國小數學難題解法技巧大全

國小數學難題解法大全之巧妙解題方法（十一）[1]

文章摘要：使用正確的解題方法不但可以大大加快解題的速度而且可以提高解題的正確率。為此，數學頻道編輯部整理了一些巧妙的解題方法，以便同學們更好的去學習這些知識。

巧填兩個真分數之間的分數

兩個真分數之間的分數是無窮的，這裏給出幾種簡便填法。

數，下同)。

且兩個分數是真分數，

且兩個分數為真分數，則a>b，

即 bc-ad<0，

因為 a、b、c、d是正數，故 ac>0，a(a+c)>0，c(a+c)>0，

(5)根據“大小兩數的算術平均數，必大於小數而小於大數。”求

符合要求。

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(6)倍乘法

若插入“四個數”，就把它們各擴大“五倍”，即倍數比插入數多1。

(7)化為小數

顯然，0.75～0.8之間的數是無窮的。

(8)反覆通分

(9)變分子相同

故知所求數依次為

(個)符合要求的分數。如果擴大3倍，則得(63-55)×3-1=23(個)。

(10)化為百分數

(11)單位“1”法

把兩個分數中的任意一個看作“1”，求出另一個分數佔單位“ 1”的幾分之幾，取所得分數分子與分母的中間數作分子，分母不變，再乘以單位“1”即得問題的解。

(12)數軸法

都滿足條件。

件

數)，取其中的m份(m＜n)，一般表達式

所以該題的解為：

n的取值無限，其解無窮。

假設m=2，n=3，則

上是關係有理數集的稠密性的問題——任意兩個不同的有理數之間存在着無窮多個有理數。

國小數學難題解法大全之巧妙解題方法（十）

文章摘要：使用正確的解題方法不但可以大大加快解題的速度而且可以提高解題的正確率。為此，數學頻道編輯部整理了一些巧妙的解題方法，以便同學們更好的去學習這些知識。

巧試商

(1)定位打點

首先用打點的方法定出商的最高位。

其次用除數的最高位去除被除數的前一位(如果被除數的前一位不夠，就除被除數的前兩位)。

最後換位調商。試商後，如果除數和商相乘的積比被除數大時，將試商減1;小時，且餘數比除數大，將試商加1.例略。

(2)比積法

就是在求得商的最高位後，以後試商時，把被除數和已得的商與除數之積比較，從而確定該位上的商。常可一次試商獲得成功，從而提高解題速度，還可培養學生的比較判斷能力。

例如，9072÷252=36.

十位上商3，得積756.在個位上試商時，只要把1512與756相比較，便知1512是756的2倍，故商的個位應是3的2倍6.特別是當商中有相同數字時，更方便。

本題在個位上試商時，只要把1268與1256相比較，便知應為8，且很快寫出積1256，從而得到餘數12.

(3)四捨五入法

除數是兩、三位數的除法。根據除數“四捨五入”的試商方法，常需調商。若改為“四舍一般要減一，五入一般要加一”，常可一次定商。

例如，175÷24，除數24看作20，被除數175，初商得8，直接寫商7.

2299÷382，382可看作400，上商5，積是2000.接近2299，但結果商還是小，可直接寫商6.

(4)三段試商法

把兩位數的除數的個位數1—9九個數字，分為“1、2、3”、“4、5、6”、“7、8、9”三段來處理。

當除數的個位數是1、2、3時，用去尾法試商(把1、2、3捨去)。

商。

當除數個位數是4、5、6時，先用進一法試商，再用去尾法試商，然

商為8，取6—8之間的“7”為準確商。如果兩次初

是初商6、7中的“6”.

(5)高位試低位調

用除數最高位上的數去估商，再用較低位上的數調整商。例如：513÷73=7的試商調商過程如下。

A.用除數十位上的7去除被除數的前兩位數51，初商為7;

B.用除數個位上的3調商：從513中 去減7與70的積490，餘23，23比初商7 與除數個位數3的積21大，故初商準確，為7.

如果283÷46時，用除數高位上的4去除28，初商為7，用除數個位6調商，從283中減去7與40的積餘3，3比7與除數個位數6的積42小，初商則過大。調為6.

這種試商方法簡便迅速，初商出得快，由於“低位調”，準確商也找得準。同時，由於用除數最高位上的數去估商時，初商只存在過大的情況，調整初商時只需要調小，這樣，調商也較快。

但是，有時在採用這種方法試商時，初商與準確商仍存在着差距過大的

調商，從181中減去6與30的積，餘1，1比6與7的積小，照理應將初商調為5，因為1比42小41，而41>37，為了減少調商次數，直接將初商調為“4”，稱為“跳調”。這樣便於較快地找出準確商。

(6)靠五法

對除數不大接近於整十數、整百數的，如9424÷152，不論用舍法或者入法，都要兩次調商。如果我們把除數152看作150，即不是用四捨五入法，而是向五靠，一般能減少試商次數，甚至可以一次定商。

(7)同頭無除

當被除數和除數的最高位數字相同，而被除數的次高位數字又比除數次高位數字小的，例如3368÷354=9……，1456÷182=8，一般的就用“同頭無除商8、9”.

