高一數學期末考必考知識點歸納

第一章 集合與函數概念

一、集合有關概念

1、集合的含義:某些指定的對象集在一起就成為一個集合，其中每一個對象叫元素。

2、集合的中元素的三個特性:

1.元素的確定性; 2.元素的互異性; 3.元素的無序性

説明:(1)對於一個給定的集合，集合中的元素是確定的，任何一個對象或者是或者不是這個給定的集合的元素。

(2)任何一個給定的集合中，任何兩個元素都是不同的對象，相同的對象歸入一個集合時，僅算一個元素。

(3)集合中的元素是平等的，沒有先後順序，因此判定兩個集合是否一樣，僅需比較它們的元素是否一樣，不需考查排列順序是否一樣。

(4)集合元素的三個特性使集合本身具有了確定性和整體性。

3、集合的表示:{ … } 如{我校的籃球隊員}，{太平洋大西洋印度洋北冰洋}

1. 用拉丁字母表示集合:A={我校的籃球隊員}B={12345}

2.集合的表示方法:列舉法與描述法。

注意啊:常用數集及其記法:

非負整數集(即自然數集) 記作:N

正整數集 N*或 N+ 整數集Z 有理數集Q 實數集R

關於“屬於”的概念

集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示，如:a是集合A的元素，就説a屬於集合A 記作 a∈A ，相反，a不屬於集合A 記作 a?A

列舉法:把集合中的元素一一列舉出來，然後用一個大括號括上。

描述法:將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內表示集合的方法。用確定的條件表示某些對象是否屬於這個集合的方法。

①語言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}

②數學式子描述法:例:不等式x-3>2的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2}

4、集合的分類:

1.有限集 含有有限個元素的集合

2.無限集 含有無限個元素的集合

3.空集 不含任何元素的集合 例:{x|x2=-5}

二、集合間的基本關係

1.“包含”關係子集

注意: 有兩種可能(1)A是B的一部分，;(2)A與B是同一集合。

反之: 集合A不包含於集合B或集合B不包含集合A記作A B或B A

2.“相等”關係(5≥5，且5≤5，則5=5)

實例:設 A={x|x2-1=0} B={-11} “元素相同”

結論:對於兩個集合A與B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的.元素，同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素，我們就説集合A等於集合B，即:A=B

① 任何一個集合是它本身的子集。A?A

②真子集:如果A?B且A? B那就説集合A是集合B的真子集，記作A B(或B A)

③如果 A?B B?C 那麼 A?C

④ 如果A?B 同時 B?A 那麼A=B

3. 不含任何元素的集合叫做空集，記為

規定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。

三、集合的運算

1.交集的定義:一般地，由所有屬於A且屬於B的元素所組成的集合叫做AB的交集.

記作A∩B(讀作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}.

2、並集的定義:一般地，由所有屬於集合A或屬於集合B的元素所組成的集合，叫做AB的並集。記作:A∪B(讀作”A並B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}.

3、交集與並集的性質:A∩A = A A∩φ= φ A∩B = B∩A，A∪A = A

A∪φ= A A∪B = B∪A.

4、全集與補集

(1)補集:設S是一個集合，A是S的一個子集(即 )，由S中所有不屬於A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補集(或餘集)

記作: CSA 即 CSA ={x ? x?S且 x?A}

(2)全集:如果集合S含有我們所要研究的各個集合的全部元素，這個集合就可以看作一個全集。通常用U來表示。

(3)性質:⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA)∩A= ⑶(CUA)∪A=U

二、函數的有關概念

1.函數的概念:設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關係f，使對於集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那麼就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數.記作: y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自變量，x的取值範圍A叫做函數的定義域;與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)| x∈A }叫做函數的值域.

三角函數公式

兩角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)

倍角公式

tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

半角公式

sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)

cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)

tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))

ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))

和差化積

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)

2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB

某些數列前n項和

1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2

2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6

13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注: 其中 R 表示三角形的外接圓半徑

餘弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注:角B是邊a和邊c的夾角

弧長公式 l=a*r a是圓心角的弧度數r >0 扇形面積公式 s=1/2*l*r

乘法與因式分 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)

三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b

|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|

一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a

根與係數的關係 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注:韋達定理

判別式

b2-4ac=0 注:方程有兩個相等的實根

b2-4ac>0 注:方程有兩個不等的實根

b2-4ac<0 注:方程沒有實根，有共軛複數根

降冪公式

(sin^2)x=1-cos2x/2

(cos^2)x=i=cos2x/2

萬能公式

令tan(a/2)=t

sina=2t/(1+t^2)

cosa=(1-t^2)/(1+t^2)

tana=2t/(1-t^2)

§1.2.1、函數的概念

1、 設A、B是非空的數集，如果按照某種確定的對應關係，使對於集合A中的任意一個數，在集合B中都有惟一確定的數和它對應，那麼就稱為集合A到集合B的一個函數，記作:.

2、 一個函數的構成要素為:定義域、對應關係、值域.如果兩個函數的定義域相同，並且對應關係完全一致，則稱這兩個函數相等.

§1.2.2、函數的表示法

1、 函數的三種表示方法:解析法、圖象法、列表法.

§1.3.1、單調性與最大(小)值

1、 注意函數單調性證明的一般格式:

§1.3.2、奇偶性

1、 一般地，如果對於函數的定義域內任意一個，都有，那麼就稱函數為偶函數.偶函數圖象關於軸對稱.

2、 一般地，如果對於函數的定義域內任意一個，都有，那麼就稱函數為奇函數.奇函數圖象關於原點對稱.