考研數學應該瞭解哪些科目規律

考研複習要有科學的方法，而説到科學就必然涉及規律一類，有依據才有方法。小編為大家精心準備了考研數學各科目規律的相關資料，歡迎大家前來閲讀。

　　考研數學各科目的規律

1. 高數

(1)知識多

直接關係到考研的成敗，複習需花費最多的時間。

(2)模塊感清晰

有同學説：高數的題會了一塊，一類的就會了。如冪級數求和展開，記住常見的幾個泰勒級數公式，會通過基本變形或求導求積把已知函數(或級數)朝常見公式轉化，這類問題就基本解決了。而線代不是這樣，基本類型題目會了，考得深入些就心裏沒底了。

2. 線代

線代的知識結構是個網狀結構：知識點之間的聯繫非常多，交錯成一個網狀。以矩陣A可逆為例，請大家考慮一下有哪些等價條件。從行列式的角度，為矩陣A的行列式不為零;從向量組的角度，為矩陣A的列向量組(或行向量組)線性無關;從線性方程組的角度，為Ax=0僅有零解(或Ax=b有唯一解);從秩的角度，為矩陣的秩為矩陣的階數;從特徵值的角度，為矩陣的特徵值不含零;從二次型的角度，為A轉置乘A正定。不難發現，以矩陣可逆這個基本的概念可以把整個線代串起來。

3. 概率

概率的知識結構是個倒樹形結構。第一章隨機事件與概率是基礎，在此基礎上引入隨機變量，而分佈是隨機變量的描述方式。第二章和第三章介紹隨機變量及分佈。分佈描述了隨機變量全部的信息，而數字特徵僅描述了部分信息(如離散型隨機變量的數學期望可以理解成該隨機變量在概率意義下的平均值)。之後討論整個概率的理論基礎——大數定律和中心極限定理。概率論部分就到此為止了。數理統計看成對概率論的應用。

二、命題的規律

高數的知識點多，考點也多，而真題會考點覆蓋相對比較全(參見今年和去年的考點統計)。此外，

高數側重對數一、二、三獨有知識的考查。如數一獨有的內容多元積分，幾乎是必考內容，數二的“曲率”及定積分的物理應用(如形心質心)，數三的經濟應用(如邊際收益)也是常考內容。

由於線代的知識間的聯繫非常多， 所以線代的試題常以一題考查多個知識點，體現出明顯的“綜合”和“靈活”的特點。

概率是三科中題型最固定的：哪常考大題，哪常考小題非常清楚。常考大題的內容有：邊緣分佈和條件分佈(尤其是邊緣概率密度和條件概率密度的相關計算)，隨機變量函數的分佈，參數估計(矩估計和極大似然估計)。其餘考點常考小題(或者大題的一問)：如隨機事件與概率，數字特徵。

　　考研數學做題提高成績的建議

1.切忌眼高手低

"眼高手低"是很多考生在複習數學時易犯的錯誤，很多考生對基礎性的東西不屑一顧，認為這些內容很簡單，用不着下勁複習，還有的考生只是"看"，認為看懂就行了，很少下筆去做題，結果在最後的考試中眼熟手生，難以取得好的成績。所以，在複習數學時一定要腳踏實地，一步一個腳印，就像下象棋，要取敵方老帥，就要老老實實戰敗所有兵卒，穩紮穩打，步步為營，這樣的話，才能以不變應萬變，在最後的實考中佔據主動!

2.基礎是提高的前提

基礎的重要性已不言而喻，但是隻注重基礎，也是不行的。太注重基礎，就會拘泥於書本，難以適應考研試題。打好基礎的目的就是為了提高。但太重提高就會基礎不牢，導致頭重腳輕，力不從心。考生要明白基礎與提高的辯證關係，根據自身情況合理安排複習進度，處理好打基礎和提高能力兩者的關係。一般來説，基礎與提高是交叉和分段進行的，在一個時期的某一個階段以基礎為主，基礎紮實了，再行提高。然後又進入了另一個階段，同樣還要先紮實基礎再提高水平，如此反覆循環。考生在這個過程中容易遇到這樣的問題，就是感覺自己經過基礎複習或一段時間的提高後幾乎不再有所進步，甚至感到越學越退步，碰到這種情況，考生千萬不要氣餒，要堅信自己的能力，只要複習方法沒有問題，就應該堅持下去。雖然表面上感到沒有進步，但實際水平其實已經在不知不覺中提高了，因為在這個時期考生已經認識到了自己的不足，正處於調整和進步中。這個時候需要的就是考生的意志力，考研本來就是一場意志力的比賽，不僅需要豐富的知識和較高的能力，更要有堅強的意志力。只要堅持下去，就有成功的希望。

3.按題型分類進行

解題訓練最好按題型進行分類複習，對於任何一個同學而言，都可能有自己很擅長的某些類型的題，相反的，也有一些不太熟悉或者不會做的題型，這在複習的過程中也當有所側重。例如複習大全當中的典型例題解析部分，就對各個章節的題目都進行了細緻劃分，且在題目解答部分給出一題多解的多種解題方法，極大程度拓寬同學們的思路，掌握多種解題方法和要領。第一遍複習的時候，需要認真研究各種題型的`求解思路和方法，做到心中有數，同時對自己的強項和薄弱環節有清楚的認識，第二遍複習的時候就可以有針對性地加強自己不擅長的題型的練習了，經過這樣兩邊的系統梳理，相信解題能力一定會有飛躍性的提高。

　　考研數學必考的定理證明

看!

