2017九年級數學上冊期末測試卷

九年級數學期末測試考試來了，那同學們做好複習計劃了嗎?趁現在空閒的時間多做測試題吧，以下是小編為你整理的2017九年級數學上冊期末測試卷，希望對大家有幫助!

　　2017八年級數學上冊期末測試題

一、選擇題

1.下面圖形中，是中心對稱圖形的是(　　)

A. B. C. D.

2.下列方程中有實數根的是(　　)

A.x2+2x+3=0 B.x2+1=0 C.x2+3x+1=0 D.

3.如圖，AB與⊙O相切於點A，BO與⊙O相交於點C，點D是優弧AC上一點，∠CDA=27°，則∠B的大小是(　　)

A.27° B.34° C.36° D.54°

4.如圖，矩形OABC上，點A、C分別在x、y軸上，點B在反比例y= 位於第二象限的圖象上，矩形面積為6，則k的值是(　　)

A.3 B.6 C.﹣3 D.﹣6

5.如圖，P為平行四邊形ABCD邊AD上一點，E、F分別為PB、PC的中點，△PEF、△PDC、△PAB的面積分別為S、S1、S2，若S=2，則S1+S2=(　　)

A.4 B.6 C.8 D.不能確定

6.二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的部分圖象如圖所示，圖象過點(﹣1，0)，對稱軸為直線x=2，下列結論：(1)4a+b=0;(2)9a+c>3b;(3)8a+7b+2c>0;(4)若點A(﹣3，y1)、點B(﹣ ，y2)、點C( ，y3)在該函數圖象上，則y1

A.2個 B.3個 C.4個 D.5個

二、填空題

7.一枚質地均勻的正方體骰子，其六個面上分別刻有1、2、3、4、5、6六個數字，投擲這個骰子一次，則向上一面的數字小於3的概率是　　.

8.已知一元二次方程x2﹣4x﹣3=0的兩根為m，n，則m2﹣mn+n2=　　.

9.一個扇形的圓心角為60°，半徑是10cm，則這個扇形的弧長是　　cm.

10.將拋物線y=x2+1向下平移2個單位，向右平移3個單位，則此時拋物線的解析式是　　.

11.如圖，直線AA1∥BB1∥CC1，如果 ，AA1=2，CC1=6，那麼線段BB1的長是　　.

12.如圖，A(4，0)，B(3，3)，以AO，AB為邊作平行四邊形OABC，則經過C點的反比例函數的解析式為　　.

三、

13.(6分)解方程：

(1)x2﹣x=3

(2)(x+3)2=(1﹣2x)2.

14.(6分)如圖所示，AB是⊙O的一條弦，OD⊥AB，垂足為C，交⊙O於點D，點E在⊙O上.

(1)若∠AOD=52°，求∠DEB的度數;

(2)若OC=3，OA=5，求AB的長.

15.(6分)已知函數y與x+1成反比例，且當x=﹣2時，y=﹣3.

(1)求y與x的函數關係式;

(2)當 時，求y的值.

16.(6分)如圖是一位同學設計的用手電筒來測量某古城牆高度的示意圖.點P處放一水平的平面鏡，光線從點A出發經平面鏡反射後剛好到古城牆CD的頂端C處，已知AB⊥BD，CD⊥BD，測得AB=2米，BP=3米，PD=12米，那麼該古城牆的高度CD是　　米.

17.(6分)某地區2013年投入教育經費2500萬元，2015年投入教育經費3025萬元.

(1)求2013年至2015年該地區投入教育經費的年平均增長率;

(2)根據(1)所得的年平均增長率，預計2016年該地區將投入教育經費多少萬元.

四、

18.(8分)方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位的正方形，在建立平面直角座標系後，△ABC的頂點均在格點上，點C的座標為(4，﹣1).

(1)作出△ABC關於y軸對稱的△A1B1C1，並寫出A1的座標;

(2)作出△ABC繞點O逆時針旋轉90°後得到的△A2B2C2，並求出C2所經過的路徑長.

