通過線段圖的教學，突出一一對應的思想，並以此為基礎分析植樹問題三種不同的情況，即兩端都栽只栽一端與兩端都不栽。無論哪種情形，都能用一一對應的思想統領。

教材通過選取生活中不同的事例，讓學生體會一種在數學學習、研究問題上都很重要的數學思想方法──化歸思想，使學生感悟到應用數學模型解決問題所帶來的便利。同時培養學生在解決實際問題中探索規律，找出解決問題的有效方法的能力，初步培養學生抽取數學模型的能力。

在練習中，教材以植樹問題為背景幫助學生清楚地認識到路燈問題、敲鐘問題、鋸木問題等都與植樹問題有着相同的數學結構，讓學生建構相應的數學模型。

三、感受轉化的研究方法，積累基本的活動經驗

教材第108頁例3討論的是在封閉圖形周圍栽樹的情形。學生學習了例1、例2後，掌握了直線段中的植樹問題（在線段的兩端都栽、兩端都不栽或只栽一端的情況下，栽的棵數與間隔數的關係）。教材這樣的編排意圖很顯然是要用植樹問題的思考方法來解決封閉圖形中的植樹問題。

面對封閉圖形中的植樹問題，教材首先提示研究方法：先畫圖試試看。假設周長是40 m，引導學生根據前面例1、例2的研究經驗──直觀作圖、化繁為簡來嘗試解決問題。當學生直觀看出能栽4棵後，教材並不急於讓學生探索出封閉圖形植樹問題中的規律（即間隔數等於棵數），而是請小精靈進一步提出問題：如果把圓拉直成線段，你能發現什麼？從而把學生的思維引向深處。讓學生通過觀察、思考發現，化曲為直後，封閉圖形上植樹其實可以轉化成一端栽另一端不栽的情形。接下來，教材通過兩位學生的對話我發現間隔數與樹一一對應相當於一端栽，一端不栽，不僅揭示了封閉圖形上植樹的規律，更是為學生溝通了例3與前面的例1、例2間的聯繫。

本單元注重讓學生經歷觀察、猜測、驗證、推理與交流等活動，使學生既學會一些解決問題的一般方法與策略，又積累基本的數學活動經驗。例如，例1通過對嗎？檢驗一下100 m太長了，可以先用簡單的數試試你發現了什麼規律等，滲透了猜測──探索──歸納──應用的解決問題的策略和化繁為簡的解決問題的方法。