2017八年級上冊數學期末模擬試卷
沒有平日的失敗,哪有最終的成功。希望你能克服八年級數學期末模擬考試的試題,爭取都掌握透切知識點。以下是小編為你整理的2017八年級上冊數學期末模擬試卷,希望對大家有幫助!
2017八年級上冊數學期末模擬試題一、選擇題(本大題共10小題,每小題4分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一個選項是符合題目要求的)
1.在平面直角座標系中,將拋物線y=x2﹣4先向右平移兩個單位,再向上平移兩個單位,得到的拋物線的解析式是( )
A.y=(x+2)2+2 B.y=(x﹣2)2﹣2 C.y=(x﹣2)2+2 D.y=(x+2)2﹣2
2.下列關於函數 的圖象説法:①圖象是一條拋物線;②開口向下;③對稱軸是y軸;④頂點(0,0),其中正確的有( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
3.如圖是二次函數y=ax2+bx+c的部分圖象,由圖象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是( )
A.﹣15 C.x<﹣1且x>5 D.x<﹣1或x>5
4.拋物線y=(x+2)2﹣3可以由拋物線y=x2平移得到,則下列平移過程正確的是( )
A.先向左平移2個單位,再向上平移3個單位
B.先向左平移2個單位,再向下平移3個單位
C.先向右平移2個單位,再向下平移3個單位
D.先向右平移2個單位,再向上平移3個單位
5.為了測量被池塘隔開的A,B兩點之間的距離,根據實際情況,作出如圖圖形,其中AB⊥BE,EF⊥BE,AF交BE於D,C在BD上.有四位同學分別測量出以下四組數據:①BC,∠ACB; ②CD,∠ACB,∠ADB;③EF,DE,BD;④DE,DC,BC.能根據所測數據,求出A,B間距離的有( )
A.1組 B.2組 C.3組 D.4組
6.如圖,△ABC與△DEF是位似圖形,位似比為2:3,已知AB=4,則DE的長等於( )
A.6 B.5 C.9 D.
7.如圖,直徑為10的⊙A經過點C(0,5)和點O(0,0),B是y軸右側⊙A優弧上一點,則cos∠OBC的值為( )
A. B. C. D.
8.在Rt△ABC中,∠C=90°,若斜邊AB是直角邊BC的3倍,則tanB的值是( )
A.2 B.3 C. D.
9.如圖,點B、D、C是⊙O上的點,∠BDC=130°,則∠BOC是( )
A.100° B.110° C.120° D.130°
10.如圖,△ABC中,A,B兩個頂點在x軸的上方,點C的座標是(﹣1,0).以點C為位似中心,在x軸的下作△ABC的位似圖形△A′B′C,並把△ABC的邊長放大到原來的2倍.設點A′的對應點A的縱座標是1.5,則點A'的縱座標是( )
A.3 B.﹣3 C.﹣4 D.4
二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)
11.已知二次函數y=x2+bx+3的對稱軸為x=2,則b= .
12.若△ADE∽△ACB,且 = ,若四邊形BCED的面積是2,則△ADE的面積是 .
13.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=4,BC=2 ,則sin = .
14.如圖,在正方形ABCD內有一折線段,其中AE丄EF,EF丄FC,並且AE=6,EF=8,FC=10,則正方形與其外接圓之間形成的陰影部分的面積為 .
三、計算題(本大題共1小題,共8分)
15.計算:(﹣1)2016+2sin60°﹣|﹣ |+π0.
四、解答題(本大題共7小題,共68分)
16.已知拋物線y=﹣x2+bx+c經過點A(3,0),B(﹣1,0).
(1)求拋物線的解析式;
(2)求拋物線的頂點座標.
17.某校九年級數學興趣小組的同學開展了測量湘江寬度的活動.如圖,他們在河東岸邊的A點測得河西岸邊的標誌物B在它的正西方向,然後從A點出發沿河岸向正北方向行進550米到點C處,測得B在點C的南偏西60°方向上,他們測得的湘江寬度是多少米?(結果保留整數,參考數據: ≈1.414, ≈1.732)
18.已知:如圖,點P是⊙O外的一點,PB與⊙O相交於點A、B,PD與⊙O相交於C、D,AB=CD.