一、求導公式的證明

20xx年真題考了一個證明題：證明兩個函數乘積的導數公式。幾乎每位同學都對這個公式怎麼用比較熟悉，而對它怎麼來的較為陌生。實際上，從授課的角度，這種在2015年前從未考過的基本公式的證明，一般只會在基礎階段講到。如果這個階段的考生帶着急功近利的心態只關注結論怎麼用，而不關心結論怎麼來的，那很可能從未認真思考過該公式的證明過程，進而在考場上變得很被動。這裏給2017考研學子提個醒：要重視基礎階段的複習，那些真題中未考過的重要結論的證明，有可能考到，不要放過。

當然，該公式的證明並不難。先考慮f(x)*g(x)在點x0處的導數。函數在一點的導數自然用導數定義考察，可以按照導數定義寫出一個極限式子。該極限為“0分之0”型，但不能用洛必達法則，因為分子的導數不好算(乘積的導數公式恰好是要證的，不能用!)。利用數學上常用的拼湊之法，加一項，減一項。這個“無中生有”的項要和前後都有聯繫，便於提公因子。之後分子的四項兩兩配對，除以分母后考慮極限，不難得出結果。再由x0的任意性，便得到了f(x)*g(x)在任意點的導數公式。

類似可考慮f(x)+g(x)，f(x)-g(x)，f(x)/g(x)的導數公式的證明。

二、微分中值定理的證明

這一部分內容比較豐富，包括費馬引理、羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒中值定理。除泰勒中值定理外，其它定理要求會證。

費馬引理的條件有兩個：1.f'(x0)存在2. f(x0)為f(x)的極值，結論為f'(x0)=0。考慮函數在一點的導數，用什麼方法?自然想到導數定義。我們可以按照導數定義寫出f'(x0)的極限形式。往下如何推理?關鍵要看第二個條件怎麼用。“f(x0)為f(x)的極值”翻譯成數學語言即f(x) -f(x0)<0(或>0)，對x0的某去心鄰域成立。結合導數定義式中函數部分表達式，不難想到考慮函數部分的正負號。若能得出函數部分的符號，如何得到極限值的符號呢?極限的保號性是個橋樑。

費馬引理中的“引理”包含着引出其它定理之意。那麼它引出的定理就是我們下面要討論的羅爾定理。若在微分中值定理這部分推舉一個考頻最高的，那羅爾定理當之無愧。該定理的條件和結論想必各位都比較熟悉。條件有三：“閉區間連續”、“開區間可導”和“端值相等”，結論是在開區間存在一點(即所謂的中值)，使得函數在該點的導數為0。該定理的證明不好理解，需認真體會：條件怎麼用?如何和結論建立聯繫?當然，我們現在討論該定理的證明是“馬後炮”式的：已經有了證明過程，我們看看怎麼去理解掌握。如果在羅爾生活的時代，證出該定理，那可是十足的創新，是要流芳百世的。

閒言少敍，言歸正傳。既然我們討論費馬引理的作用是要引出羅爾定理，那麼羅爾定理的證明過程中就要用到費馬引理。我們對比這兩個定理的結論，不難發現是一致的：都是函數在一點的導數為0。話説到這，可能有同學要説：羅爾定理的證明並不難呀，由費馬引理得結論不就行了。大方向對，但過程沒這麼簡單。起碼要説清一點：費馬引理的條件是否滿足，為什麼滿足?

前面提過費馬引理的條件有兩個——“可導”和“取極值”，“可導”不難判斷是成立的，那麼“取極值”呢?似乎不能由條件直接得到。那麼我們看看哪個條件可能和極值產生聯繫。注意到羅爾定理的第一個條件是函數在閉區間上連續。我們知道閉區間上的連續函數有很好的性質，哪條性質和極值有聯繫呢?不難想到最值定理。那麼最值和極值是什麼關係?這個點需要想清楚，因為直接影響下面推理的走向。結論是：若最值取在區間內部，則最值為極值;若最值均取在區間端點，則最值不為極值。那麼接下來，分兩種情況討論即可：若最值取在區間內部，此種情況下費馬引理條件完全成立，不難得出結論;若最值均取在區間端點，注意到已知條件第三條告訴我們端點函數值相等，由此推出函數在整個閉區間上的最大值和最小值相等，這意味着函數在整個區間的表達式恆為常數，那在開區間上任取一點都能使結論成立。

