《垂直於弦的直徑》的課程教學設計

第一課時 （一）

教學目標 ：

（1）理解圓的軸對稱性及垂徑定理的推證過程；能初步應用垂徑定理進行計算和證明；

（2）進一步培養學生觀察問題、分析問題和解決問題的能力；

（3）通過圓的對稱性，培養學生對數學的審美觀，並激發學生對數學的熱愛。

教學重點、難點：

重點：

①垂徑定理及應用；

②從感性到理性的學習能力。

難點：垂徑定理的證明。

教學學習活動設計：

（一）實驗活動，提出問題：

1、實驗：讓學生用自己的方法探究圓的對稱性，教師引導學生努力發現：圓具有軸對稱、中心對稱、旋轉不變性。

2、提出問題：老師引導學生觀察、分析、發現和提出問題。

通過演示實驗觀察感性理性引出垂徑定理。

（二）垂徑定理及證明：

已知：在⊙O中，CD是直徑，AB是弦，CDAB，垂足為E。

求證：AE=EB， =， =。

證明：連結OA、OB，則OA=OB。又∵CDAB，直線CD是等腰△OAB的對稱軸，又是⊙O的對稱軸。所以沿着直徑CD摺疊時，CD兩側的兩個半圓重合，A點和B點重合，AE和BE重合， 、 分別和 、 重合。因此，AE=BE， =， =。從而得到圓的一條重要性質。

垂徑定理：平分這條弦，並且平分弦所對的兩條弧。

組織學生剖析垂徑定理的條件和結論：

CD為⊙O的直徑，CDAB AE=EB，

為了運用的方便，不易出現錯誤，將原定理敍述為：

①過圓心；

②垂直於弦；

③平分弦；

④平分弦所對的優弧；

⑤平分弦所對的劣弧。

加深對定理的理解，突出重點，分散難點，避免學生記混。

（三）應用和訓練

例1、已知在⊙O中，弦AB的長為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求⊙O的半徑。

分析：要求⊙O的半徑，連結OA，只要求出OA的長就可以了，因為已知條件點O到AB的距離為3cm，所以作OEAB於E，而AE=EB= AB=4cm。此時解Rt△AOE即可。

解：連結OA，作OEAB於E。

則AE=EB。

∵AB=8cm，AE=4cm。

又∵OE=3cm，

在Rt△AOE中，

（cm）。

⊙O的半徑為5 cm。

説明：①學生獨立完成，老師指導解題步驟；②應用垂徑定理計算：涉及四條線段的長：弦長a、圓半徑r、弦心距d、弓形高h

關係：r =h+d； r2 =d2 + （a/2）2

例2、 已知：在以O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓於C、D兩點。求證AC=BD。（證明略）

説明：此題為基礎題目，對各個層次的學生都要求獨立完成。

練習1：教材P78中練習1，2兩道題。由學生分析思路，學生之間展開評價、交流。

指導學生歸納：①構造垂徑定理的基本圖形，垂徑定理和勾股定理的結合是計算弦長、半徑、弦心距等問題的常用方法；②在圓中解決弦的有關問題經常作的輔助線弦心距。

（四）小節與反思

教師組織學生進行：

知識：

（1）圓的軸對稱性；

（2）垂徑定理及應用。

方法：

（1）垂徑定理和勾股定理有機結合計算弦長、半徑、弦心距等問題的方法，構造直角三角形；

（2）在因中解決與弦有關問題經常作的輔助線弦心距；

（3）為了更好理解垂徑定理，一條直線只要滿足

①過圓心；

②垂直於弦；則可得

③平分弦；

④平分弦所對的優弧；

⑤平分弦所對的劣弧。

（五）作業

教材P84中11、12、13。

第二課時 （二）

教學目標 ：

（1）使學生掌握垂徑定理的兩個推論及其簡單的應用；

（2）通過對推論的探討，逐步培養學生觀察、比較、分析、發現問題，概括問題的能力。促進學生創造思維水平的發展和提高

（3）滲透一般到特殊，特殊到一般的辯證關係。

教學重點、難點：

重點：

①垂徑定理的兩個推論；

②對推論的探究方法。

難點：垂徑定理的推論1。

學習活動設計：

（一）分解定理（對定理的剖析）

1、複習提問：定理：平分這條弦，並且平分弦所對應的兩條弧。

2、剖析：

（教師指導）

（二）新組合，發現新問題：（A層學生自己組合，小組交流，B層學生老師引導）

（包括原定理，一共有10種）

（三）探究新問題，歸納新結論：

（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直於弦，並且平分弦對應的.兩條弧。

（2）弦的垂直平分線經過圓心，並且平分弦對應的兩條弧。

（3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，並且平分弦所對的另一條弧。

（4）圓的兩條平行線所夾的弧相等。

（四）鞏固練習：

練習1、平分弦的直徑垂直於弦，並且平分弦所對的兩條弧這句話對嗎？為什麼？

（在推論1（1）中，為什麼要附加不是直徑這一條件。）

練習2、填空：在⊙O中，

（1）若MNAB，MN為直徑，則________，________，________；

（2）若AC=BC，MN為直徑，AB不是直徑，則則________，________，________；

（3）若MNAB，AC=BC，則________，________，________；

（4）若 =，MN為直徑，則________，________，________。

（此題目的：鞏固定理和推論）

（五）應用、反思

例、四等分 。

（A層學生自主完成，對於其他層次的學生在老師指導下完成）

教材P80中的第3題圖，是典型的錯誤作。

此題目的：是引導學生應用定理及推論來平分弧的方法，通過學生自主操作培養學生的動手能力；通過與教材P80中的第3題圖的對比，加深學生對感性知識的認識及理性知識的理解。培養學生的思維能力。