19.(8分)甲布袋中有三個紅球，分別標有數字1，2，3;乙布袋中有三個白球，分別標有數字2，3，4.這些球除顏色和數字外完全相同.小亮從甲袋中隨機摸出一個紅球，小剛從乙袋中隨機摸出一個白球.

(1)用畫樹狀圖(樹形圖)或列表的方法，求摸出的兩個球上的數字之和為6的概率;

(2)小亮和小剛做遊戲，規則是：若摸出的兩個球上的數字之和為奇數，小亮勝;否則，小剛勝.你認為這個遊戲公平嗎?為什麼?

20.(8分)如圖，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC於點E，過點E作ED∥BC交AB於點D.

(1)求證：AEBC=BDAC;

(2)如果S△ADE=3，S△BDE=2，DE=6，求BC的長.

21.(8分)如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O，交BC邊於邊D，交AC邊於點G，過D作⊙O的切線EF，交AB的延長線於點F，交AC於點E.

(1)求證：BD=CD;

(2)若AE=6，BF=4，求⊙O的半徑.

22.(10分)如圖，在平面直角座標系中，一次函數y=ax﹣a(a為常數)的圖象與y軸相交於點A，與函數 的圖象相交於點B(m，1).

(1)求點B的座標及一次函數的解析式;

(2)若點P在y軸上，且△PAB為直角三角形，請直接寫出點P的座標.

23.(12分)如圖，拋物線y=﹣ x2+bx+c與x軸交於A、B兩點，與y軸交於點C，拋物線的對稱軸交x軸於點D，已知A(﹣1，0)，C(0，2).

(1)求拋物線的解析式;

(2)在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形?如果存在，直接寫出P點的座標;如果不存在，請説明理由;

(3)點E時線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交於點F，當點E運動到什麼位置時，△CBF的面積最大?求出△CBF的最大面積及此時E點的座標.

　　2017九年級數學上冊期末測試卷答案與解析

一、選擇題

1.下面圖形中，是中心對稱圖形的是(　　)

A. B. C. D.

【考點】中心對稱圖形.

【分析】根據中心對稱圖形的概念：把一個圖形繞某一點旋轉180°，如果旋轉後的圖形能夠與原來的圖形重合，那麼這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心，可求解.

【解答】解：A、不是中心對稱圖形，故此選項錯誤;

B、不是中心對稱圖形，故此選項錯誤;

C、不是中心對稱圖形，故此選項錯誤;

D、是中心對稱圖形，故此選項正確;

故選：D.

【點評】此題主要考查了中心對稱圖形的概念，關鍵是找到對稱中心.

2.下列方程中有實數根的是(　　)

A.x2+2x+3=0 B.x2+1=0 C.x2+3x+1=0 D.

【考點】根的判別式.

【分析】本題是根的判別式的應用試題，不解方程而又準確的判斷出方程解的情況，那只有根的判別式.

當△>0時，方程有兩個不相等的實數根;

當△=0時，方程有兩個相等的實數根;

當△<0時，方程沒有實數根.

【解答】解：由題意可知x2+2x+3=0

△=b2﹣4ac=4﹣12=﹣8<0，

所以沒有是實數根;

同理x2+1=0的△=b2﹣4ac=0﹣4<0，

也沒有實數根;

x2+3x+1=0的△=b2﹣4ac=9﹣4=5>0，

所以有實數根;

而最後一個去掉分母后x=1有實數根，但是使分式方程無意義，所以捨去.

故選C.

【點評】本題是對方程實數根的考查，求解時一要注意是否有實數根，二要注意有實數根時是否有意義.

3.如圖，AB與⊙O相切於點A，BO與⊙O相交於點C，點D是優弧AC上一點，∠CDA=27°，則∠B的大小是(　　)

A.27° B.34° C.36° D.54°

【考點】切線的性質.