拉格朗日定理和柯西定理是用羅爾定理證出來的。掌握這兩個定理的證明有一箭雙鵰的效果：真題中直接考過拉格朗日定理的證明，若再考這些原定理，那自然駕輕就熟;此外，這兩個的定理的證明過程中體現出來的基本思路，適用於證其它結論。

以拉格朗日定理的證明為例，既然用羅爾定理證，那我們對比一下兩個定理的結論。羅爾定理的結論等號右側為零。我們可以考慮在草稿紙上對拉格朗日定理的結論作變形，變成羅爾定理結論的形式，移項即可。接下來，要從變形後的式子讀出是對哪個函數用羅爾定理的結果。這就是構造輔助函數的過程——看等號左側的式子是哪個函數求導後，把x換成中值的結果。這個過程有點像犯罪現場調查：根據這個犯罪現場，反推嫌疑人是誰。當然，構造輔助函數遠比破案要簡單，簡單的題目直接觀察;複雜一些的，可以把中值換成x，再對得到的函數求不定積分。

三、微積分基本定理的證明

該部分包括兩個定理：變限積分求導定理和牛頓-萊布尼茨公式。

變限積分求導定理的條件是變上限積分函數的被積函數在閉區間連續，結論可以形式地理解為變上限積分函數的導數為把積分號扔掉，並用積分上限替換被積函數的自變量。注意該求導公式對閉區間成立，而閉區間上的導數要區別對待：對應開區間上每一點的導數是一類，而區間端點處的導數屬單側導數。花開兩朵，各表一枝。我們先考慮變上限積分函數在開區間上任意點x處的導數。一點的導數仍用導數定義考慮。至於導數定義這個極限式如何化簡，筆者就不能剝奪讀者思考的權利了。單側導數類似考慮。

“牛頓-萊布尼茨公式是聯繫微分學與積分學的橋樑，它是微積分中最基本的公式之一。它證明了微分與積分是可逆運算，同時在理論上標誌着微積分完整體系的形成，從此微積分成為一門真正的學科。”這段話精彩地指出了牛頓-萊布尼茨公式在高數中舉足輕重的作用。而多數考生能熟練運用該公式計算定積分。不過，提起該公式的證明，熟悉的考生並不多。

該公式和變限積分求導定理的公共條件是函數f(x)在閉區間連續，該公式的另一個條件是F(x)為f(x)在閉區間上的一個原函數，結論是f(x)在該區間上的定積分等於其原函數在區間端點處的函數值的差。該公式的證明要用到變限積分求導定理。若該公式的條件成立，則不難判斷變限積分求導定理的條件成立，故變限積分求導定理的結論成立。注意到該公式的另一個條件提到了原函數，那麼我們把變限積分求導定理的結論用原函數的語言描述一下，即f(x)對應的變上限積分函數為f(x)在閉區間上的另一個原函數。根據原函數的概念，我們知道同一個函數的兩個原函數之間只差個常數，所以F(x)等於f(x)的變上限積分函數加某個常數C。萬事俱備，只差寫一下。將該公式右側的表達式結合推出的等式變形，不難得出結論。

四、積分中值定理

該定理條件是定積分的被積函數在積分區間(閉區間)上連續，結論可以形式地記成該定積分等於把被積函數拎到積分號外面，並把積分變量x換成中值。如何證明?可能有同學想到用微分中值定理，理由是微分相關定理的結論中含有中值。可以按照此思路往下分析，不過更易理解的思路是考慮連續相關定理(介值定理和零點存在定理)，理由更充分些：上述兩個連續相關定理的結論中不但含有中值而且不含導數，而待證的積分中值定理的結論也是含有中值但不含導數。

若我們選擇了用連續相關定理去證，那麼到底選擇哪個定理呢?這裏有個小的技巧——看中值是位於閉區間還是開區間。介值定理和零點存在定理的結論中的中值分別位於閉區間和開區間，而待證的積分中值定理的結論中的中值位於閉區間。那麼何去何從，已經不言自明瞭。

若順利選中了介值定理，那麼往下如何推理呢?我們可以對比一下介值定理和積分中值定理的結論：介值定理的結論的等式一邊為某點處的函數值，而等號另一邊為常數A。我們自然想到把積分中值定理的結論朝以上的形式變形。等式兩邊同時除以區間長度，就能達到我們的要求。當然，變形後等號一側含有積分的式子的長相還是挺有迷惑性的，要透過現象看本質，看清楚定積分的值是一個數，進而定積分除以區間長度後仍為一個數。這個數就相當於介值定理結論中的A。

接下來如何推理，這就考察各位對介值定理的熟悉程度了。該定理條件有二：1.函數在閉區間連續，2.實數A位於函數在閉區間上的最大值和最小值之間，結論是該實數能被取到(即A為閉區間上某點的函數值)。再看若積分中值定理的條件成立否能推出介值定理的條件成立。函數的連續性不難判斷，僅需説明定積分除以區間長度這個實數位於函數的最大值和最小值之間即可。而要考察一個定積分的值的範圍，不難想到比較定理(或估值定理)。

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