(8)半除

被除數的前一位或兩位數正好是除數前兩位數的一半或接近一半的，例如965÷193=5，1305÷261=5，一般用“半除商5”.

(9)一次定商法

對確定每一位商，分四步進行：

第一步，用5作基商，先求出除數的5倍是多少;

第二步，求差數，即求出被除到的數與除數的5倍的差數;

第三步，求差商，差數÷除數=“差商”;

第四步，定商，若差數>0，當差商是幾，定商為“5+幾”，若差數<0，當差商是幾，定商為“5-幾”。

例如：517998÷678=764……6

(1)先從高位算起，定第一位商7.

先求除數的5倍：678×5=3390求差商(5179-3390)÷678=2……;

定商 5+2=7;

(2)定第二位商6.

差商(4339-3390)÷678=1……

定商 5+1=6;

(3)定第三位商4.

被除數與除數5倍的差小於0，差商不足1，

定商5-1=4，即2718÷678的商定為4.

對於上述一次定商法，在定商的過程中，如果被除到的數是除數的1倍或2倍，可以直接定商，不必拘泥於上面四步。

國小數學難題解法大全之巧妙解題方法（九）

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巧設條件

有些題數量關係抽象，猛一看去甚至覺得條件“不充分”。若把題變為“看得見，摸得着”，則易為學生理解接受。

例1 製造某種機器零件的時間甲比乙少用1/4，那麼，甲比乙的工作效率高( )%.

若假設乙加工這種零件要8小時(是4的倍數計算方便)，那麼，甲加工

如果設乙加工這種零件要4分鐘，那麼，他每小時加工15個;甲用的時間比乙少1/4，只需要3分鐘，他每小時能加工20個。這樣，就更簡捷了。

(20—15)÷15≈33.3%.

設正方形的邊長為6個長度單位(6是2和3的最小公倍數)，則

例3 甲數比乙數多25%，乙數比甲數少( )%.

數少

例4 一組題。

(1)一個正方形體的稜長擴大2倍，那麼它的體積就擴大( )倍，表面積擴大( )倍。

假設原正方體的稜長為1個單位長度，其體積為1×1×1，表面積為1×1×6;擴大後的稜長為2，體積為23、表面積為22×6。再通過比較就可得出結果。

(2)大圓半徑是小圓半徑的3倍，大圓周長是小圓周長的( )倍，小圓

假定小圓半徑為1，則大圓半徑為3。

與小圓面積的比是( )。

假設陰影部分的面積為6，代入計算比直接利用兩個“分率”推導易理解。

求小明比小方高多少，就是求168cm的1/6+1，即高出24cm.

國小數學難題解法大全之巧妙解題方法（八）[1]

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巧求最小公倍數

求最小公倍數要根據具體題，靈活選用最佳方法。

(1)倍數查找法

例如，求6和9的最小公倍數。

分別求出要求最小公倍數的那幾個數的一些公倍數，從中找出相同的且最小的一個。

6的倍數有：6、12、18、24……

9的倍數有：9、18、27、36……

則[6，9]=18.

(2)約分法

(證明略)

例如，求84與36的最小公倍數。

[84， 36]=3×84=252或 36×7=252

經逐次約分後，分數線上下形成了兩列數，從這兩列數的“頭乘頭或尾乘尾”即可得出原先兩個數的最小公倍數。

(3)短除法

[15，30，40]=5×3×2×4=120.

用短除法求最小公倍數最好用質數去試除，否則易出錯。如：

∴ [15，30，40]=10×3×5×4=600.

因為用合數去除，相當於用2除再用5除，而15雖然不能被10整除，卻可以被5整除。如果用10去除，就少用5去除，使結果擴大5倍。這是錯誤的。

此法也不是非要用質數去試除不可。例如，下面兩式都是對的。

2×2×3×5×4 4×3×5×4

=240 =240

這是因為12、60和16既有公約數2，也有公約數4。用較大的公約數去除，能減少運算步驟，應靈活選用。

(4)歸類法

成倍數關係的幾個數，最大的那個是它們的最小公倍數。

例如，12、15和60成倍數關係，即12與15分別是60的約數。

則[12，15，60]=60

如果三個數兩兩互質，其積是它們的最小公倍數。

例如，3、4和5，3和4、3和5，4和5都是互質數。

則[3，4，5]=3×4×5=60.

