三年級奧數知識:一筆畫問題
哥尼斯堡是一座人傑地靈的名城。在這裏,帕瑞格爾河從城中穿過,河中有兩個小島A與D,河上有七座橋連結這兩個島及河的兩岸B、C(圖1)。人們提出一個問題:能否經過每座橋恰好一次,既無重複也無遺漏,為了便於解決實際生活中的一筆畫問題,可以把類似這樣的問題進一步抽象成一般的數學圖??一種簡單的幾何圖形,如圖1可抽象成幾何圖2(用點A、B、C、D表示四塊陸地,用連結這些點的線表示七座橋,這樣就便於研究它。)
實際問題是否一筆畫,應具備的條件有:
(1)必須是連通圖形(如△,而非○);
(2)對於圖中的任何一點,有偶數條線段與之相連的連通圖能夠一筆畫(如□,☆)。畫時可以以一“偶數點”為起點,最後仍回到起點。
(3)只有兩個奇數條線段與之相連的點的連通圖也能一筆畫,畫時必須以一“奇數點”為起點,以另一“奇數點”為終點。
(4)有超過兩個“奇數點”的連通圖不能一筆畫。
〔問題解決〕
1.“七橋問題”中“奇數點”個數為4個,所以不能一筆畫成。
2.你能筆尖不離紙,一筆畫出圖3的每個圖形嗎?
分析 圖(a)有兩個奇數點,可從任一“奇數點”出發,以另一“奇數點”為終點一筆畫出。A→B→C→A→D→C;圖(b)、圖(C)都是“偶數點”的'連通圖,可從任一點出發,一筆畫出。如圖(b)A→G→C→B→F→H→B→A,圖(c)A→B→E→B→C→i→l→E→D→F→J→H→i→c→A
3.數學興趣小組的同學們不但會制“七巧板”,還會制“六巧板”、“四巧板”呢。圖4是用小華制的“四巧板”拼成的“船”。如果畫在一張紙上你能否用剪刀一次連續剪下“船”中的每個圖形嗎?再還原拼成“四巧板”。
分析 一次連續剪下圖中的四個圖形,要求剪刀必須連續剪過圖中所有的線,即問題的實質是這個圖能否一筆畫。顯然,圖中只有兩個“奇數點”A、D,因此,可以很快判斷能辦到,剪刀所走的路線可以是:A→B→C→A→D→C→G→H→I→J→G→F→E→D。
剪好後拼成原“四巧板”即為圖5。
4.圖6是一個公園的平面圖,要使遊客走遍公園每條路而不重複,問出入口應設在哪裏?
分析 本題實際上是問這個圖以哪點為起點與終點的問題,觀察圖6可以發現;圖中10個點中僅有兩個“奇數點”A與I,因此出入口應設在A點與I點。
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