求證:(1)PO平分∠BPD;
(2)PA=PC.
19.如圖,△ABC中,E是AC上一點,且AE=AB,∠EBC= ∠BAC,以AB為直徑的⊙O交AC於點D,交EB於點F.
(1)求證:BC與⊙O相切;
(2)若AB=8,sin∠EBC= ,求AC的長.
20.如圖,直線y=﹣x+b與反比例函數y= 的圖象相交於A(1,4),B兩點,延長AO交反比例函數圖象於點C,連接OB.
(1)求k和b的值;
(2)直接寫出一次函數值小於反比例函數值的自變量x的取值範圍;
(3)在y軸上是否存在一點P,使S△PAC= S△AOB?若存在請求出點P座標,若不存在請説明理由.
21.如圖,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分線,O是AB上一點,以OA為半徑的⊙O經過點D.
(1)求證:BC是⊙O切線;
(2)若BD=5,DC=3,求AC的長.
22.一種實驗用軌道彈珠,在軌道上行駛5分鐘後離開軌道,前2分鐘其速度v(米/分)與時間t(分)滿足二次函數v=at2,後三分鐘其速度v(米/分)與時間t(分)滿足反比例函數關係,如圖,軌道旁邊的測速儀測得彈珠1分鐘末的速度為2米/分,求:
(1)二次函數和反比例函數的關係式.
(2)彈珠在軌道上行駛的最大速度.
(3)求彈珠離開軌道時的速度.
五、綜合題(本大題共1小題,共14分)
23.如圖,在平面直角座標系xOy中,直線y= x+2與x軸交於點A,與y軸交於點C.拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是x=﹣ 且經過A、C兩點,與x軸的另一交點為點B.
(1)①直接寫出點B的座標;②求拋物線解析式.
(2)若點P為直線AC上方的拋物線上的一點,連接PA,PC.求△PAC的面積的最大值,並求出此時點P的座標.
(3)拋物線上是否存在點M,過點M作MN垂直x軸於點N,使得以點A、M、N為頂點的三角形與△ABC相似?若存在,求出點M的座標;若不存在,請説明理由.
2017八年級上冊數學期末模擬試卷答案與解析一、選擇題(本大題共10小題,每小題4分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一個選項是符合題目要求的)
1.在平面直角座標系中,將拋物線y=x2﹣4先向右平移兩個單位,再向上平移兩個單位,得到的拋物線的解析式是( )
A.y=(x+2)2+2 B.y=(x﹣2)2﹣2 C.y=(x﹣2)2+2 D.y=(x+2)2﹣2
【考點】二次函數圖象與幾何變換.
【分析】根據二次函數圖象左加右減,上加下減的平移規律進行解答即可.
【解答】解:函數y=x2﹣4向右平移2個單位,得:y=(x﹣2)2﹣4;
再向上平移2個單位,得:y=(x﹣2)2﹣2;
故選B.
2.下列關於函數 的圖象説法:①圖象是一條拋物線;②開口向下;③對稱軸是y軸;④頂點(0,0),其中正確的有( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
【考點】二次函數的性質.
【分析】函數 是一種最基本的二次函數,畫出圖象,直接判斷.
【解答】解:①二次函數 的圖象是拋物線,正確;
②因為a=﹣ <0,拋物線開口向下,正確;
③因為b=0,對稱軸是y軸,正確;
④頂點(0,0)也正確.
故選D.
3.如圖是二次函數y=ax2+bx+c的部分圖象,由圖象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是( )
A.﹣15 C.x<﹣1且x>5 D.x<﹣1或x>5
【考點】二次函數與不等式(組).
【分析】利用二次函數的對稱性,可得出圖象與x軸的另一個交點座標,結合圖象可得出ax2+bx+c<0的解集.
【解答】解:由圖象得:對稱軸是x=2,其中一個點的座標為(5,0),
∴圖象與x軸的另一個交點座標為(﹣1,0).
利用圖象可知:
ax2+bx+c<0的解集即是y<0的解集,
∴x<﹣1或x>5.
故選:D.
4.拋物線y=(x+2)2﹣3可以由拋物線y=x2平移得到,則下列平移過程正確的是( )
A.先向左平移2個單位,再向上平移3個單位
B.先向左平移2個單位,再向下平移3個單位
C.先向右平移2個單位,再向下平移3個單位
D.先向右平移2個單位,再向上平移3個單位
【考點】二次函數圖象與幾何變換.
