證明線面垂直過程詳解

在立體幾何的線面關係中,線面垂直處於核心地位,它是證明線線垂直和麪面垂直的紐帶,也是計算角度、距離、面積、體積的重要環節，如何證明線面垂直呢?本文是小編整理如何證明線面垂直的資料，僅供參考。

　　證明線面垂直過程

∵PA⊥平面α，直線L∈平面α

∴PA⊥L========================①

∵PB⊥平面β，直線L∈平面β

∴PB⊥L========================②

綜合①②得：

直線L⊥平面PAB(垂直於平面兩條相交直線的直線垂直於這個平面)

∴L⊥AB(垂直於平面的直線垂直於平面內的任一直線)

線面垂直的判定定理證明，我一直覺得證明過程太過複雜。前年曾經這樣證明，今天寫在這裏。m和n為平面中兩條相交直線，通過平移或者説原本就在，使得l經過m、n的交點O，我們只需證明l垂直與平面中的任意一條直線g 即可!在m、n上分別以O點為中點截取AC、BD，則得到平行四邊形ABCD。此時不難由三角形全等的知識得到l⊥g。

　　答案補充

證明：已知直線L1 L22相交於O點且都與直線L垂直，L3是L1 L2所在平面內任意1條不與L1 L2重合或平行的直線(重合或平行直接可得它與L1平行) 在L3上取E、F令OE=OF， 分別過E、F作ED、FB交L2於D、B (令OD=OB)則⊿OED ≌⊿ OFB (SAS) 延長DE、BF分別交L1於A、C 則⊿OEA≌⊿OFC(ASA)(注意角AEO與角CFO的補角相等所以它們相等)。 所以OA=OC，所以⊿OAD≌⊿OBC(SAS)所以AD=CB 因為L3垂直於L1 L2所以MA=MC，MD=MB 所以⊿MAD≌⊿MCD(SSS)所以 角MAE= 角MCF 所以⊿MAE≌⊿MCF(SAS) 所以ME=MF，所以⊿MOE≌⊿MOF(SSS)，所以角MOE=角MOF 又因為 角MOE與 角MOF互補，所以角MOE=角MOF=90度，即L⊥L3

1利用直角三角形中兩鋭角互餘證明

由直角三角形的定義與三角形的內角和定理可知直角三角形的兩個鋭角和等於90° ，即直角三角形的兩個鋭角互餘。

2勾股定理逆定理

3圓周角定理的推論：直徑所對的圓周角是直角，一個三角形的一邊中線等於這邊的一半，則這個三角形是直角三角形。

二、高中部分

線線垂直分為共面與不共面。不共面時，兩直線經過平移後相交成直角，則稱兩條直線互相垂直。

1向量法 兩條直線的`方向向量數量積為0

2斜率 兩條直線斜率積為-1

3線面垂直，則這條直線垂直於該平面內的所有直線

一條直線垂直於三角形的兩邊，那麼它也垂直於另外一邊

4三垂線定理 在平面內的一條直線，如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內的射影垂直，那麼它也和這條斜線垂直。

5三垂線定理逆定理 如果平面內一條直線和平面的一條斜線垂直，那麼這條直線也垂直於這條斜線在平面內的射影。

2高中立體幾何的證明主要是平行關係與垂直關係的證明。方法如下(難以建立座標系時再考慮)：

Ⅰ.平行關係：

線線平行：1.在同一平面內無公共點的兩條直線平行。2.公理4(平行公理)。3.線面平行的性質。4.面面平行的性質。5.垂直於同一平面的兩條直線平行。

線面平行：1.直線與平面無公共點。2.平面外的一條直線與平面內的一條直線平行。3.兩平面平行，一個平面內的任一直線與另一平面平行。

面面平行：1.兩個平面無公共點。2.一個平面內的兩條相交直線分別與另一平面平行。

Ⅱ.垂直關係：

線線垂直：1.直線所成角為90°。2.一條直線與一個平面垂直，那麼這條直線與平面內的任一直線垂直。

線面垂直：1.一條直線與一個平面內的任一直線垂直。2.一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直。3.面面垂直的性質。4.兩條平行直線中的一條垂直與一個平面，那麼另一直線也與此平面垂直。5.一條直線垂直與兩個平行平面中的一個，那麼這條直線也與另一平面垂直。