【分析】由切線的性質可知∠OAB=90°，由圓周角定理可知∠BOA=54°，根據直角三角形兩鋭角互餘可知∠B=36°.

【解答】解：∵AB與⊙O相切於點A，

∴OA⊥BA.

∴∠OAB=90°.

∵∠CDA=27°，

∴∠BOA=54°.

∴∠B=90°﹣54°=36°.

故選：C.

【點評】本題主要考查的是切線的性質和圓周角定理，利用切線的性質和圓周角定理求得∠OAB=90°、∠BOA=54°是解題的關鍵.

4.如圖，矩形OABC上，點A、C分別在x、y軸上，點B在反比例y= 位於第二象限的圖象上，矩形面積為6，則k的值是(　　)

A.3 B.6 C.﹣3 D.﹣6

【考點】反比例函數係數k的幾何意義.

【分析】由矩形OABC的面積結合反比例函數係數k的幾何意義，即可得出含絕對值符號的關於k的一元一次方程，解方程即可得出k的值，再根據反比例函數圖象所在的象限即可確定k值.

【解答】解：∵點B在反比例y= 的圖象上，

∴S矩形OABC=6=|k|，

∴k=±6.

∵反比例函數y= 的部分圖象在第二象限，

∴k=﹣6.

故選D.

【點評】本題考查了反比例函數係數k的幾何意義，解題的關鍵是根據反比例函數係數k的幾何意義找出含絕對值符號的關於k的一元一次方程.本題屬於基礎題，難度不大，解決該題型題目時，由矩形的面積結合反比例函數係數k的幾何意義求出反比例函數係數k是關鍵.

5.如圖，P為平行四邊形ABCD邊AD上一點，E、F分別為PB、PC的中點，△PEF、△PDC、△PAB的面積分別為S、S1、S2，若S=2，則S1+S2=(　　)

A.4 B.6 C.8 D.不能確定

【考點】平行四邊形的性質;三角形中位線定理.

【分析】過P作PQ平行於DC，由DC與AB平行，得到PQ平行於AB，可得出四邊形PQCD與ABQP都為平行四邊形，進而確定出△PDC與△PCQ面積相等，△PQB與△ABP面積相等，再由EF為△BPC的中位線，利用中位線定理得到EF為BC的一半，且EF平行於BC，得出△PEF與△PBC相似，相似比為1：2，面積之比為1：4，求出△PBC的面積，而△PBC面積=△CPQ面積+△PBQ面積，即為△PDC面積+△PAB面積，即為平行四邊形面積的一半，即可求出所求的面積.

【解答】解：過P作PQ∥DC交BC於點Q，由DC∥AB，得到PQ∥AB，

∴四邊形PQCD與四邊形APQB都為平行四邊形，

∴△PDC≌△CQP，△ABP≌△QPB，

∴S△PDC=S△CQP，S△ABP=S△QPB，

∵EF為△PCB的中位線，

∴EF∥BC，EF= BC，

∴△PEF∽△PBC，且相似比為1：2，

∴S△PEF：S△PBC=1：4，S△PEF=2，

∴S△PBC=S△CQP+S△QPB=S△PDC+S△ABP=S1+S2=8.

故選：C.

【點評】此題考查了平行四邊形的性質，相似三角形的判定與性質，熟練掌握平行四邊形的判定與性質是解本題的關鍵.

6.二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的部分圖象如圖所示，圖象過點(﹣1，0)，對稱軸為直線x=2，下列結論：(1)4a+b=0;(2)9a+c>3b;(3)8a+7b+2c>0;(4)若點A(﹣3，y1)、點B(﹣ ，y2)、點C( ，y3)在該函數圖象上，則y1

A.2個 B.3個 C.4個 D.5個

【考點】二次函數圖象與係數的關係.

【分析】(1)正確.根據對稱軸公式計算即可.

(2)錯誤，利用x=﹣3時，y<0，即可判斷.