【分析】根據“左加右減,上加下減”的原則進行解答即可.
【解答】解:拋物線y=x2向左平移2個單位可得到拋物線y=(x+2)2,
拋物線y=(x+2)2,再向下平移3個單位即可得到拋物線y=(x+2)2﹣3.
故平移過程為:先向左平移2個單位,再向下平移3個單位.
故選:B.
5.為了測量被池塘隔開的A,B兩點之間的距離,根據實際情況,作出如圖圖形,其中AB⊥BE,EF⊥BE,AF交BE於D,C在BD上.有四位同學分別測量出以下四組數據:①BC,∠ACB; ②CD,∠ACB,∠ADB;③EF,DE,BD;④DE,DC,BC.能根據所測數據,求出A,B間距離的有( )
A.1組 B.2組 C.3組 D.4組
【考點】相似三角形的應用;解直角三角形的應用.
【分析】根據三角形相似可知,要求出AB,只需求出EF即可.所以藉助於相似三角形的性質,根據 = 即可解答.
【解答】解:此題比較綜合,要多方面考慮,
①因為知道∠ACB和BC的長,所以可利用∠ACB的正切來求AB的長;
②可利用∠ACB和∠ADB的正切求出AB;
③,因為△ABD∽△EFD可利用 = ,求出AB;
④無法求出A,B間距離.
故共有3組可以求出A,B間距離.
故選C.
6.如圖,△ABC與△DEF是位似圖形,位似比為2:3,已知AB=4,則DE的長等於( )
A.6 B.5 C.9 D.
【考點】位似變換.
【分析】位似是特殊的相似,位似比就是相似比,相似形對應邊的比相等.
【解答】解:根據題意,△ABC與△DEF位似,且AB:DE=2:3,AB=4
∴DE=6
故選A.
7.如圖,直徑為10的⊙A經過點C(0,5)和點O(0,0),B是y軸右側⊙A優弧上一點,則cos∠OBC的值為( )
A. B. C. D.
【考點】圓周角定理;勾股定理;鋭角三角函數的定義.
【分析】連接CD,由∠COD為直角,根據90°的圓周角所對的弦為直徑,可得出CD為圓A的直徑,再利用同弧所對的圓周角相等得到∠CBO=∠CDO,在直角三角形OCD中,由CD及OC的長,利用勾股定理求出OD的長,然後利用餘弦函數定義求出cos∠CDO的值,即為cos∠CBO的值.
【解答】解:連接CD,如圖所示:
∵∠COD=90°,
∴CD為圓A的直徑,即CD過圓心A,
又∵∠CBO與∠CDO為 所對的圓周角,
∴∠CBO=∠CDO,
又∵C(0,5),
∴OC=5,
在Rt△CDO中,CD=10,CO=5,
根據勾股定理得:OD= =5 ,
∴cos∠CBO=cos∠CDO= = = .
故選B
8.在Rt△ABC中,∠C=90°,若斜邊AB是直角邊BC的3倍,則tanB的值是( )
A.2 B.3 C. D.
【考點】鋭角三角函數的定義.
【分析】根據勾股定理求出AC,根據正切的概念計算即可.
【解答】解:設BC=x,則AB=3x,
由勾股定理得,AC= =2 x,
則tanB= =2 ,
故選:A.
9.如圖,點B、D、C是⊙O上的點,∠BDC=130°,則∠BOC是( )
A.100° B.110° C.120° D.130°
【考點】圓周角定理;圓內接四邊形的性質.
【分析】首先在優弧 上取點E,連接BE,CE,由點B、D、C是⊙O上的點,∠BDC=130°,即可求得∠E的度數,然後由圓周角定理,即可求得答案.
【解答】解:在優弧 上取點E,連接BE,CE,如圖所示:
∵∠BDC=130°,
∴∠E=180°﹣∠BDC=50°,
∴∠BOC=2∠E=100°.
故選:A.
