考研數學矩陣相似對角化要點及技巧

考研數學的衝刺複習，需要不斷回顧課本、複習錯題，對重要知識點需要一再鞏固。小編為大家精心準備了考研數學矩陣相似對角化的知識點，歡迎大家前來閲讀。

　　考研數學矩陣相似對角化重點和方法

★一般方陣的相似對角化理論

這裏要求掌握一般矩陣相似對角化的條件，會判斷給定的矩陣是否可以相似對角化，另外還要會矩陣相似對角化的計算問題，會求可逆陣以及對角陣。事實上，矩陣相似對角化之後還有一些應用，主要體現在矩陣行列式的計算或者求矩陣的方冪上，這些應用在歷年真題中都有不同的體現。

1、判斷方陣是否可相似對角化的條件：

(1)充要條件：An可相似對角化的充要條件是：An有n個線性無關的特徵向量;

(2)充要條件的另一種形式：An可相似對角化的充要條件是：An的k重特徵值滿足n-r(λE-A)=k

(3)充分條件：如果An的n個特徵值兩兩不同，那麼An一定可以相似對角化;

(4)充分條件：如果An是實對稱矩陣，那麼An一定可以相似對角化。

【注】分析方陣是否可以相似對角化，關鍵是看線性無關的特徵向量的個數，而求特徵向量之前，必須先求出特徵值。

2、求方陣的特徵值：

(1)具體矩陣的特徵值：

這裏的難點在於特徵行列式的計算：方法是先利用行列式的性質在行列式中製造出兩個0，然後利用行列式的展開定理計算;

(2)抽象矩陣的特徵值：

抽象矩陣的特徵值，往往要根據題中條件構造特徵值的定義式來求，靈活性較大。

★實對稱矩陣的.相似對角化理論

其實質還是矩陣的相似對角化問題，與一般方陣不同的是求得的可逆陣為正交陣。這裏要求大家除了掌握實對稱矩陣的正交相似對角化外，還要掌握實對稱矩陣的特徵值與特徵向量的性質，在考試的時候會經常用到這些考點的。

這塊的知識出題比較靈活，可直接出題，即給定一個實對稱矩陣A，讓求正交陣使得該矩陣正交相似於對角陣;也可以根據矩陣A的特徵值、特徵向量來確定矩陣A中的參數或者確定矩陣A;另外由於實對稱矩陣不同特徵值的特徵向量是相互正交的，這樣還可以由已知特徵值的特徵向量確定出對應的特徵向量，從而確定出矩陣A。

最重要的是，掌握了實對稱矩陣的正交相似對角化就相當於解決了實二次型的標準化問題。

1、掌握實對稱矩陣的特徵值和特徵向量的性質

(1)不同特徵值的特徵向量一定正交

(2)k重特徵值一定滿足滿足n-r(λE-A)=k

【注】由性質(2)可知，實對稱矩陣一定可以相似對角化;且有(1)可知，實對稱矩陣一定可以正交相似對角化。

2、會求把對稱矩陣正交相似化的正交矩陣

【注】熟練掌握施密特正交化的公式;特別注意的是：只需要對同一個特徵值求出的基礎解系進行正交化，不同特徵值對應的特徵向量一定正交(當然除非你計算出錯了會發現不正交)。

3、實對稱矩陣的特殊考點：

實對稱矩陣一定可以相似對角化，利用這個性質可以得到很多結論，比如：

(1)實對稱矩陣的秩等於非零特徵值的個數

這個結論只對實對稱矩陣成立，不要錯誤地使用。

(2)兩個實對稱矩陣，如果特徵值相同，一定相似

同樣地，對於一般矩陣，這個結論也是不成立的。

4、實對稱矩陣在二次型中的應用

使用正交變換把二次型化為標準型使用的方法本質上就是實對稱矩陣的正交相似對角化。

　　考研數學重要題型知識點

温馨提醒：小編沒有區分數一數二數三，各位小夥伴需要根據自己考查科目的大綱要求，進行了解。

1.極限問題的快速分析與處理;

2.巧用極限的保序性、有界性與唯一性，正確快速運用極限運算法則;

3.準確快速判斷分段函數特性(連續、可導與導數連續等);

4.導數與微分的特別考點;

5.等式與不等式證明技巧;

6.處理積分計算與綜合分析問題的有效方法;

7.正確運用定積分性質，處理變限積分與含參積分的技巧;

8.用積分表達與計算應用問題的技巧;

9.級數收斂性分析與判斷的快速程序化方法;