面面垂直：1.面面所成二面角為直二面角。2.一個平面過另一平面的垂線，那麼這兩個平面垂直

線線垂直分為共面與不共面。不共面時，兩直線經過平移後相交成直角，則稱兩條直線互相垂直。

1向量法 兩條直線的方向向量數量積為0

2斜率 兩條直線斜率積為-1

3線面垂直，則這條直線垂直於該平面內的所有直線

一條直線垂直於三角形的兩邊，那麼它也垂直於另外一邊

4三垂線定理 在平面內的一條直線，如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內的射影垂直，那麼它也和這條斜線垂直。

5三垂線定理逆定理 如果平面內一條直線和平面的一條斜線垂直，那麼這條直線也垂直於這條斜線在平面內的射影。

3高中立體幾何的證明主要是平行關係與垂直關係的證明。方法如下(難以建立座標系時再考慮)：

　　證明線面垂直

長方體中ABCD-A1B1C1D1,AB=BC=4,AA1=8,E.F分別為AD和CC1的中點,O1為下底面正方形的中心 (1)證明:AF垂直於面FD1B1 (2)求異面直線EB與O1F所成角的餘弦值

證明:

1)

AB垂直於 面BB1C1C;

所以:BF是AF在 面BB1C1C內的射影;

三角形BB1F是以F為頂點的等腰直角三角形;

所以:BF垂直於B1F;

所以:AF垂直於B1F;

同理:AF垂直於D1F;

D1F交B1F等於F;

D1F、B1F包含於 面BB1C1C;

所以:AF垂直於 面BB1C1C。

解:

2)

以D為原點DA為x軸建系;

向量EB =(2,4, 0);

向量FO1=(2,2,-4);

所以:cosθ=√(3/10)

自己也算算哈 :)

　　什麼是線面垂直定理?判定和證明的方法是什麼

一條直線和平面內的任意一條直線都垂直，稱直線和平面垂直。定義中的關鍵詞‘任意’，包含平面內“每一條直線”“所有直線”的含義，不能將之改成“兩條”或“無數條“，因為這數條直線不可能平行。

只限於平面垂直不是直線與平面的位置關係的一種，而是直線與平面相交的一種特殊情況。

判定

要判斷一條已知直線和另一個平面是否垂直，只需要在該平面內找出兩條與已知直線垂直即可，至於這兩條直線是否與已知直線有交點，這是無關緊要的。

如何證明線線垂直，線面垂直，面面垂直和線線平行，線面平行，面面平行

要證線線垂直可以1，用座標向量法，2，有了座標可以計算長度用勾股定理，3，線面垂直可推出線線垂直。

要證線面垂直就證1，這條線與這個面裏的兩條相交直線垂直，2，也可以用向量法，面的法向量與線的線的向量平行，

面面垂直1，向量法，兩個面的法向量相乘為零2，一個平面過另一平面的垂線，則這兩個平面相互垂直。

線線平行1，向量法，2.垂直於同一平面的兩條直線平行，3平行於同一直線的兩條直線平行，4一個平面與另外兩個平行平面相交,那麼兩條交線也平行。

線面平行，1平面外的一條直線與平面內的一條直線平行，則這條直線與這個平面平行，2若一條直線與一個平面同時平行於另一個平面且這條直線不屬於這個平面，則這條直線與這個平面平行，3若一條直線與兩平行平面中的一個平行，則這條直線與另一個平面平行，4，最好用的還是向量法。

面面平行1，如果一個平面內有兩條相交直線都平行於另一個平面，那麼這兩個平面平行。2，如果兩個平面與同一條直線垂直，那麼這兩個平面平行。3如果兩個平面與同一個平面平行，那麼這兩個平面平行。

既然是高三了，那就靈活應用，最好用的就是向量法。