國小數學難題解法大全之如何巧妙解題方法

巧記分數化小數的結果

記熟一些分數化小數的結果，對提高分數、小數四則運算和分數化小數的速度有很大幫助。

0.75，這幾個分數比較常見易記。其他的只要找到竅門，記熟也不難。

分母是5的最簡分數：把分子乘以2，再縮小10倍。

分子是1，分母是大於5的質數，可以用下面的方法：

把分子1化為0.9999……，直到依次把9“除盡”，商便是循環小數。例如：

由於被除數各位上的數都是9，減積時不需要退位，就能使計算比較簡便。

如果分子不是1，可先把分子是1的分數化為循環小數，再乘以原來的分子。例如：

乘以原來的分子得：

(如圖)分子是1，就從這六個數字中 最小的一個起排六個數字;分子是2，就從這六個數字中第二小的一個起排六個數字，依此類推。分母是8的最簡分數：分子是1，小數的第一位也是1;分子是3，小數的第一位也是3。即

分母是9的最簡分數：它的結果都是一個循環小數，循環節的數字和分子的數字相同。

分母是10的最簡分數：把分子縮小10倍即可。

分母是20的最簡分數：把分子擴大5倍，再縮小100倍。

分母是25的最簡分數：把分子擴大4倍，再縮小100倍。

分母是50的最簡分數：把分子擴大2倍，再縮小100倍。

根據分數單位的小數值，用乘法把分數化成小數。比用除法簡捷。

不難發現，這些題的商，全部是循環小數，1÷11的商的循環節是09，2÷11商的循環節是2個9，即18，3÷11商的循環節是3個9，即27……”。這樣，你只要看到題目，根據規律，馬上就可想出它們的商。

例如，7÷11，它的商是循環小數，循環節是7個9，即63。

被除數超過10，可分兩步思考：

第一步是先用口算求出商的整數部分;第二步是再看求出商的整數部分後的餘數是幾，根據餘數寫出商的循環節。

例如，72÷11，先求商的整數部分是6，再看它的餘數是6，可斷定

國小數學難題解法大全之巧妙解題方法（六）

文章摘要：使用正確的解題方法不但可以大大加快解題的速度而且可以提高解題的正確率。為此，數學頻道編輯部整理了一些巧妙的解題方法，以便同學們更好的去學習這些知識。

巧求最大公約數

(1)列舉約數法

例如，求24和36的最大公約數。

顯然(24，36)=12.

(2)分解質因數法

就是先把要求最大公約數的那幾個數分別分解質因數，然後把這幾個數公有的質因數相乘，所得的積就是要求的最大公約數。

例如，求12、18和54的最大公約數。

所以(12，18，54)=2×3=6.

(3)除數相除法(短除法)

就是先用要求最大公約數的那幾個數的公約數連續去除那幾個數，一直除到所得的商只有公約數1為止，再把所有的除數連乘起來，乘得的積就是所求的最大公約數。

例如，求24、60和96的最大公約數。

所以(24、60、96)=2×2×3=12.

(4)應用相除法

就是先用要求最大公約數的那幾個數的公約數連續去除那幾個數，一直除到商只有公約數1為止。然後用被除數除以商。

例如，求36和54的最大公約數。

(5)輾轉相除法

也稱歐幾里得除法。

就是用大數除以小數，如果能整除，小數就是所求的最大公約數;如果不能整除，再用小數除以第一個餘數，如果能整除，第一餘數就是所求的最大公約數;如果不能整除，再用第一個餘數除以第二個餘數，如果能整除，第二個餘數就是所求的最大公約數，如果不能整除，再像上面那樣繼續除下去，直到餘數為0為止，最後的那個除數就是所求的最大公約數。如果最後的除數是1，那麼原來的兩個數是互質數。

例如，求621和851的最大公約數。

則(621，851)=23.