(3)正確.由圖象可知拋物線經過(﹣1，0)和(5，0)，列出方程組求出a、b即可判斷.

(4)錯誤.利用函數圖象即可判斷.

(5)正確.利用二次函數與二次不等式關係即可解決問題.

【解答】解：(1)正確.∵﹣ =2，

∴4a+b=0.故正確.

(2)錯誤.∵x=﹣3時，y<0，

∴9a﹣3b+c<0，

∴9a+c<3b，故(2)錯誤.

(3)正確.由圖象可知拋物線經過(﹣1，0)和(5，0)，

∴ 解得 ，

∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，

∵a<0，

∴8a+7b+2c>0，故(3)正確.

(4)錯誤，∵點A(﹣3，y1)、點B(﹣ ，y2)、點C( ，y3)，

∵ ﹣2= ，2﹣(﹣ )= ，

∴ <

∴點C離對稱軸的距離近，

∴y3>y2，

∵a<0，﹣3<﹣ <2，

∴y1

∴y1

(5)正確.∵a<0，

∴(x+1)(x﹣5)=﹣3/a>0，

即(x+1)(x﹣5)>0，

故x<﹣1或x>5，故(5)正確.

∴正確的有三個，

故選B.

【點評】本題考查二次函數與係數關係，靈活掌握二次函數的性質是解決問題的關鍵，學會利用圖象信息解決問題，屬於會考常考題型.

二、填空題

7.一枚質地均勻的正方體骰子，其六個面上分別刻有1、2、3、4、5、6六個數字，投擲這個骰子一次，則向上一面的數字小於3的概率是　 　.

【考點】概率公式.

【分析】由於一枚質地均勻的正方體骰子，骰子向上的一面點數可能為1、2、3、4、5、6，共有6種可能，小於3的點數有1、2，則根據概率公式可計算出骰子向上的一面點數小於3的概率.

【解答】解：擲一枚質地均勻的正方體骰子，骰子向上的一面點數共有6種可能，而只有出現點數為1、2才小於3，

所以這個骰子向上的一面點數小於3的概率= = .

故答案為： .

【點評】本題考查了概率公式：隨機事件A的概率P(A)=事件A可能出現的結果數除以所有可能出現的結果數.

8.已知一元二次方程x2﹣4x﹣3=0的兩根為m，n，則m2﹣mn+n2=　25　.

【考點】根與係數的關係.

【分析】由m與n為已知方程的解，利用根與係數的關係求出m+n與mn的值，將所求式子利用完全平方公式變形後，代入計算即可求出值.

【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2﹣4x﹣3=0的兩個根，

∴m+n=4，mn=﹣3，

則m2﹣mn+n2=(m+n)2﹣3mn=16+9=25.

故答案為：25.

【點評】此題考查了一元二次方程根與係數的關係，將根與係數的關係與代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法.

9.一個扇形的圓心角為60°，半徑是10cm，則這個扇形的弧長是　 　cm.

【考點】弧長的計算.

【分析】弧長公式是l= ，代入就可以求出弧長.

【解答】解：弧長是： = cm.

【點評】本題考查的是扇形的弧長公式的運用，正確記憶弧長公式是解題的關鍵.

10.將拋物線y=x2+1向下平移2個單位，向右平移3個單位，則此時拋物線的解析式是　y=x2﹣6x+8　.

【考點】二次函數圖象與幾何變換.

【分析】根據“上加下減，左加右減”的原則進行解答即可.

【解答】解：拋物線y=x2+1向下平移2個單位後的解析式為：y=x2+1﹣2=x2﹣1.

再向右平移3個單位所得拋物線的解析式為：y=(x﹣3)2﹣1，即y=x2﹣6x+8.

故答案是：y=x2﹣6x+8.

【點評】本題考查的是二次函數圖象與幾何變換，用平移規律“左加右減，上加下減”直接代入函數解析式求得平移後的函數解析式.