如果三個數當中只有兩個數是倍數關係，那麼其中較大的數與另外一個數的最小公倍數，就是這三個數的最小公倍數。

例如，8和4是倍數關係，較大數8和3的最小公倍數是24.

則[8，4，3]=24.

(5)翻倍法

當幾個數之間不存在倍數關係或互質關係，要找它們的最小公倍數時，用兩個(或兩個以上)數中較大的那個數依次乘以2、3、4、5……求得“最先積”如果是另一個數(或另幾個數)的倍數時，這個“最先積”就是所求的最小公倍數。

例如，求30、35和70的最小公倍數。

因為70是三個數中較大的數，用70依次去乘以2、3、4……得出積是70×2=140，70×3=210，70×4=280……而210是30、35和70的倍數中的“最先積”，所以

[30，35，70]=210.

(6)用商法

先把兩個數寫成除法的形式，大數作被除數，小數作除數(除數為大於1的自然數)，所得的商寫成最簡分數。這兩個數的.最小公倍數等於被除數乘以商的分母。

例如，求64與48的最小公倍數。

64×3=192

∴[64，48]=192.

(7)口訣法

例如，求18和24的最小公倍數。

乘法口訣：“三六一十八(3×6=18)，四六二十四(4×6=24)”。6是它們的公約數，3和4是互質數。

則[18， 24]=6×3×4=72.

(8)最簡分數法

例如，求84和63的最小公倍數。

寫為真分數，化為最簡分數。原分數的分子(或分母)乘以最簡分數的分母(或分子)。

63×4=252或 3×84=252.

則[84，63]=252.

再如，求36、40和44的最小公倍數。

[36，40]=360.

[44，360]=3960.

則[36，40，44]=3960.

(9)特徵法

例如，求24和30的最小公倍數。

根據24和30能被2整除的特徵，記下2;

再根據都能被3整除，記下3.

2乘3得6，24和30分別除以6商為4、5，4和5互質。則[24，30]=6×4×5=120.

(10)定理法

定理：兩個數的最小公倍數。等於這兩個數的乘積除以它們的最大公約數。

這裏的數都是自然數，即：

此定理的證明對國小教師來講，應予以掌握，以居高臨一般書中介紹的證法不易掌握，這裏給出兩種簡便證法。

證明：?∵(a，b)|b，

∵a|[a，b]，b|[a，b]，

存在正整數m，n，

使[a，b]=am…(1)

[a，b]=bn…(2) [2]

∴ k=1，

[1]數的整除定理3：如果b|a1，那麼b|(a1a2…an)。(n>1)

[2]最小公倍數的性質1：如果[a，b]=m，n是a、b的任意一個公倍數，那麼m|n.

[3]最大公約數的性質2，如果[a，b]=c，那麼(a÷c，b÷c)=1.

(見《算術基礎理論》)

證明：設(a，b)=t，

則a=t·p1，b=t·p2，其中(p1，p2)=1，

則有[a，b]=[t·p1，t·p2]

=t· p1·p2.

例1 求44和64的最小公倍數。

這種方法雖然計算較複雜，但優點是在求兩個數的最小公倍數的同時，複習了求最大公約數。如果習題既要求求兩個數的最大公約數，又要求兩個數的最小公倍數，那就更顯示出其優越性。

例2 a、b的最大公約數是15，最小公倍數是225，求a、b各是多少?

又因(a，b)=15，所以

a=15p1，b=15p2，且(p1，p2)=1，

於是15p1·15p2=225×15，所以

p1·p2=15，其中(p1，p2)=1.

由此得

例3整數a、b之積為9408，它們的最小公倍數是336，求a、b.

因a·b=9408，[a，b]=336及上述定理得

設a=28p1，b=28p2，(p1，p2)=1，於是ab=282·p1·p2=9408，

p1· p2=12，(p1，p2)=1.

由此得

文章摘要：使用正確的解題方法不但可以大大加快解題的速度而且可以提高解題的正確率。為此，數學頻道編輯部整理了一些巧妙的解題方法，以便同學們更好的去學習這些知識。

(11)比例法

把要求最小公倍數的兩個數看作一個比的前項和後項，再將這個比化簡，使其成為一個比例。這個比例內項(或外項)的積，即為所求。

例如，求34與51的最小公倍數。

34∶51=2∶3

則[34，51]=34×3=102.

(12)擴倍法

把最大數擴大到能被另外兩個數整除，擴大的倍數與最大數的積就是要求的最小公倍數。

例如，

∵60×4=240，240÷16=15，240÷24=10，

∴[16，24，60]=60×4=240.

(13)求差取積法

此法分三種情況，這裏分別給出兩種證明方法，第二種證法簡捷。

一、兩個數的差小於減數

先求兩數之差，然後用差作除數，去除減數，再用所得的商乘以被減數，所得的積就是原兩個數的最小公倍數。

例如，求12與15的最小公倍數。

15-12=3，12÷3=4，

15×4=60.