(6)輾轉相減法

在求幾個數的最大公約數時，可從任一大數中減去任意小數的任意倍數，同時作幾個減法。

理論根據：

定理1：如果甲、乙二數的差是乙數，那麼甲、乙二數的最大公約數就是乙數。

即：如果a-b=b，那麼(a，b)=b。(本文字母都是自然數)

證明：∵a-b=b，

∴a=2b，即 b|2b→b|a.

又∵b|b，∴(a，b)=b.

定理2：如果兩個數的差不等於零，那麼這兩個數的最大公約數就是減數與差數的最大公約數。

即：如果a-b=c(a>b)，

那麼(a，b)=(b，c).

可理解為差與小數成倍數關係，差就是所求的最大公約數;如果差與小數不成倍數關係，差與小數的最大公約數就是所求的最大公約數。

∵a-b=c，

因此t是b、c的公約數。

又設(p2，p1-p2)=m(m>1)，則

故(P2，P1-P2)=m不能成立，只能是：(P2，P1-P2)=1。説明t不但是b、c的公約數，而且是最大公約數。即：

(b，c)=t，

∴(a，b)=(b，c).

例如，429-143=286，

∴(429，143)=(143，286).

又∵143|286，

∴(143，286)=143.

因此(429，143)=143.

根據上面的兩個定理求(a，b).

設a>b，

①當 b|a時，則(a，b)=b.

②當b a時，則a-b=p1，即(a，b)=(b，P1).

其中當P1|b時，則(b，P1)=P1.

當P1 b時，則b-P1=P2，即(b，P1)=(P1，P2).

……

照此依次減下去，被減數、減數在逐漸減小，差也隨着相對減小，最後必能得到一個ppn=0。這時pn-1=pn-2，所以(pn-2，pn-1)=pn-1.由此得出：

(a，b)=(b，p1)=(p1，p2)=(p2，p3)=……=(pn-2，pn-1)=pn-1.

這種方法稱輾轉相減法。

實例説明：如21和12。21可以看成是3的7倍，12可看成3的4倍;用3的7倍減去3的4倍一定還是3的倍數，得3的3倍，然後用3的4倍減去3的3倍結果是3的1倍。因此(21，12)=3.

應用中貴在靈活。求解過程中，可隨時截取判斷。

例1 求1105和1547的最大公約數。

1547-1105=422， (1)

1105-422×2=211， (2)

422-221=211， (3)

211-211=0. (4)

沒必要輾轉相減到最後，由式子(2)知221與442成倍數關係，則(1105，1547)=221.

例2 求971和 601的最大公約數。

∵971-601=370， (1)

601-370=231， (2)

370-231=139， (3)

231-139=92， (4)

139-92=47， (5)

……

1-1=0，

∴(971，601)=1.

由(5)式可知(92，47)=1，便可斷定

(971，601)=1.

例3 求27090、21672、11352和8127的最大公約數。

用這種方法約簡分數、判斷互質數等。例略。

(7)小數縮倍法

就是求兩個數的最大公約數時，如果這兩個數不成倍數關係，就把小數依次除以2、3、4……，直到除得的商是較大數的約數為止，那個商就是所求的最大約數。

例如，求45和75的最大公約數。

45÷3=15，15|75，則(45，75)=15.

(8)差除法

如果兩個數的差能整除較小的數，那麼這個差就是這兩個數的最大公約數。

已知a-b=c，且c|b(a>b).

求證(a，b)=c.

證明：由 c|b，設 b=cq.

於是 a=b+c=cq+c=c(q+1).

在a=c(q+1)和b=cq中，

因為(q+1，q)=1，

所以(a，b)=c.

例如，求91和98的最大公約數。

∵ 98-91=7， 7|91，

∴(91，98)=7.

(9)倍差除法

當出現找出的差不能整除小數時，把小數再擴大幾倍，使之略超過大數，用新得的數減去大數的差去除小數。

例4 求112與420的最大公約數。

112×4=448， 448-420=28，

28|112，

則(11，420)=28.