11.如圖，直線AA1∥BB1∥CC1，如果 ，AA1=2，CC1=6，那麼線段BB1的長是　3　.

【考點】平行線分線段成比例.

【分析】過A1作AE∥AC，交BB1於D，交CC1於E，得出四邊形ABDA1和四邊形BCED是平行四邊形，求出AA1=BD=CE=2，EC1=6﹣2=4， = = ，根據BB1∥CC1得出 = ，代入求出DB1=1即可.

【解答】解：如圖：

過A1作AE∥AC，交BB1於D，交CC1於E，

∵直線AA1∥BB1∥CC1，

∴四邊形ABDA1和四邊形BCED是平行四邊形，

∴AA1=2，CC1=6，

∴AA1=BD=CE=2，EC1=6﹣2=4， = = ，

∴∵BB1∥CC1，

∴ = ，

∴ = ，

∴DB1=1，

∴BB1=2+1=3，

故答案為：3.

【點評】本題考查了平行線分線段成比例定理的應用，能根據定理得出比例式是解此題的關鍵.

12.如圖，A(4，0)，B(3，3)，以AO，AB為邊作平行四邊形OABC，則經過C點的反比例函數的解析式為　y=﹣ 　.

【考點】待定係數法求反比例函數解析式;平行四邊形的性質.

【分析】設經過C點的反比例函數的解析式是y= (k≠0)，設C(x，y).根據平行四邊形的性質求出點C的座標(﹣1，3).然後利用待定係數法求反比例函數的解析式.

【解答】解：設經過C點的反比例函數的解析式是y= (k≠0)，設C(x，y).

∵四邊形OABC是平行四邊形，

∴BC∥OA，BC=OA;

∵A(4，0)，B(3，3)，

∴點C的縱座標是y=3，|3﹣x|=4(x<0)，

∴x=﹣1，

∴C(﹣1，3).

∵點C在反比例函數y= (k≠0)的圖象上，

∴3= ，

解得，k=﹣3，

∴經過C點的反比例函數的解析式是y=﹣ .

故答案為：y=﹣ .

【點評】本題主要考查了平行四邊形的性質(對邊平行且相等)、利用待定係數法求反比例函數的解析式.解答反比例函數的解析式時，還借用了反比例函數圖象上點的座標特徵，經過函數的某點一定在函數的圖象上.

三、

13.解方程：

(1)x2﹣x=3

(2)(x+3)2=(1﹣2x)2.

【考點】解一元二次方程-因式分解法.

【分析】(1)公式法求解可得;

(2)直接開平方法求解即可得.

【解答】解：(1)x2﹣x﹣3=0，

∵a=1，b=﹣1，c=﹣3，

∴△=1+12=13>0，

∴x= ，

∴ ， ;

(2)x+3=±(1﹣2x)，

即x+3=1﹣2x或x+3=2x﹣1，

解得： ，x2=4.

【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，根據不同的方程選擇合適的方法是解題的關鍵.

14.如圖所示，AB是⊙O的一條弦，OD⊥AB，垂足為C，交⊙O於點D，點E在⊙O上.

(1)若∠AOD=52°，求∠DEB的度數;

(2)若OC=3，OA=5，求AB的長.

【考點】垂徑定理;勾股定理;圓周角定理.

【分析】(1)根據垂徑定理，得到 = ，再根據圓周角與圓心角的關係，得知∠E= ∠O，據此即可求出∠DEB的度數;

(2)由垂徑定理可知，AB=2AC，在Rt△AOC中，OC=3，OA=5，由勾股定理求AC即可.

【解答】解：(1)∵AB是⊙O的一條弦，OD⊥AB，

∴ = ，∴∠DEB= ∠AOD= ×52°=26°;

(2)∵AB是⊙O的一條弦，OD⊥AB，

∴AC=BC，即AB=2AC，

在Rt△AOC中，AC= = =4，

則AB=2AC=8.