則[12，15]=60.

證法一：(下面的字母都表示自然數)

設兩個數 a、b，a-b=c，且 0<C<B。< p>

如果b÷c=q，則aq=[a，b].

證明：∵ a-b=c，∴a=b+c，

又∵b÷c=q，∴b=c·q，

∴ aq=(b+c)· q=(c· q+c)· q

=(q+1)·cq=(q+1)·b，

∴b|aq.

又∵a|aq，∴aq是a，b的公倍數。

設 m=[a，b]，則aq=km。

∵a|m、ak|mk、ak|ap，∴k| q.

又∵ b|m、bk|mk、bk|aq，即 cq· k|(q+1)· cq，

∴ k|(q+1)，顯然(q，q+1)=1，

∴k=1，

∴ aq=m=[a，b].

證法二：

如果a-b=c，c<B，B÷C=D，< p>

那麼[a，b]=ad.

證明：∵a-b=c，且c<B，< p>

∴a÷b=1(餘c).

又∵b÷c=d，

∴(a，b)=(b，c)=c.(輾轉相除法所依據的兩個定理)

二、兩個數的差大於減數。

若兩個數的差大於減數時，可以先把減數擴大若干倍，使減數接近被減數，然後再按上述方法求出這兩個數的最小公倍數。

例如，求42與105的最小公倍數。

42×2=84 105-84=21

42÷21=2 105×2=210

則[42，105]=210

證法一：

設兩個數 a、b，且 a-b>b，則將b擴大 k倍(k是大於 1的自然數)，使 0

如果b÷c=q，那麼aq=[a，b].

證明：∵ a-kb=c∴ a=kb+c，

∵ b÷C=q∴b=cq，

∴ a=kb+c=kcq+c=(kq+1)· c，

aq=(kq+1)c· q=(kq+1)· cq

=(kq+1)· b，

∴ b|aq.

又∵a|aq，∴aq是a與b的公倍數。

設[a，b]=m，則aq=pm(p是自然數)。

∵a|m、ap|pm、ap|aq、p|q，

b|m、bp|pm、(qc)·p|(kq+1)·cq，

∴ p|(kq+1).

∵(q， kq +1)= 1，∴ p= 1，

∴ aq=pm=[a，b].

證法二：

如果 a-nb=c，c<B，B÷C=D，< p>

那麼[a，b]=ad.

證明：∵ a-nb=c，且 c<B，< p>

∴ a÷b=n(餘 c).

又∵b÷c=d，

∴(a，b)=(b，c)=c.

三、兩個數的差不能整除減數。

如果兩個數的差不能整除減數時，可用差的約數(從大到小試除)作除數，然後再按上述方法求出兩個數的最小公倍數。

例如：求189與135的最小公倍數。

189-135=54∵54 135，

54的約數有 27、18……

∵135÷27=5，

189×5=945，

則[189，135]=945.

如果兩數差等於減數時，這兩個數的最小公倍數是被減數。

證法一：

設兩個數a、b，a-b=c，且c b，c的約數為c1、c2…，cn其中ci是這些約數中能整除b的最大一個。

令b÷ci=q，則aq=[a，b].

證明：設c÷ci=d，則c=cid.

又∵a-b=c，∴a=b+c，

∵ b÷ci=q，∴b=ci·q.

aq=(b+c)·q=(ciq+cid)·q=(q+d)·ciq

=(q+d)· b，

∴ b|aq。又∵ a|aq，∴ aq是a、b的公倍數。

同樣設[a，b]=m，則aq=km.

∵a|m、ak|km、ak|aq，∴k|q，

∵b|m、bk|km、bk|aq，∴ bk|(q+d)·b，

∴k|(q+d).

∵(q，q+d)=1[設q，q+d]≠1，令(q，q+d)=n(n 是大於1的自然數)，那麼

q= n· q1，

q+d=n· q2，

d=nq2-q=nq2-nq1=n(q2-q1)，

∴b=ci· q=ci· nq1，

c=cid=cin(q2-q1)，

∴ cin是c的約數，cin|b且cin>ci.

這與已知ci是c的約數中能整除b的最大一個相矛盾，∴ (q，q+d)= 1.

∴ k=1，∴aq=m=[a，b].

證法二：

如果a-b=c，c<B，(B，C)=D，< p>

b=dm，

那麼[a，b]=am.

證明：∵ a-b=c，且c<B，< p>

∴ a÷b=1(餘c).

又∵(b，c)=d，

∴(a，b)=(b，c)=d.