10.如圖,△ABC中,A,B兩個頂點在x軸的上方,點C的座標是(﹣1,0).以點C為位似中心,在x軸的下作△ABC的位似圖形△A′B′C,並把△ABC的邊長放大到原來的2倍.設點A′的對應點A的縱座標是1.5,則點A'的縱座標是( )
A.3 B.﹣3 C.﹣4 D.4
【考點】位似變換;座標與圖形性質.
【分析】根據位似變換的性質得出△ABC的邊長放大到原來的2倍,進而得出點A'的縱座標.
【解答】解:∵點C的座標是(﹣1,0).以點C為位似中心,在x軸的下方作△ABC的位似圖形△A′B′C,
並把△ABC的邊長放大到原來的2倍.
點A′的對應點A的縱座標是1.5,
則點A'的縱座標是:﹣3.
故選:B.
二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)
11.已知二次函數y=x2+bx+3的對稱軸為x=2,則b= ﹣4 .
【考點】二次函數的性質.
【分析】可直接由對稱軸公式﹣ =2,求得b的值.
【解答】解:∵對稱軸為x=2,
∴﹣ =2,
∴b=﹣4.
12.若△ADE∽△ACB,且 = ,若四邊形BCED的面積是2,則△ADE的面積是 .
【考點】相似三角形的性質.
【分析】根據題意求出△ADE與△ACB的相似比,根據相似三角形面積的比等於相似比的平方計算即可.
【解答】解:∵△ADE∽△ACB,且 = ,
∴△ADE與△ACB的面積比為: ,
∴△ADE與四邊形BCED的面積比為: ,又四邊形BCED的面積是2,
∴△ADE的面積是 ,
故答案為: .
13.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=4,BC=2 ,則sin = .
【考點】特殊角的三角函數值.
【分析】根據在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=4,BC=2 ,可以求得∠A正弦值,從而可以求得∠A的度數,進而可求得sin 的值.
【解答】解:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=4,BC=2 ,
∴sinA= ,
∴∠A=60°,
∴sin =sin30°= ,
故答案為: .
14.如圖,在正方形ABCD內有一折線段,其中AE丄EF,EF丄FC,並且AE=6,EF=8,FC=10,則正方形與其外接圓之間形成的陰影部分的面積為 80π﹣160 .
【考點】相似三角形的判定與性質;勾股定理;正方形的性質.
【分析】首先連接AC,則可證得△AEM∽△CFM,根據相似三角形的對應邊成比例,即可求得EM與FM的長,然後由勾股定理求得AM與CM的長,則可求得正方形與圓的面積,則問題得解.
【解答】解:連接AC,
∵AE丄EF,EF丄FC,
∴∠E=∠F=90°,
∵∠AME=∠CMF,
∴△AEM∽△CFM,
∴ ,
∵AE=6,EF=8,FC=10,
∴ ,
∴EM=3,FM=5,
在Rt△AEM中,AM= =3 ,
在Rt△FCM中,CM= =5 ,
∴AC=8 ,
在Rt△ABC中,AB=AC•sin45°=8 • =4 ,
∴S正方形ABCD=AB2=160,
圓的面積為:π•( )2=80π,
∴正方形與其外接圓之間形成的陰影部分的面積為80π﹣160.
故答案為:80π﹣160.
三、計算題(本大題共1小題,共8分)
15.計算:(﹣1)2016+2sin60°﹣|﹣ |+π0.
【考點】實數的運算;零指數冪;特殊角的三角函數值.
【分析】根據實數的運算順序,首先計算乘方和乘法,然後從左向右依次計算,求出算式(﹣1)2016+2sin60°﹣|﹣ |+π0的值是多少即可.
【解答】解:(﹣1)2016+2sin60°﹣|﹣ |+π0
=1+2× ﹣ +1
=1+ ﹣ +1
=2
四、解答題(本大題共7小題,共68分)
16.已知拋物線y=﹣x2+bx+c經過點A(3,0),B(﹣1,0).
(1)求拋物線的解析式;
(2)求拋物線的頂點座標.
【考點】待定係數法求二次函數解析式;二次函數的性質.
【分析】(1)根據拋物線y=﹣x2+bx+c經過點A(3,0),B(﹣1,0),直接得出拋物線的解析式為;y=﹣(x﹣3)(x+1),再整理即可,
(2)根據拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,即可得出答案.
【解答】解:(1)∵拋物線y=﹣x2+bx+c經過點A(3,0),B(﹣1,0).