10.級數展開與求和零部件組合安裝法;

11.“按類求解”和“觀察侍定”是解微分方程的兩把鑰匙;

12.“規律翻譯”與“微量平衡分析”是解應用題的基本方法;

13.用函數觀點來考察微分方程問題;

14.用“多元問題”“一元化”的方法研究多元函數;

15.分析“函數結構”是“抽象函數”導數的計算的關鍵;

16.多元極(最)值問題應抓住“三個什麼”“三個步驟”;

17.“三定”(座標系、積分序和積分限)是計算重積分的三步曲;

18.靈活運用“分塊積分、對稱性、幾何和物理意義”是計算重積分的捷徑;

20.掌握曲面的定向是正確利用Guass公式、Stokes公式的前提;

21.將矩陣按列分塊之技巧及應用;

22.利用矩陣的參數的技巧;

23.利用初等矩陣表示矩陣的初等變換的技巧;

24.應用行列式的展開定理的技巧;

25.關於向量組的線性相關與線性無關的技巧;

26.利用簡化行階梯形的技巧;

27.關於矩陣對角化問題的技巧;

28.判斷二次型正定性的技巧;

29.加減求逆乘法律，全概逆概獨立性，事件化簡是關鍵，三大概型應活用;

30.變量分佈特徵清，參數確定容易定，重要分佈記背景，離散變量靠列表;

31.一維連續畫密度，正態計算標準化，指數分佈無記憶，函數分佈直接求;

32.由聯合分佈求邊緣分佈的技巧，判斷獨立性;由聯合分佈求概率;

33.函數期望是關鍵，常用分佈背特徵，特徵性質要牢記，二維特徵定相關;

34.大數中心規範記，收斂方式有區別，切比雪夫估概率，近似計算用中心;

35.抽樣分佈定義明，正態抽樣四式推，矩法似然原理清，無偏有效算特徵;

36.區間估計靠樞軸，分位定義應明確，假設檢驗步驟定，兩類錯誤會計算。

　　考研數學的臨場技巧

一、檢查試卷，穩定心情

拿到試卷以後不要着急做題，花一兩分鐘時間把卷子通篇看一下，檢查一下考研數學試卷是不是23道題目，大致都是什麼題型的題目。這樣做有兩個好處：一是可以有效防止因粗心大意而漏掉一些題目，漏題就太可惜了;二是可以加強自己的信心，穩定心情，通過長達一年時間的複習，看了這麼多參考書，聽了那麼多考研課程，相信試卷中肯定有不少題型你是非常熟悉的，看了這些題目以後，你會感到非常高興，自信心會猛烈增長，原本緊張的心情也會放輕鬆，這樣才能正常發揮。

二、合理分配答題時間

根據以往考生的經驗，一道客觀題控制在3分鐘左右，最多不要超過5分鐘，解答題一般10分鐘左右，根據難易程度適當調整。最後至少留出30分鐘時間檢查，確保會做的題目計算正確。

三、按序做題，先易後難

考研數學題量都是23道題目，其中選擇題8道，填空題6道，解答題9道。題目類型也是固定的，數學一和數學三1-4題是高數選擇題，5-6題是線代選擇題，7-8題是概率選擇題;9-12題是高數填空題，13題是線代填空題，14題是概率填空題，15-19題是高數解答題，20-21題是線代解答題，22-23題是概率解答題。數學二1-6題是高數選擇題，7-8題是線代選擇題;9-13是高數填空題，14題是線代填空題，15-21題是高數解答題，22-23題線代解答題。

選擇題和填空題主要考察的是基本概念、基本公式、基本定理和基本運算，解答題包括計算題和證明題考察內容比較綜合，往往一個題目考查多個知識點，從近些年的試卷特點，題型都比較常見，難度不算大，我們最好按題目順序做，這樣能穩定心情，很快進入狀態，也不容易漏做題目，如果遇到自己不熟悉的題目也不要發慌，可以暫時放下接着做下一個題目。等容易的題目有把握的題目都做完之後，再靜心研究有疑問的題目，但如果實在沒有思路也要學會放棄，留出時間檢查自己會做的題目，爭取會做的題目不丟分，因為數學的分數最依賴的還是能否將會做的題都做對。

此外，有些同學喜歡先做高數，再做線代，這樣的做題順序也可以，關鍵是看你平時訓練時是如何訓練的，選擇適合自己的就是最好的，但在此提醒一下大家一定不要漏做題。最後祝大家考研順利!

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