又∵ b=dm，

(14)巧檢驗兩數最小公倍數

求兩數的最小公倍數是《數的整除》這一單元的重點內容。用這兩個數與它們分解質因數結果互質的兩個數交叉相乘，看所得的積是否等於所求得結果，來判斷這結果是不是它們的最小公倍數。

例如，求32和40的最小公倍數。

[3，40]=160.

檢驗：

由於32×5=160或40×4=160，所以160是32和42的最小公倍數正確。

國小數學難題解法大全之巧妙解題方法（七）

文章摘要：使用正確的解題方法不但可以大大加快解題的速度而且可以提高解題的正確率。為此，數學頻道編輯部整理了一些巧妙的解題方法，以便同學們更好的去學習這些知識。

巧記分數化小數的結果

記熟一些分數化小數的結果，對提高分數、小數四則運算和分數化小數的速度有很大幫助。

0.75，這幾個分數比較常見易記。其他的只要找到竅門，記熟也不難。

分母是5的最簡分數：把分子乘以2，再縮小10倍。

分子是1，分母是大於5的質數，可以用下面的方法：

把分子1化為0.9999……，直到依次把9“除盡”，商便是循環小數。例如：

由於被除數各位上的數都是9，減積時不需要退位，就能使計算比較簡便。

如果分子不是1，可先把分子是1的分數化為循環小數，再乘以原來的分子。例如：

乘以原來的分子得：

(如圖)分子是1，就從這六個數字中 最小的一個起排六個數字;分子是2，就從這六個數字中第二小的一個起排六個數字，依此類推。分母是8的最簡分數：分子是1，小數的第一位也是1;分子是3，小數的第一位也是3。即

分母是9的最簡分數：它的結果都是一個循環小數，循環節的數字和分子的數字相同。

分母是10的最簡分數：把分子縮小10倍即可。

分母是20的最簡分數：把分子擴大5倍，再縮小100倍。

分母是25的最簡分數：把分子擴大4倍，再縮小100倍。

分母是50的最簡分數：把分子擴大2倍，再縮小100倍。

根據分數單位的小數值，用乘法把分數化成小數。比用除法簡捷。

不難發現，這些題的商，全部是循環小數，1÷11的商的循環節是09，2÷11商的循環節是2個9，即18，3÷11商的循環節是3個9，即27……”。這樣，你只要看到題目，根據規律，馬上就可想出它們的商。

例如，7÷11，它的商是循環小數，循環節是7個9，即63。

被除數超過10，可分兩步思考：

第一步是先用口算求出商的整數部分;第二步是再看求出商的整數部分後的餘數是幾，根據餘數寫出商的循環節。

例如，72÷11，先求商的整數部分是6，再看它的餘數是6，可斷定

國小數學難題解法大全之巧妙解題方法（六）

文章摘要：使用正確的解題方法不但可以大大加快解題的速度而且可以提高解題的正確率。為此，數學頻道編輯部整理了一些巧妙的解題方法，以便同學們更好的去學習這些知識。

巧求最大公約數

(1)列舉約數法

例如，求24和36的最大公約數。

顯然(24，36)=12.

(2)分解質因數法

就是先把要求最大公約數的那幾個數分別分解質因數，然後把這幾個數公有的質因數相乘，所得的積就是要求的最大公約數。

例如，求12、18和54的最大公約數。

所以(12，18，54)=2×3=6.

(3)除數相除法(短除法)

就是先用要求最大公約數的那幾個數的公約數連續去除那幾個數，一直除到所得的商只有公約數1為止，再把所有的除數連乘起來，乘得的積就是所求的最大公約數。

例如，求24、60和96的最大公約數。

所以(24、60、96)=2×2×3=12.

(4)應用相除法

就是先用要求最大公約數的那幾個數的公約數連續去除那幾個數，一直除到商只有公約數1為止。然後用被除數除以商。

例如，求36和54的最大公約數。

(5)輾轉相除法

也稱歐幾里得除法。

就是用大數除以小數，如果能整除，小數就是所求的最大公約數;如果不能整除，再用小數除以第一個餘數，如果能整除，第一餘數就是所求的最大公約數;如果不能整除，再用第一個餘數除以第二個餘數，如果能整除，第二個餘數就是所求的最大公約數，如果不能整除，再像上面那樣繼續除下去，直到餘數為0為止，最後的那個除數就是所求的最大公約數。如果最後的除數是1，那麼原來的兩個數是互質數。

例如，求621和851的最大公約數。

則(621，851)=23.

(6)輾轉相減法

在求幾個數的最大公約數時，可從任一大數中減去任意小數的任意倍數，同時作幾個減法。

理論根據：

定理1：如果甲、乙二數的差是乙數，那麼甲、乙二數的最大公約數就是乙數。

即：如果a-b=b，那麼(a，b)=b。(本文字母都是自然數)

證明：∵a-b=b，

∴a=2b，即 b|2b→b|a.