例5 求168與630的最大公約數。

168×4=672， 672-630=42，

42|168，

則(168，630)=42.

能夠這樣解的依據是什麼呢?現證明如下(字母均為自然數)。

如果nb-a=c，c<B

那麼(a，b)=c.

證明：設t是a，b的公約數，則t|a，t|b，

∴nb-a=c，且c<B

∵t|nb，t|c，

因此，a，b的公約數一定是b、c的公約數。

同理也可證明b、c的公約數一定是a、b的公約數。所以a、b的最大公約數等於b、c的最大公約數。即：

(a，b)=(b，c).

又∵c|b，

∴(a，b)=(b，c)=c.

或用差的從大到小的因數試除。

例6 求161和115的最大公約數。

161-115=46.

∵46 115，

而23|115，

∴(161，115)=23.

例7 求95和152的最大公約數。

∵ 95×2-152=38，

且38 95，

但19|95，

∴(95，152)=19.

這種方法，也適用於求三個以上數的最大公約數。

例8 求217，62和93的最大公約數，

因為217-62-93=62，

且31|62、31|93，

所以(217，62，93)=31.

例9求 418、494和 589的最大公約數。

因為494-418=76，76 418，

418-(76×5)=38，38|76，

則(418，494)=38.

而589-(38×15)=19，19|38，

所以(418，494，589)=19.

例10 判斷255和182是否互質。

255-182=73，73 182，

182-(73×2)=36，36 73，

而73-(36×2)=1，

所以(255，182)=1，即為互質數。

4862-2618=2244，

2618-2244=374，374|2244，

(10)分數法

把求最大公約數的兩個數，寫為真分數，逐次約成最簡分數。原分數的分子(或分母)除以最簡分數的分子(或分母)，商就是最大公約數。

例如，求24、30和36的最大公約數。

則(2430)=6.

則(6，36)=6.

所以(24，30，36)=6.

(11)用商法

例如，求64與48的最大公約數。

先把兩個數寫成除法的形式，大數作被除數，小數作除數(除數為大於1的自然數)。所得的商寫成最簡分數。

這兩個數的最大公約數等於除數除以商的分母。即：48÷3=16，∴(64，48)=16.

如果，兩個數相除，商為整數，那麼，這兩個數的最大公約數是除數。

這種方法也適用於求兩個以上的數的最大公約數。例如，求36、30和20的最大公約數。

所以(36，30，20)=2.

(12)利用等式關係

利用(am，bm)=m(a，b)。

例如，求36與54的最大公約數。

(36，54)=(18×2，18×3)

=18(2，3)=18.

利用(an，bn)=(a，b)n.

例如，求64與216的最大公約數。

(64，216)=(43，63)

=(4，6)3=23=8.

利用若(a，b)=1，則(ac，b)=(c，b).

例1 求46與253的最大公約數。

(46，253)=(46，11×23)

=(46，23)=23.

例2 求12，286的最大公約數。

(12，286)=2(6，143)

=2(6，11×13)=2(6，13)=2.

例3 求245、315和560的最大公約數。

(245，315，560)=5(49，63，112)

=5(49， 63， 28×4)=5(49，63，28)

=5×7(7，9，4)=35.

(13)口訣查找法

就是用乘法口訣對照求最大公約數的那幾個數，看哪個因數是求最大公約數的那幾個數的約數，再進一步判斷那個公約數是不是所求的最大公約數。

例如，求56和72的最大公約數。

看56與72，立即想到乘法口訣“七八五十六”與“八九七十二”。8是56與72的公約數，56的另一個約數7與72的另一個約數9成互質數，所以公約數8就是56與72的最大公約數。

(14)特徵心算法

根據求最大公約數的那幾個數所具有的能被某些數整除的特徵確定。

例如，求24和30的最大公約數。

根據24和30能同時被2整除的特徵，記下2;

再根據24和30還能同時被3整除，記下3;

由2乘3得6，24與30分別除以6的商分別是4與5，4與 5互質，則(24，30)=6.

