數學難題解法大全之分析推理問題
【圖形判斷】
例1 如圖5.59,每層樓有三個窗户,由左向右表示一個三位數。四個樓層表示的三位數有:791,275,362,612。問:
第二層樓表示哪個三位數?(全國第四屆“華盃賽”初賽試題)
講析:每個窗户代表一個數字符號,而給出的四個數中,362和612的個位數字相同,第二、四層樓右邊窗户符號相同,從而可以肯定,這兩層樓的窗户分別代表362和612。在這兩個數中又都含有6,對照第二、四層窗户,第二層左邊的窗户和第四層中間的窗户符號相同,於是可推斷出第二層樓表示612。
例2 一名間諜在他所追蹤的人撥電話時,隨着撥號盤轉回的聲音,用鉛筆以同樣的速度在紙上畫線。他畫出的6條線如圖5.96。
他很快就知道了那人撥的電話號碼。請你説説間諜是如何知道的?這個電話號碼是多少?(可以用尺量線段的長度)
(第五屆《從小愛數學》邀請賽試題)
講析:從電話撥盤上可以看出,撥1時,畫出的線段最短。撥0時,畫出的線段最長。
由於六位號碼數各不相同(畫線長短不一),因此其中必有兩個數字是相鄰的。
用直尺量一下6條線段的長度,其中最接近的兩條線段長度之差,就是自然數增加“1”的長度。
量得第一、二條線段相差0.8釐米,而第五條線段與第三條相差7.2釐米。
由7.2÷0.8=9,可知最長的線段必代表0,最短的線段代表1。
再將每條線段的長度減去第三條線段“1”的長度,然後除以0.8,即可求出每條線段代表的數字。
所以,電話號碼是651803。
【計算推理】
例1 4只同樣的瓶子內分別裝有一定數量的油。每瓶和其它各瓶分別合稱一次,記錄千克數如下:8、9、10、11、12、13。已知4個空瓶的重量之和以及油的重量之和均為質數,問最重的兩瓶內有多少千克油?
(第五屆《從小愛數學》邀請賽試題)
講析:4瓶油連瓶共重(8+9+10+11+12+13)÷3=21(千克)。
油的總重量與瓶的總重量均為質數,所以它們必為一奇一偶數。而質數中是偶數的只有2。
稍作分析便得到油重19千克,瓶重1/2千克。
則最重的兩瓶油為13-1/2×2=12(千克)。
例2 主人對客人説:“院子裏有三個小孩,他們的年齡之積是72,年齡之和恰好是我家的`樓層號,樓號你是知道的。你能説出三個小孩的年齡嗎?”客人想了一下説:“我還不能確定答案。”於是,客人站起來,走到窗前,看看樓下的三個小孩,有一個較大,另兩個較小。客人説:“我知道他們的年齡了。”
請問:主人家的樓號是______,孩子的年齡是______。
(唐山市第四屆國小數學競賽試題)
講析:因小孩的年齡一般在15歲以下,可將72分為三個小於15的自然數之積:
72=1×6×12=1×8×9
=2×3×12=2×4×9
=2×6×6=3×3×8
=3×4×6。
以上七種分法,每組中三個因數之和分別是19、18、17、15、14、14、13。
如果樓號不是14號,則客人立即可作出判斷主人的樓號與小孩年齡。而客人無法判斷,這説明樓號正是14,即三個孩子年齡之和是14。此時三個孩子的年齡為2、6、6或者3、3、8。
當看到有兩個孩子很小時,就可以得出三個小孩的年齡分別為3歲、3歲和8歲。
例 3 A、B、C、D、E五人在一次滿分為100分的考試中,得分都是大於91分的整數。如果A、B、C的平均分為95分,B、C、D的平均分為94分;A是第一名;E是第3名得96分,那麼D得______分。
(1992年全國國小數學奧林匹克決賽試題)
講析:如果B是第二名,或者並列第一名,由於E是第三名得96分,所以A、B的得分都應不少於97分。而A、B、C的平均分為95分,則C最多為91分,與題目條件矛盾。所以,B不是第二名;同樣C也不是第二名。
因此,D是第二名。B、C、D的平均分比A、B、C的平均分少1分,所以A比D多3分。
即,A得100分,D得97分。
例4 某次考試有52人蔘加,共考5道題,每題做錯的人數統計如下:
每人都至少做對一道題,做對一道題的有7人,5道題全對的有6人,做對2道題和3道題的人數一樣多,那麼做對4道題的人數是______人。
(1993年全國國小數學奧林匹克總決賽第一試試題)
講析:52人考試,每人五道題,共計
5×52=260(道)。
其中做錯題 4+6+10+20+39=79(道)。所以52人共做對題目 260—79=181(道)。
設做對4道題的有a人,則做對2道題的有:
即 a=31。
故,做對4道題的有31人。
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