高二數學導數知識點歸納
在平平淡淡的學習中,大家最不陌生的就是知識點吧!知識點是傳遞信息的基本單位,知識點對提高學習導航具有重要的作用。掌握知識點有助於大家更好的學習。以下是小編整理的高二數學導數知識點歸納,希望對大家有所幫助。
導數基礎
導數(Derivative)是微積分中的重要基礎概念。當函數y=f(x)的自變量X在一點x0上產生一個增量Δx時,函數輸出值的增量Δy與自變量增量Δx的比值在Δx趨於0時的極限a如果存在,a即為在x0處的導數,記作f'(x0)或df/dx(x0)。
1.y=c(c為常數) y'=0
2.y=x^n y'=nx^(n-1)
3.y=a^x y'=a^xlna
y=e^x y'=e^x
4.y=logax y'=logae/x
y=lnx y'=1/x
5.y=sinx y'=cosx
6.y=cosx y'=-sinx
7.y=tanx y'=1/cos^2x
8.y=cotx y'=-1/sin^2x
9.y=arcsinx y'=1/√1-x^2
10.y=arccosx y'=-1/√1-x^2
11.y=arctanx y'=1/1+x^2
12.y=arccotx y'=-1/1+x^2
在推導的過程中有這幾個常見的公式需要用到:
1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]g'(x)『f'[g(x)]中g(x)看作整個變量,而g'(x)中把x看作變量』
2.y=u/v,y'=u'v-uv'/v^2
3.y=f(x)的反函數是x=g(y),則有y'=1/x'
證:1.顯而易見,y=c是一條平行於x軸的直線,所以處處的切線都是平行於x的,故斜率為0。用導數的定義做也是一樣的.:y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0。
2.這個的推導暫且不證,因為如果根據導數的定義來推導的話就不能推廣到n為任意實數的一般情況。在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x這兩個結果後能用複合函數的求導給予證明。
3.y=a^x,
⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1)
⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x
如果直接令⊿x→0,是不能導出導函數的,必須設一個輔助的函數β=a^⊿x-1通過換元進行計算。由設的輔助函數可以知道:⊿x=loga(1+β)。
所以(a^⊿x-1)/⊿x=β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β
顯然,當⊿x→0時,β也是趨向於0的。而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna。
把這個結果代入lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0a^x(a^⊿x-1)/⊿x後得到lim⊿x→0⊿y/⊿x=a^xlna。
可以知道,當a=e時有y=e^x y'=e^x。
4.y=logax
⊿y=loga(x+⊿x)-logax=loga(x+⊿x)/x=loga[(1+⊿x/x)^x]/x
⊿y/⊿x=loga[(1+⊿x/x)^(x/⊿x)]/x
因為當⊿x→0時,⊿x/x趨向於0而x/⊿x趨向於∞,所以lim⊿x→0loga(1+⊿x/x)^(x/⊿x)=logae,所以有
lim⊿x→0⊿y/⊿x=logae/x。
可以知道,當a=e時有y=lnx y'=1/x。
這時可以進行y=x^n y'=nx^(n-1)的推導了。因為y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx,
所以y'=e^nlnx(nlnx)'=x^nn/x=nx^(n-1)。
5.y=sinx
⊿y=sin(x+⊿x)-sinx=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)
⊿y/⊿x=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/⊿x=cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/(⊿x/2)
所以lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0cos(x+⊿x/2)lim⊿x→0sin(⊿x/2)/(⊿x/2)=cosx
6.類似地,可以導出y=cosx y'=-sinx。
7.y=tanx=sinx/cosx
y'=[(sinx)'cosx-sinx(cos)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x
8.y=cotx=cosx/sinx
y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x
9.y=arcsinx
x=siny
x'=cosy
y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2
10.y=arccosx
x=cosy
x'=-siny
y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2
11.y=arctanx
x=tany
x'=1/cos^2y
y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2
12.y=arccotx
x=coty
x'=-1/sin^2y
y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2
另外在對雙曲函數shx,chx,thx等以及反雙曲函數arshx,archx,arthx等和其他較複雜的複合函數求導時通過查閲導數表和運用開頭的公式與
4.y=u土v,y'=u'土v'
5.y=uv,y=u'v+uv'
均能較快捷地求得結果。
-
家庭教育心理講座心得體會(精選20篇)
當我們有一些感想時,可以尋思將其寫進心得體會中,這樣有利於培養我們思考的習慣。應該怎麼寫才合適呢?以下是小編幫大家整理的家庭教育心理講座心得體會,僅供參考,歡迎大家閲讀。家庭教育心理講座心得體會篇1首先感謝學校為我們家長精心安排的這次家庭教育講座,感謝...
-
期會考試教師發言稿(通用28篇)
隨着社會一步步向前發展,接觸並使用發言稿的人越來越多,發言稿可以按照用途、性質等來劃分,是演講上一個重要的準備工作。如何寫一份恰當的發言稿呢?以下是小編為大家整理的期會考試教師發言稿,歡迎大家借鑑與參考,希望對大家有所幫助。期會考試教師發言稿篇1尊敬的...
-
精選期會考試以後作文4篇
在平凡的學習、工作、生活中,許多人都有過寫作文的經歷,對作文都不陌生吧,作文是通過文字來表達一個主題意義的記敍方法。一篇什麼樣的作文才能稱之為優秀作文呢?以下是小編為大家整理的期會考試以後作文4篇,僅供參考,大家一起來看看吧。期會考試以後作文篇1今天,期中...
-
八年級英語期末考試反思範文(精選10篇)
在當今社會生活中,我們要在教學中快速成長,反思過往之事,活在當下之時。反思應該怎麼寫呢?以下是小編精心整理的八年級英語期末考試反思範文(精選10篇),僅供參考,希望能夠幫助到大家。八年級英語期末考試反思篇1本次英語考試以期末考題型命題,加強對基礎知識的考查,側重考查...