∴拋物線的解析式為;y=﹣(x﹣3)(x+1),
即y=﹣x2+2x+3,
(2)∵拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,
∴拋物線的頂點座標為:(1,4).
17.某校九年級數學興趣小組的同學開展了測量湘江寬度的活動.如圖,他們在河東岸邊的A點測得河西岸邊的標誌物B在它的正西方向,然後從A點出發沿河岸向正北方向行進550米到點C處,測得B在點C的南偏西60°方向上,他們測得的湘江寬度是多少米?(結果保留整數,參考數據: ≈1.414, ≈1.732)
【考點】解直角三角形的應用-方向角問題.
【分析】根據題意,∠BAC=90°,AC=550,∠ACB=60°,求AB.由三角函數定義可建立關係式後求解.
【解答】解:由題意得:△ABC中,∠BAC=90°,∠ACB=60°,
AC=550,AB=AC•tan∠ACB=550 ≈952.6≈953(米).
答:他們測得湘江寬度為953米.
18.已知:如圖,點P是⊙O外的一點,PB與⊙O相交於點A、B,PD與⊙O相交於C、D,AB=CD.
求證:(1)PO平分∠BPD;
(2)PA=PC.
【考點】垂徑定理;全等三角形的判定與性質;角平分線的性質;勾股定理.
【分析】(1)過點O作OE⊥AB,OF⊥CD,垂足分別為E、F,根據AB=CD可知OE=OF,進而可知PO平分∠BPD;
(2)先根據全等三角形的判定定理得出Rt△POE≌Rt△POF,再由垂徑定理可得出AE=CF,再根據PE﹣AE=PF﹣CF即可得出結論.
【解答】證明:(1)過點O作OE⊥AB,OF⊥CD,垂足分別為E、F,
∵AB=CD,
∴OE=OF,
∴PO平分∠BPD;
(2)在Rt△POE與Rt△POF中,
∵OP=OP,OE=OF,
∴Rt△POE≌Rt△POF,
∴PE=PF,
∵AB=CD,OE⊥AB,OF⊥CD,E、F分別為垂足,
∴AE= ,
CF= ,
∴AE=CF,
∴PE﹣AE=PF﹣CF,即PA=PC.
19.如圖,△ABC中,E是AC上一點,且AE=AB,∠EBC= ∠BAC,以AB為直徑的⊙O交AC於點D,交EB於點F.
(1)求證:BC與⊙O相切;
(2)若AB=8,sin∠EBC= ,求AC的長.
【考點】切線的判定;相似三角形的判定與性質.
【分析】(1)首先連接AF,由AB為直徑,根據圓周角定理,可得∠AFB=90°,又由AE=AB,∠EBC= ∠BAC,根據等腰三角形的性質,可得∠BAF=∠EBC,繼而證得BC與⊙O相切;
(2)首先過E作EG⊥BC於點G,由三角函數的性質,可求得BF的`長,易證得△CEG∽△CAB,然後由相似三角形的對應邊成比例,求得答案.
【解答】(1)證明:連接AF.
∵AB為直徑,
∴∠AFB=90°.
∵AE=AB,
∴△ABE為等腰三角形.
∴∠BAF= ∠BAC.
∵∠EBC= ∠BAC,
∴∠BAF=∠EBC,
∴∠FAB+∠FBA=∠EBC+∠FBA=90°.
∴∠ABC=90°.
即AB⊥BC,
∴BC與⊙O相切.
(2)解:過E作EG⊥BC於點G,
∵∠BAF=∠EBC,
∴sin∠BAF=sin∠EBC= .
在△AFB中,∠AFB=90°,
∵AB=8,
∴BF=AB•sin∠BAF=8× =2,
∴BE=2BF=4.
在△EGB中,∠EGB=90°,
∴EG=BE•sin∠EBC=4× =1,
∵EG⊥BC,AB⊥BC,
∴EG∥AB,
∴△CEG∽△CAB,
∴ .
∴ ,
∴CE= ,
∴AC=AE+CE=8+ = .
20.如圖,直線y=﹣x+b與反比例函數y= 的圖象相交於A(1,4),B兩點,延長AO交反比例函數圖象於點C,連接OB.