【點評】本題考查了垂徑定理，勾股定理及圓周角定理.關鍵是由垂徑定理得出相等的弧，相等的線段，由垂直關係得出直角三角形，運用勾股定理.

15.已知函數y與x+1成反比例，且當x=﹣2時，y=﹣3.

(1)求y與x的函數關係式;

(2)當 時，求y的值.

【考點】待定係數法求反比例函數解析式.

【分析】(1)設出函數解析式，把相應的點代入即可;

(2)把自變量的取值代入(1)中所求的函數解析式即可.

【解答】解：(1)設 ，

把x=﹣2，y=﹣3代入得 .

解得：k=3.

∴ .

(2)把 代入解析式得： .

【點評】本題考查用待定係數法求函數解析式，注意應用點在函數解析式上應適合這個函數解析式.

16.如圖是一位同學設計的用手電筒來測量某古城牆高度的示意圖.點P處放一水平的平面鏡，光線從點A出發經平面鏡反射後剛好到古城牆CD的頂端C處，已知AB⊥BD，CD⊥BD，測得AB=2米，BP=3米，PD=12米，那麼該古城牆的高度CD是　8　米.

【考點】相似三角形的應用.

【分析】首先證明△ABP∽△CDP，可得 = ，再代入相應數據可得答案.

【解答】解：由題意可得：∠APE=∠CPE，

∴∠APB=∠CPD，

∵AB⊥BD，CD⊥BD，

∴∠ABP=∠CDP=90°，

∴△ABP∽△CDP，

∴ = ，

∵AB=2米，BP=3米，PD=12米，

∴ = ，

CD=8米，

故答案為：8.

【點評】此題主要考查了相似三角形的應用，關鍵是掌握相似三角形對應邊成比例.

17.某地區2013年投入教育經費2500萬元，2015年投入教育經費3025萬元.

(1)求2013年至2015年該地區投入教育經費的年平均增長率;

(2)根據(1)所得的年平均增長率，預計2016年該地區將投入教育經費多少萬元.

【考點】一元二次方程的應用.

【分析】(1)一般用增長後的量=增長前的量×(1+增長率)，2014年要投入教育經費是2500(1+x)萬元，在2014年的基礎上再增長x，就是2015年的教育經費數額，即可列出方程求解.

(2)利用(1)中求得的增長率來求2016年該地區將投入教育經費.

【解答】解：設增長率為x，根據題意2014年為2500(1+x)萬元，2015年為2500(1+x)2萬元.

則2500(1+x)2=3025，

解得x=0.1=10%，或x=﹣2.1(不合題意捨去).

答：這兩年投入教育經費的平均增長率為10%.

(2)3025×(1+10%)=3327.5(萬元).

故根據(1)所得的年平均增長率，預計2016年該地區將投入教育經費3327.5萬元.

【點評】本題考查了一元二次方程中增長率的知識.增長前的`量×(1+年平均增長率)年數=增長後的量.

四、

18.方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位的正方形，在建立平面直角座標系後，△ABC的頂點均在格點上，點C的座標為(4，﹣1).

(1)作出△ABC關於y軸對稱的△A1B1C1，並寫出A1的座標;

(2)作出△ABC繞點O逆時針旋轉90°後得到的△A2B2C2，並求出C2所經過的路徑長.

【考點】作圖-旋轉變換;作圖-軸對稱變換.

【分析】(1)分別作出各點關於y軸的對稱點，再順次連接即可，根據點在座標系中的位置寫出點座標即可;

(2)分別作出各點繞點O逆時針旋轉90°後得到的對稱點，再順次連接即可，根據弧長公式計算可得C2所經過的路徑長.

【解答】解：(1)如圖，△A1B1C1即為所求作三角形A1(﹣5，﹣4);

(2)如圖，△A2B2C2即為所求作三角形，

∵OC2= = ，

∴C2所經過的路徑 的長為 = π.