又∵b|b，∴(a，b)=b.

定理2：如果兩個數的差不等於零，那麼這兩個數的最大公約數就是減數與差數的最大公約數。

即：如果a-b=c(a>b)，

那麼(a，b)=(b，c).

可理解為差與小數成倍數關係，差就是所求的最大公約數;如果差與小數不成倍數關係，差與小數的最大公約數就是所求的最大公約數。

∵a-b=c，

因此t是b、c的公約數。

又設(p2，p1-p2)=m(m>1)，則

故(P2，P1-P2)=m不能成立，只能是：(P2，P1-P2)=1。説明t不但是b、c的公約數，而且是最大公約數。即：

(b，c)=t，

∴(a，b)=(b，c).

例如，429-143=286，

∴(429，143)=(143，286).

又∵143|286，

∴(143，286)=143.

因此(429，143)=143.

根據上面的兩個定理求(a，b).

設a>b，

①當 b|a時，則(a，b)=b.

②當b a時，則a-b=p1，即(a，b)=(b，P1).

其中當P1|b時，則(b，P1)=P1.

當P1 b時，則b-P1=P2，即(b，P1)=(P1，P2).

……

照此依次減下去，被減數、減數在逐漸減小，差也隨着相對減小，最後必能得到一個ppn=0。這時pn-1=pn-2，所以(pn-2，pn-1)=pn-1.由此得出：

(a，b)=(b，p1)=(p1，p2)=(p2，p3)=……=(pn-2，pn-1)=pn-1.

這種方法稱輾轉相減法。

實例説明：如21和12。21可以看成是3的7倍，12可看成3的4倍;用3的7倍減去3的4倍一定還是3的倍數，得3的3倍，然後用3的4倍減去3的3倍結果是3的1倍。因此(21，12)=3.

應用中貴在靈活。求解過程中，可隨時截取判斷。

例1 求1105和1547的最大公約數。

1547-1105=422， (1)

1105-422×2=211， (2)

422-221=211， (3)

211-211=0. (4)

沒必要輾轉相減到最後，由式子(2)知221與442成倍數關係，則(1105，1547)=221.

例2 求971和 601的最大公約數。

∵971-601=370， (1)

601-370=231， (2)

370-231=139， (3)

231-139=92， (4)

139-92=47， (5)

……

1-1=0，

∴(971，601)=1.

由(5)式可知(92，47)=1，便可斷定

(971，601)=1.

例3 求27090、21672、11352和8127的最大公約數。

用這種方法約簡分數、判斷互質數等。例略。

(7)小數縮倍法

就是求兩個數的最大公約數時，如果這兩個數不成倍數關係，就把小數依次除以2、3、4……，直到除得的商是較大數的約數為止，那個商就是所求的最大約數。

例如，求45和75的最大公約數。

45÷3=15，15|75，則(45，75)=15.

(8)差除法

如果兩個數的差能整除較小的數，那麼這個差就是這兩個數的最大公約數。

已知a-b=c，且c|b(a>b).

求證(a，b)=c.

證明：由 c|b，設 b=cq.

於是 a=b+c=cq+c=c(q+1).

在a=c(q+1)和b=cq中，

因為(q+1，q)=1，

所以(a，b)=c.

例如，求91和98的最大公約數。

∵ 98-91=7， 7|91，

∴(91，98)=7.

(9)倍差除法

當出現找出的差不能整除小數時，把小數再擴大幾倍，使之略超過大數，用新得的數減去大數的差去除小數。

例4 求112與420的最大公約數。

112×4=448， 448-420=28，

28|112，

則(11，420)=28.

例5 求168與630的最大公約數。

168×4=672， 672-630=42，

42|168，

則(168，630)=42.

能夠這樣解的依據是什麼呢?現證明如下(字母均為自然數)。

如果nb-a=c，c<B

那麼(a，b)=c.

證明：設t是a，b的公約數，則t|a，t|b，

∴nb-a=c，且c<B

∵t|nb，t|c，

因此，a，b的公約數一定是b、c的公約數。

同理也可證明b、c的公約數一定是a、b的公約數。所以a、b的最大公約數等於b、c的最大公約數。即：

(a，b)=(b，c).

又∵c|b，

∴(a，b)=(b，c)=c.

或用差的從大到小的因數試除。

例6 求161和115的最大公約數。

161-115=46.

∵46 115，

而23|115，

∴(161，115)=23.

例7 求95和152的最大公約數。

∵ 95×2-152=38，

且38 95，

但19|95，

∴(95，152)=19.

這種方法，也適用於求三個以上數的最大公約數。

例8 求217，62和93的最大公約數，

因為217-62-93=62，

且31|62、31|93，

所以(217，62，93)=31.