國小數學難題解法大全之巧妙解題方法（五）

文章摘要：使用正確的解題方法不但可以大大加快解題的速度而且可以提高解題的正確率。為此，數學頻道編輯部整理了一些巧妙的解題方法，以便同學們更好的去學習這些知識。

巧判斷能被4、6、8、9、7、11、13、17、19、23、25、99、125、273約的數

能被4約：末尾兩位數是0或能被4約的數。例如36900，987136。

能被6約：既能被2約又能被3約的數。例如114，914860。

能被8約：末三位是0或能被8約的數。例如321000，5112。

能被9約：能被9整除的準則以下列的事實為基礎，即在十進系統中，1以後帶幾個零的數(即10的任何次冪)在被9除時必然得出餘數1。實際上，

第一項都是由9組成的，顯然能被9整除。因此，10n被9除時必然得餘數1。

然後，我們再看任意的數，例如4351。一千被9除得餘數1，於是四千被9除得餘數4。同樣，三百被9除得餘數3，五十被9除得餘數5，還餘下個位數1。因而，

4351=能被9整除的某一個數+4+3+5+1

如果“尾數”4+3+5+1(它是該數的各位數字之和)能被9整除，那麼，整個數也能被9整除。因而可得到結論：如果某一個數的“各位數字的和”能被9整除，那麼這個數也能被9整除。例如 111222，8973。

9的倍數除以9，其商有如下特點：

被除數是兩位數，商是被除數尾數的補數，即補足10的數。

例如 63÷9=7，3的補數是7。

被除數是三位數，商首同尾互補。

例如

被除數是四位數，商的中間數字是被除數前兩位數字之和。

被除數是五、六位數……原理同上。商的第二位數字是被除數前兩位數字之和，第三位數字是被除數前三位數字的和……

能被7約∶70以內的兩位數能否被7約一目瞭然，大於70的兩位數只要減去70也就一清二楚了。

三位數，只要把百位數字乘以2加餘下約數，和能被7約這三個數就能被7約。例如812，

(8×2+12)÷7=4。

百位數字乘以2，是因為100除以7得商14餘2，即每個100餘2，把它放到十位數裏。

四位數，只要在百位數的計算方法上減去千位數字。因為1001能被7約，即1000要能被7約還缺1，有幾個1000應減去幾。例如1820，

(8×2+20-1)÷7=5。

能被11約：

奇偶位數差法：一個數奇位上的數字和與偶位上的數字和的差(大數減小數)是0或11的倍數的數。

例1 3986576

(6+5+8+3)-(7+6+9)

=22-22=0，

則11|3986576。

例2 9844

(9+4)-(8+4)

=13-12=1，

則 11 9844。

小節法：把判斷數從個位起每兩位分成一小節，最後的不足兩位數也當作一節。只要看各小節之和是否有約數9或11。

例3 2879503

03+95+87+2

=187=11×17，

即11| 2879503。

例4 1214159265

65+92+15+14+12

=198=2×9×11，

即9|1214159265，11|1214159265。

能被7或11或13約的數一次性判斷法：

那麼要判別N能否被7或11或13約，只須判別A與B(或B與A)的差能否被7或11或13約。

證明：因為1000=7×11×13-1

10002=(7×11×13-1)2

=7×11×13的倍數+1

10003=7×11×13的倍數-1

……

例 5 987198719871

由 A-B=(871+198)-(719+987)

=1069-1706，

知 B-A=637=72×13。

即能被7和13約，不能被11約。

例6 21203547618

由(618+203)-(547+21)

=253=11×23，

知原數能被11約，不能被7或13約。

若其差為0，則這個數必能同時被7、11、13約。

例如 8008 8-8=0，

則8008÷7=1144，8008÷11=728，

8008÷13=616。

能被17約：

(1)末兩位數與以前的數字組成的數的2倍之差數(或反過來)能被17約的數;

