數學圓知識點歸納
圓知識點歸納
一、圓的定義。
1、以定點為圓心,定長為半徑的點組成的圖形。
2、在同一平面內,到一個定點的距離都相等的點組成的圖形。
二、圓的各元素。
1、半徑:圓上一點與圓心的連線段。
2、直徑:連接圓上兩點有經過圓心的線段。
3、弦:連接圓上兩點線段(直徑也是弦)。
4、弧:圓上兩點之間的曲線部分。半圓周也是弧。
(1)劣弧:小於半圓周的弧。
(2)優弧:大於半圓周的弧。
5、圓心角:以圓心為頂點,半徑為角的邊。
6、圓周角:頂點在圓周上,圓周角的兩邊是弦。
7、弦心距:圓心到弦的垂線段的長。
三、圓的基本性質。
1、圓的對稱性。
(1)圓是軸對稱圖形,它的`對稱軸是直徑所在的直線。
(2)圓是中心對稱圖形,它的對稱中心是圓心。
(3)圓是旋轉對稱圖形。
2、垂徑定理。
(1)垂直於弦的直徑平分這條弦,且平分這條弦所對的兩條弧。
(2)推論:
平分弦(非直徑)的直徑,垂直於弦且平分弦所對的兩條弧。
平分弧的直徑,垂直平分弧所對的弦。
3、圓心角的度數等於它所對弧的度數。圓周角的度數等於它所對弧度數的一半。
(1)同弧所對的圓周角相等。
(2)直徑所對的圓周角是直角;圓周角為直角,它所對的弦是直徑。
4、在同圓或等圓中,兩條弦、兩條弧、兩個圓周角、兩個圓心角、兩條弦心距五對量中只要有一對量相等,其餘四對量也分別相等。
5、夾在平行線間的兩條弧相等。
6、設⊙O的半徑為r,OP=d。
7、(1)過兩點的圓的圓心一定在兩點間連線段的中垂線上。
(2)不在同一直線上的三點確定一個圓,圓心是三邊中垂線的交點,它到三個點的距離相等。
(直角三角形的外心就是斜邊的中點。)
8、直線與圓的位置關係。d表示圓心到直線的距離,r表示圓的半徑。
直線與圓有兩個交點,直線與圓相交;直線與圓只有一個交點,直線與圓相切;
直線與圓沒有交點,直線與圓相離。
9、平面直角座標系中,A(x1,y1)、B(x2,y2)。
則AB=
10、圓的切線判定。
(1)d=r時,直線是圓的切線。
切點不明確:畫垂直,證半徑。
(2)經過半徑的外端且與半徑垂直的直線是圓的切線。
切點明確:連半徑,證垂直。
11、圓的切線的性質(補充)。
(1)經過切點的直徑一定垂直於切線。
(2)經過切點並且垂直於這條切線的直線一定經過圓心。
12、切線長定理。
(1)切線長:從圓外一點引圓的兩條切線,切點與這點之間連線段的長叫這個點到圓的切線長。
(2)切線長定理。
∵ PA、PB切⊙O於點 A、B
PA=PB,2。
13、內切圓及有關計算。
(1)三角形內切圓的圓心是三個內角平分線的交點,它到三邊的距離相等。
(2)如圖,△ABC中,AB=5,BC=6,AC=7,⊙O切△ABC三邊於點D、E、F。
求:AD、BE、CF的長。
分析:設AD=x,則AD=AF=x,BD=BE=5-x,CE=CF=7-x.
可得方程:5-x+7-x=6,解得x=3
(3)△ABC中,C=90,AC=b,BC=a,AB=c。
求內切圓的半徑r。
分析:先證得正方形ODCE,
得CD=CE=r
AD=AF=b-r,BE=BF=a-r
b-r+a-r=c
得r=
(4)S△ABC=
14、(補充)
(1)弦切角:角的頂點在圓周上,角的一邊是圓的切線,另一邊是圓的弦。
如圖,BC切⊙O於點B,AB為弦,ABC叫弦切角,ABC=D。
(2)相交弦定理。
圓的兩條弦AB與CD相交於點P,則PAPB=PCPD。
(3)切割線定理。
如圖,PA切⊙O於點A,PBC是⊙O的割線,則PA2=PBPC。
(4)推論:如圖,PAB、PCD是⊙O的割線,則PAPB=PCPD。
15、圓與圓的位置關係。
(1)外離:dr1+r2, 交點有0個;
外切:d=r1+r2, 交點有1個;
相交:r1-r2
內切:d=r1-r2, 交點有1個;
內含:0d
(2)性質。
相交兩圓的連心線垂直平分公共弦。
相切兩圓的連心線必經過切點。
16、圓中有關量的計算。
(1)弧長有L表示,圓心角用n表示,圓的半徑用R表示。
L=
(2)扇形的面積用S表示。
S= S=
(3)圓錐的側面展開圖是扇形。
r為底面圓的半徑,a為母線長。
扇形的圓心角=
S側= ar S全= ar+ r2
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