例9求 418、494和 589的最大公約數。

因為494-418=76，76 418，

418-(76×5)=38，38|76，

則(418，494)=38.

而589-(38×15)=19，19|38，

所以(418，494，589)=19.

例10 判斷255和182是否互質。

255-182=73，73 182，

182-(73×2)=36，36 73，

而73-(36×2)=1，

所以(255，182)=1，即為互質數。

4862-2618=2244，

2618-2244=374，374|2244，

(10)分數法

把求最大公約數的兩個數，寫為真分數，逐次約成最簡分數。原分數的分子(或分母)除以最簡分數的分子(或分母)，商就是最大公約數。

例如，求24、30和36的最大公約數。

則(2430)=6.

則(6，36)=6.

所以(24，30，36)=6.

(11)用商法

例如，求64與48的最大公約數。

先把兩個數寫成除法的形式，大數作被除數，小數作除數(除數為大於1的自然數)。所得的商寫成最簡分數。

這兩個數的最大公約數等於除數除以商的分母。即：48÷3=16，∴(64，48)=16.

如果，兩個數相除，商為整數，那麼，這兩個數的最大公約數是除數。

這種方法也適用於求兩個以上的數的最大公約數。例如，求36、30和20的最大公約數。

所以(36，30，20)=2.

(12)利用等式關係

利用(am，bm)=m(a，b)。

例如，求36與54的最大公約數。

(36，54)=(18×2，18×3)

=18(2，3)=18.

利用(an，bn)=(a，b)n.

例如，求64與216的最大公約數。

(64，216)=(43，63)

=(4，6)3=23=8.

利用若(a，b)=1，則(ac，b)=(c，b).

例1 求46與253的最大公約數。

(46，253)=(46，11×23)

=(46，23)=23.

例2 求12，286的最大公約數。

(12，286)=2(6，143)

=2(6，11×13)=2(6，13)=2.

例3 求245、315和560的最大公約數。

(245，315，560)=5(49，63，112)

=5(49， 63， 28×4)=5(49，63，28)

=5×7(7，9，4)=35.

(13)口訣查找法

就是用乘法口訣對照求最大公約數的那幾個數，看哪個因數是求最大公約數的那幾個數的約數，再進一步判斷那個公約數是不是所求的最大公約數。

例如，求56和72的最大公約數。

看56與72，立即想到乘法口訣“七八五十六”與“八九七十二”。8是56與72的公約數，56的另一個約數7與72的另一個約數9成互質數，所以公約數8就是56與72的最大公約數。

(14)特徵心算法

根據求最大公約數的那幾個數所具有的能被某些數整除的特徵確定。

例如，求24和30的最大公約數。

根據24和30能同時被2整除的特徵，記下2;

再根據24和30還能同時被3整除，記下3;

由2乘3得6，24與30分別除以6的商分別是4與5，4與 5互質，則(24，30)=6.

國小數學難題解法大全之巧妙解題方法（五）

文章摘要：使用正確的解題方法不但可以大大加快解題的速度而且可以提高解題的正確率。為此，數學頻道編輯部整理了一些巧妙的解題方法，以便同學們更好的去學習這些知識。

巧判斷能被4、6、8、9、7、11、13、17、19、23、25、99、125、273約的數

能被4約：末尾兩位數是0或能被4約的數。例如36900，987136。

能被6約：既能被2約又能被3約的數。例如114，914860。

能被8約：末三位是0或能被8約的數。例如321000，5112。

能被9約：能被9整除的準則以下列的事實為基礎，即在十進系統中，1以後帶幾個零的數(即10的任何次冪)在被9除時必然得出餘數1。實際上，

第一項都是由9組成的，顯然能被9整除。因此，10n被9除時必然得餘數1。

然後，我們再看任意的數，例如4351。一千被9除得餘數1，於是四千被9除得餘數4。同樣，三百被9除得餘數3，五十被9除得餘數5，還餘下個位數1。因而，

4351=能被9整除的某一個數+4+3+5+1

如果“尾數”4+3+5+1(它是該數的各位數字之和)能被9整除，那麼，整個數也能被9整除。因而可得到結論：如果某一個數的“各位數字的和”能被9整除，那麼這個數也能被9整除。例如 111222，8973。