【點評】本題考查的是作圖﹣軸對稱變換、旋轉變換，作出各頂點軸對稱變換和旋轉變換的對應點是解答此題作圖的關鍵.

19.甲布袋中有三個紅球，分別標有數字1，2，3;乙布袋中有三個白球，分別標有數字2，3，4.這些球除顏色和數字外完全相同.小亮從甲袋中隨機摸出一個紅球，小剛從乙袋中隨機摸出一個白球.

(1)用畫樹狀圖(樹形圖)或列表的方法，求摸出的兩個球上的數字之和為6的概率;

(2)小亮和小剛做遊戲，規則是：若摸出的兩個球上的數字之和為奇數，小亮勝;否則，小剛勝.你認為這個遊戲公平嗎?為什麼?

【考點】遊戲公平性;列表法與樹狀圖法.

【分析】遊戲是否公平，關鍵要看遊戲雙方獲勝的機會是否相等，即判斷雙方取勝的概率是否相等，或轉化為在總情況明確的情況下，判斷雙方取勝所包含的情況數目是否相等.

【解答】解：

(1)解法一：樹狀圖

∴P(兩個球上的數字之和為6)= .(2分)

解法二：列表

2 3 4

1 (1，2) (1，3) (1，4)

2 (2，2) (2，3) (2，4)

3 (3，2) (3，3) (3，4)

∴P(兩個球上的數字之和為6)= .

(2)不公平.(1分)

∵P(小亮勝)= ，P(小剛勝)= .(2分)

∴P(小亮勝)≠P(小剛勝).

∴這個遊戲不公平.(2分)

【點評】本題考查的是遊戲公平性的判斷.判斷遊戲公平性就要計算每個事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平.用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比.

20.如圖，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC於點E，過點E作ED∥BC交AB於點D.

(1)求證：AEBC=BDAC;

(2)如果S△ADE=3，S△BDE=2，DE=6，求BC的長.

【考點】相似三角形的判定與性質.

【分析】(1)由BE平分∠ABC交AC於點E，ED∥BC，可證得BD=DE，△ADE∽△ABC，然後由相似三角形的對應邊成比例，證得AEBC=BDAC;

(2)根據三角形面積公式與S△ADE=3，S△BDE=2，可得AD：BD=3：2，然後由平行線分線段成比例定理，求得BC的長.

【解答】(1)證明：∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠CBE.…(1分)

∵DE∥BC，

∴∠DEB=∠CBE…(1分)

∴∠ABE=∠DEB.

∴BD=DE，…(1分)

∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴ …(1分)

∴ ，

∴AEBC=BDAC;…(1分)

(2)解：設△ABE中邊AB上的高為h.

∴ ，…(2分)

∵DE∥BC，

∴ . …(1分)

∴ ，

∴BC=10. …(2分)

【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質、平行線分線段成比例定理以及等腰三角形的判定與性質.此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用.

21.如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O，交BC邊於邊D，交AC邊於點G，過D作⊙O的切線EF，交AB的延長線於點F，交AC於點E.

(1)求證：BD=CD;

(2)若AE=6，BF=4，求⊙O的半徑.

【考點】切線的性質;等腰三角形的性質.

【分析】(1)連接AD，根據等腰三角形三線合一即可證明.

(2)設⊙O的半徑為R，則FO=4+R，FA=4+2R，OD=R，連接OD，由△FOD∽△FAE，得 = 列出方程即可解決問題.

【解答】(1)證明：連接AD，

∵AB是直徑，

∴∠ADB=90°，

∵AB=AC，AD⊥BC，

∴BD=DC.

(2)解：設⊙O的半徑為R，則FO=4+R，FA=4+2R，OD=R，連接OD、

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C，

∵OB=OD，

∴∠ABC=∠ODB，

∴∠ODB=∠C，

∴OD∥AC，

∴△FOD∽△FAE，

∴ = ，

∴ = ，

整理得R2﹣R﹣12=0，

∴R=4或(﹣3捨棄).