（六）小結：

知識：垂徑定理的兩個推論。

能力：

①推論的研究方法；

②平分弧的作圖。

（七）作業 ：

第三課時

垂徑定理及推論在解題中的應用

教學目的：

⑴要求學生掌握垂徑定理及其推論，會解決有關的證明，計算問題。

⑵培養學生嚴謹的邏輯推理能力；提高學生方程思想、分類討論思想的應用意識。

⑶通過例4（趙州橋）對學生進行愛國主義的教育；並向學生滲透數學來源於實踐，又反過來服務於實踐的辯證唯物主義思想

教學重點：垂徑定理及其推論在解題中的應用

教學難點 ：如何進行輔助線的添加

教學內容：

（一）複習

1垂徑定理及其

推論1：對於一條直線和一個圓來説，具備下列五個條件中的任何個，那麼也具有其他三個：

⑴ 直線過圓心 ；

⑵ 垂直於弦 ；

⑶ 平分弦 ；

⑷ 平分弦所對的優弧 ；

⑸ 平分弦所對的劣弧。可簡記為：知2推3

推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。

2應用垂徑定理及其推論計算（這裏不管什麼層次的學生都要自主研究）

涉及四條線段的長：弦長a、圓半徑r、弦心距d、弓形高h關係：r =h+d ； r2 =d2 + （a/2）2

3常添加的輔助線：（學生歸納）

⑴ 作弦心距 ；

⑵ 作半徑 。——————構造直角三角形

4可用於證明：線段相等、弧相等、角相等、垂直關係；同時為圓中的計算、作圖提供依據。

（二）應用例題：（讓學生分析，交流，解答，老師引導學生歸納）

例1、1300多年前，我國隋代建造的趙州石拱橋的橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對的弦的長）為37.4米，拱高（弧中點到弦的距離，也叫弓形的高）為7.2米，求橋拱的半徑（精確到0.1米）。

説明：

①對學生進行愛國主義的教育；

②應用題的解題思路：實際問題（轉化，構造直角三角形）數學問題。

例2、已知：⊙O的半徑為5 ，弦AB∥CD ，AB =6 ，CD =8 。求：AB與CD間的距離。（讓學生畫圖）

解：分兩種情況：

（1）當弦AB、CD在圓心O的兩側

過點O作EFAB於E，連結OA、OC，

又∵AB∥CD，EFCD。（作輔助線是難點，學生往往作OEAB，OFAB，就得EF=OE+OF，錯誤的結論）

由EF過圓心O，EFAB，AB =6，得AE=3，

在Rt△OEA中，由勾股定理，得

同理可得：OF=3

EF=OE+OF=4+3=7。

（2）當弦AB、CD在圓心O的同側

同（1）的方法可得：OE=4，OF=3。

説明：

①此題主要是滲透分類思想，培養學生的嚴密性思維和解題方法：確定圖形分析圖形數形結合解決問題；

②培養學生作輔助線的方法和能力。

例3、 已知：AB是⊙O的弦，半徑OC∥AB ，AB=24 ，OC =15 。求：BC的長。

解：（略，過O作OEAE於E ，過B作BFOC於F ，連結OB。BC =）

説明：通過添加輔助線，構造直角三角形，並把已知與所求線段之間找到關係。

（三）應用訓練：

P8l中1題。

在直徑為650mm的圓柱形油槽內裝入一些油後。截面如圖所示，若油麪寬AB=600mm，求油的最大深度。

學生分析，教師適當點撥。

分析：要求油的最大深度，就是求有油弓形的高，弓形的高是半徑與圓心O到弦的距離差，從而不難看出它與半徑和絃的一半可以構造直角三角形，然後利用垂徑定理和勾股定理來解決。

（四）小結：

1 垂徑定理及其推論的應用注意指明條件。

2 應用定理可以證明的問題；注重構造思想，方程思想、分類思想在解題中的應用。

（五）作業 ：教材P84中15、16題，P85中B組2、3題。

探究活動

直線MN與⊙O交於點A、B，CD是⊙O的直徑，CEMN於E，DFMN於F，OHMN於H。

（1）線段AE、BF之間存在怎樣的關係？線段CE、OH、DF之間滿足怎樣的數量關係？並説明理由。

（2）當直線CD的兩個端點在MN兩側時，上述關係是否仍能成立？如果不成立，它們之間又有什麼關係？並説明理由。

（答案提示：（1）AE=BF，CE+DF=2OH，（2）AE=BF仍然成立，CE+DF=2OH不能成立。CE、DF、OH之間應滿足）