9的倍數除以9，其商有如下特點：

被除數是兩位數，商是被除數尾數的補數，即補足10的數。

例如 63÷9=7，3的補數是7。

被除數是三位數，商首同尾互補。

例如

被除數是四位數，商的中間數字是被除數前兩位數字之和。

被除數是五、六位數……原理同上。商的第二位數字是被除數前兩位數字之和，第三位數字是被除數前三位數字的和……

能被7約∶70以內的兩位數能否被7約一目瞭然，大於70的兩位數只要減去70也就一清二楚了。

三位數，只要把百位數字乘以2加餘下約數，和能被7約這三個數就能被7約。例如812，

(8×2+12)÷7=4。

百位數字乘以2，是因為100除以7得商14餘2，即每個100餘2，把它放到十位數裏。

四位數，只要在百位數的計算方法上減去千位數字。因為1001能被7約，即1000要能被7約還缺1，有幾個1000應減去幾。例如1820，

(8×2+20-1)÷7=5。

能被11約：

奇偶位數差法：一個數奇位上的數字和與偶位上的數字和的差(大數減小數)是0或11的倍數的數。

例1 3986576

(6+5+8+3)-(7+6+9)

=22-22=0，

則11|3986576。

例2 9844

(9+4)-(8+4)

=13-12=1，

則 11 9844。

小節法：把判斷數從個位起每兩位分成一小節，最後的不足兩位數也當作一節。只要看各小節之和是否有約數9或11。

例3 2879503

03+95+87+2

=187=11×17，

即11| 2879503。

例4 1214159265

65+92+15+14+12

=198=2×9×11，

即9|1214159265，11|1214159265。

能被7或11或13約的數一次性判斷法：

那麼要判別N能否被7或11或13約，只須判別A與B(或B與A)的差能否被7或11或13約。

證明：因為1000=7×11×13-1

10002=(7×11×13-1)2

=7×11×13的倍數+1

10003=7×11×13的倍數-1

……

例 5 987198719871

由 A-B=(871+198)-(719+987)

=1069-1706，

知 B-A=637=72×13。

即能被7和13約，不能被11約。

例6 21203547618

由(618+203)-(547+21)

=253=11×23，

知原數能被11約，不能被7或13約。

若其差為0，則這個數必能同時被7、11、13約。

例如 8008 8-8=0，

則8008÷7=1144，8008÷11=728，

8008÷13=616。

能被17約：

(1)末兩位數與以前的數字組成的數的2倍之差數(或反過來)能被17約的數;

(2)末三位數與以前的數字組成的數的3倍之差數(或反過來)能被17約的數;

(3)末三位數的6倍與以前的數字組成的數之差數(或反過來)能被17約的數。

例如，31897168

由(1)得318971×2-68=637874，

重複四次得 170，17|170，

故知 17|31897168。

由(2)得 31897×3-168=95523，

523-95× 3=238，

17|238，故知17|31897168。

由(3)得31897-163×6=30889，

再由(2)889-30×3=799，

最後由(1)99-7×2=85，

17|85，則 17|31897168。

能被19約：

(1)末三位數的3倍與以前的數字組成的數的2倍之差(或反過來)能被19約的數;

(2)末兩位數的2倍與以前的數字組成的數的9倍之差(或反過來)能被19約的數;

(3)末三位數的11倍與以前的數字組成的數之差(或反過來)能被19約的數。

例如，742050833

由(3)得742050-833×11=732887，

再由(1)887×3-732×2=1197，

最後由(2)97×2-11×9=95，

19|95，則19|742050833。

能被23約：

(1)末三位數的2倍與以前的數字組成的數之差能被23約的數;

(2)末兩位數的2倍與以前的數字組成的數的7倍之差能被23約的數。

例如，542915

由(1)得915×2-542=1288，

288×2-1=575，

23|575，則23|542915。

由(2)5429×7-15×2=37973，

379×7-73×2=2507，

25×7-7×2=161，

23|161，則23|542915。

能被25約：

末兩位數是00、25、50、75的自然數。

能被99約：

可同時被3與33或9與11約的自然數。

能被99各因數約：

把被判斷的數從個位起，每兩位分成一段，各段數之和能被各因數的某一因數約，這個數就能被這個因數約。

證明：設這個數 N=a0+a1·10+a2·102+a3·103+a4·104+a5·105+……

因為99×(a3a2+101×a5a4+……)能被99的因數33、11、9、3約。

所以當(a1a0+a3a2+a5a4+……)能被33、11、9、3約時，N也能被這四個數約。當N是奇位數時，仍然成立。

例7 4326321

4+32+63+21=120，

3|120，則3|4326321。

例8 84564

8+45+64=117，

9|117，則 9|84564。

例9 493526

49+35+26=110，

11|110，則11|493526。

例10 18270945

18+27+09+45=99，

33|99，則33|18270945。

能被273約：

根據定理：若c|b、c a、則b a。

例如，判別272452654能否被273整除。

3|273，3 272452654，

則 273 272452654。

若判斷36786360能否被24約，根據定理：

若b|a，c|a，(b，c)=1，

則其 bc|a。

因為24=3×8，(3，8)=1，

3|36786360，8|36786360，

所以 24|36786360。

同理，因為132=3×4×11，

(3，4，11)=1，

而3、4、11能分別約992786256，

則132|992786256。