∴⊙O的半徑為4.

【點評】本題考查切線的性質、等腰三角形的性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，利用相似三角形的性質解決問題，屬於會考常考題型.

22.(10分)(2016商丘三模)如圖，在平面直角座標系中，一次函數y=ax﹣a(a為常數)的圖象與y軸相交於點A，與函數 的圖象相交於點B(m，1).

(1)求點B的座標及一次函數的解析式;

(2)若點P在y軸上，且△PAB為直角三角形，請直接寫出點P的座標.

【考點】反比例函數與一次函數的交點問題.

【分析】(1)由點在函數圖象上，得到點的座標滿足函數解析式，利用待定係數法即可求得.

(2)分兩種情況，一種是∠BPA=90°，另一種是∠PBA=90°，所以有兩種答案.

【解答】解：(1)∵B在的圖象上，

∴把B(m，1)代入y= 得m=2

∴B點的座標為(2，1)

∵B(2，1)在直線y=ax﹣a(a為常數)上，

∴1=2a﹣a，

∴a=1

∴一次函數的解析式為y=x﹣1.

(2)過B點向y軸作垂線交y軸於P點.此時∠BPA=90°

∵B點的座標為(2，1)

∴P點的座標為(0，1)

當PB⊥AB時，

在Rt△P1AB中，PB=2，PA=2

∴AB=2

在等腰直角三角形PAB中，PB=PA=2

∴PA= =4

∴OP=4﹣1=3

∴P點的座標為(0，3)

∴P點的座標為(0，1)或(0，3).

【點評】主要考查了一次函數和反比例函數的交點問題，待定係數法是常用的方法，結合圖形去分析，體現數形結合思想的重要性.

23.(12分)(2016秋餘干縣期末)如圖，拋物線y=﹣ x2+bx+c與x軸交於A、B兩點，與y軸交於點C，拋物線的對稱軸交x軸於點D，已知A(﹣1，0)，C(0，2).

(1)求拋物線的解析式;

(2)在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形?如果存在，直接寫出P點的座標;如果不存在，請説明理由;

(3)點E時線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交於點F，當點E運動到什麼位置時，△CBF的面積最大?求出△CBF的最大面積及此時E點的座標.

【考點】二次函數綜合題.

【分析】(1)把A(﹣1，0)，C(0，2)代入y=﹣ x2+bx+c列方程組即可.

(2)先求出CD的長，分兩種情形①當CP=CD時，②當DC=DP時分別求解即可.

(3)求出直線BC的解析式，設E 則F ，構建二次函數，利用二次函數的性質即可解決問題.

【解答】解：(1)把A(﹣1，0)，C(0，2)代入y=﹣ x2+bx+c得 ，

解得 ，c=2，

∴拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x+2.

(2)存在.如圖1中，∵C(0，2)，D( ，0)，

∴OC=2，OD= ，CD= =

①當CP=CD時，可得P1( ，4).

②當DC=DP時，可得P2( ， )，P3( ，﹣ )

綜上所述，滿足條件的P點的座標為 或 或 .

(3)如圖2中，

對於拋物線y=﹣ x2+ x+2，當y=0時，﹣ x2+ x+2=0，解得x1=4，x2=﹣1

∴B(4，0)，A(﹣1，0)，

由B(4，0)，C(0，2)得直線BC的解析式為y=﹣ x+2，

設E 則F ，

EF= ﹣ =

∴<0，∴當m=2時，EF有最大值2，

此時E是BC中點，

∴當E運動到BC的中點時，△EBC面積最大，

∴△EBC最大面積= ×4×EF= ×4×2=4，此時E(2，1).

【點評】本題考查二次函數、一次函數的應用、最值問題.等腰三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會構建二次函數解決最值問題，學會分類討論的思想思考問題，屬於會考壓軸題.