(1)求k和b的值;
(2)直接寫出一次函數值小於反比例函數值的自變量x的取值範圍;
(3)在y軸上是否存在一點P,使S△PAC= S△AOB?若存在請求出點P座標,若不存在請説明理由.
【考點】反比例函數與一次函數的交點問題.
【分析】(1)由待定係數法即可得到結論;
(2)根據圖象中的信息即可得到結論;
(3)過A作AM⊥x軸,過B作BN⊥x軸,由(1)知,b=5,k=4,得到直線的表達式為:y=﹣x+5,反比例函數的表達式為: 列方程 ,求得B(4,1),於是得到 ,由已知條件得到 ,過A作AE⊥y軸,過C作CD⊥y軸,設P(0,t),根據三角形的面積公式列方程即可得到結論.
【解答】解:(1)將A(1,4)分別代入y=﹣x+b和
得:4=﹣1+b,4= ,解得:b=5,k=4;
(2)一次函數值小於反比例函數值的自變量x的取值範圍為:x>4或0
(3)過A作AM⊥x軸,過B作BN⊥x軸,
由(1)知,b=5,k=4,
∴直線的表達式為:y=﹣x+5,反比例函數的表達式為:
由 ,解得:x=4,或x=1,
∴B(4,1),
∴ ,
∵ ,
∴ ,
過A作AE⊥y軸,過C作CD⊥y軸,設P(0,t),
∴S△PAC= OP•CD+ OP•AE= OP(CD+AE)=|t|=3,
解得:t=3,t=﹣3,
∴P(0,3)或P(0,﹣3).
21.如圖,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分線,O是AB上一點,以OA為半徑的⊙O經過點D.
(1)求證:BC是⊙O切線;
(2)若BD=5,DC=3,求AC的長.
【考點】切線的判定.
【分析】(1)要證BC是⊙O的切線,只要連接OD,再證OD⊥BC即可.
(2)過點D作DE⊥AB,根據角平分線的性質可知CD=DE=3,由勾股定理得到BE的長,再通過證明△BDE∽△BAC,根據相似三角形的性質得出AC的長.
【解答】(1)證明:連接OD;
∵AD是∠BAC的平分線,
∴∠1=∠3.
∵OA=OD,
∴∠1=∠2.
∴∠2=∠3.
∴ ∥AC.
∴∠ODB=∠ACB=90°.
∴OD⊥BC.
∴BC是⊙O切線.
(2)解:過點D作DE⊥AB,
∵AD是∠BAC的平分線,
∴CD=DE=3.
在Rt△BDE中,∠BED=90°,
由勾股定理得: ,
∵∠BED=∠ACB=90°,∠B=∠B,
∴△BDE∽△BAC.
∴ .
∴ .
∴AC=6.
22.一種實驗用軌道彈珠,在軌道上行駛5分鐘後離開軌道,前2分鐘其速度v(米/分)與時間t(分)滿足二次函數v=at2,後三分鐘其速度v(米/分)與時間t(分)滿足反比例函數關係,如圖,軌道旁邊的測速儀測得彈珠1分鐘末的速度為2米/分,求:
(1)二次函數和反比例函數的關係式.
(2)彈珠在軌道上行駛的最大速度.
(3)求彈珠離開軌道時的速度.
【考點】反比例函數的應用.
【分析】(1)二次函數圖象經過點(1,2),反比例函數圖象經過點(2,8),利用待定係數法求函數解析式即可;
(2)把t=2代入(1)中二次函數解析式即可;
(3)把t=5代入(1)中反比例函數解析式即可求得答案.
【解答】解:(1)v=at2的圖象經過點(1,2),
∴a=2.
∴二次函數的解析式為:v=2t2,(0≤t≤2);
設反比例函數的解析式為v= ,
由題意知,圖象經過點(2,8),
∴k=16,
∴反比例函數的解析式為v= (2
(2)∵二次函數v=2t2,(0≤t≤2)的圖象開口向上,對稱軸為y軸,
∴彈珠在軌道上行駛的最大速度在2秒末,為8米/分;
(3)彈珠在第5秒末離開軌道,其速度為v= =3.2(米/分).
五、綜合題(本大題共1小題,共14分)
23.如圖,在平面直角座標系xOy中,直線y= x+2與x軸交於點A,與y軸交於點C.拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是x=﹣ 且經過A、C兩點,與x軸的另一交點為點B.
(1)①直接寫出點B的座標;②求拋物線解析式.
(2)若點P為直線AC上方的拋物線上的一點,連接PA,PC.求△PAC的面積的最大值,並求出此時點P的座標.
(3)拋物線上是否存在點M,過點M作MN垂直x軸於點N,使得以點A、M、N為頂點的三角形與△ABC相似?若存在,求出點M的座標;若不存在,請説明理由.
【考點】二次函數綜合題.
【分析】(1)①先求的直線y= x+2與x軸交點的座標,然後利用拋物線的對稱性可求得點B的座標;②設拋物線的解析式為y=y=a(x+4)(x﹣1),然後將點C的座標代入即可求得a的值;
(2)設點P、Q的橫座標為m,分別求得點P、Q的縱座標,從而可得到線段PQ= m2﹣2m,然後利用三角形的面積公式可求得S△PAC= ×PQ×4,然後利用配方法可求得△PAC的面積的最大值以及此時m的值,從而可求得點P的座標;
(3)首先可證明△ABC∽△ACO∽△CBO,然後分以下幾種情況分類討論即可:①當M點與C點重合,即M(0,2)時,△MAN∽△BAC;②根據拋物線的對稱性,當M(﹣3,2)時,△MAN∽△ABC; ④當點M在第四象限時,解題時,需要注意相似三角形的對應關係.
【解答】解:(1)①y= 當x=0時,y=2,當y=0時,x=﹣4,
∴C(0,2),A(﹣4,0),
由拋物線的對稱性可知:點A與點B關於x=﹣ 對稱,
∴點B的座標為1,0).
②∵拋物線y=ax2+bx+c過A(﹣4,0),B(1,0),
∴可設拋物線解析式為y=a(x+4)(x﹣1),
又∵拋物線過點C(0,2),
∴2=﹣4a
∴a=
∴y= x2 x+2.
(2)設P(m, m2 m+2).
過點P作PQ⊥x軸交AC於點Q,
∴Q(m, m+2),
∴PQ= m2 m+2﹣( m+2)
= m2﹣2m,
∵S△PAC= ×PQ×4,
=2PQ=﹣m2﹣4m=﹣(m+2)2+4,
∴當m=﹣2時,△PAC的面積有最大值是4,
此時P(﹣2,3).
(3)方法一:
在Rt△AOC中,tan∠CAO= 在Rt△BOC中,tan∠BCO= ,
∴∠CAO=∠BCO,
∵∠BCO+∠OBC=90°,
∴∠CAO+∠OBC=90°,
∴∠ACB=90°,
∴△ABC∽△ACO∽△CBO,
如下圖:
①當M點與C點重合,即M(0,2)時,△MAN∽△BAC;
②根據拋物線的對稱性,當M(﹣3,2)時,△MAN∽△ABC;
③當點M在第四象限時,設M(n, n2 n+2),則N(n,0)
∴MN= n2+ n﹣2,AN=n+4
當 時,MN= AN,即 n2+ n﹣2= (n+4)
整理得:n2+2n﹣8=0
解得:n1=﹣4(舍),n2=2
∴M(2,﹣3);
當 時,MN=2AN,即 n2+ n﹣2=2(n+4),
整理得:n2﹣n﹣20=0
解得:n1=﹣4(舍),n2=5,
∴M(5,﹣18).
綜上所述:存在M1(0,2),M2(﹣3,2),M3(2,﹣3),M4(5,﹣18),使得以點A、M、N為頂點的三角形與△ABC相似.
方法二:
∵A(﹣4,0),B(1,0),C(0,2),
∴KAC×KBC=﹣1,
∴AC⊥BC,MN⊥x軸,
若以點A、M、N為頂點的三角形與△ABC相似,
則 , ,
設M(2t,﹣2t2﹣3t+2),
∴N(2t,0),
①| |= ,
∴| |= ,
∴2t1=0,2t2=2,
②| |= ,
∴| |=2,∴2t1=5,2t2=﹣3,
綜上所述:存在M1(0,2),M2(﹣3,2),M3(2,﹣3),M4(5,﹣18),使得以點A、M、N為頂點的三角形與△ABC相似.
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