(2)末三位數與以前的數字組成的數的3倍之差數(或反過來)能被17約的數;

(3)末三位數的6倍與以前的數字組成的數之差數(或反過來)能被17約的數。

例如，31897168

由(1)得318971×2-68=637874，

重複四次得 170，17|170，

故知 17|31897168。

由(2)得 31897×3-168=95523，

523-95× 3=238，

17|238，故知17|31897168。

由(3)得31897-163×6=30889，

再由(2)889-30×3=799，

最後由(1)99-7×2=85，

17|85，則 17|31897168。

能被19約：

(1)末三位數的3倍與以前的數字組成的數的2倍之差(或反過來)能被19約的'數;

(2)末兩位數的2倍與以前的數字組成的數的9倍之差(或反過來)能被19約的數;

(3)末三位數的11倍與以前的數字組成的數之差(或反過來)能被19約的數。

例如，742050833

由(3)得742050-833×11=732887，

再由(1)887×3-732×2=1197，

最後由(2)97×2-11×9=95，

19|95，則19|742050833。

能被23約：

(1)末三位數的2倍與以前的數字組成的數之差能被23約的數;

(2)末兩位數的2倍與以前的數字組成的數的7倍之差能被23約的數。

例如，542915

由(1)得915×2-542=1288，

288×2-1=575，

23|575，則23|542915。

由(2)5429×7-15×2=37973，

379×7-73×2=2507，

25×7-7×2=161，

23|161，則23|542915。

能被25約：

末兩位數是00、25、50、75的自然數。

能被99約：

可同時被3與33或9與11約的自然數。

能被99各因數約：

把被判斷的數從個位起，每兩位分成一段，各段數之和能被各因數的某一因數約，這個數就能被這個因數約。

證明：設這個數 N=a0+a1·10+a2·102+a3·103+a4·104+a5·105+……

因為99×(a3a2+101×a5a4+……)能被99的因數33、11、9、3約。

所以當(a1a0+a3a2+a5a4+……)能被33、11、9、3約時，N也能被這四個數約。當N是奇位數時，仍然成立。

例7 4326321

4+32+63+21=120，

3|120，則3|4326321。

例8 84564

8+45+64=117，

9|117，則 9|84564。

例9 493526

49+35+26=110，

11|110，則11|493526。

例10 18270945

18+27+09+45=99，

33|99，則33|18270945。

能被273約：

根據定理：若c|b、c a、則b a。

例如，判別272452654能否被273整除。

3|273，3 272452654，

則 273 272452654。

若判斷36786360能否被24約，根據定理：

若b|a，c|a，(b，c)=1，

則其 bc|a。

因為24=3×8，(3，8)=1，

3|36786360，8|36786360，

所以 24|36786360。

同理，因為132=3×4×11，

(3，4，11)=1，

而3、4、11能分別約992786256，

則132|992786256。

國小數學難題解法大全之巧妙解題方法（四）

文章摘要：使用正確的解題方法不但可以大大加快解題的速度而且可以提高解題的正確率。為此，數學頻道編輯部整理了一些巧妙的解題方法，以便同學們更好的去學習這些知識。

巧化歸

將某一問題化歸為另一問題，將某些已知條件或數量關係化歸為另外的條件或關係，變難為易，變複雜為簡單。

例1 甲乙兩工程隊分段修築一條公路，甲每天修12米，乙每天修10米。如果乙隊先修2天，然後兩隊一起修築，問幾天後甲隊比乙隊多修築10米?

此題具有與追及問題類似的數量關係：甲每天修築12米，相當於甲的“速度”;乙每天修築10米，相當於乙的“速度”，乙隊先修2天，就是乙先修10×2=20(米)，又要甲比乙多修10米，相當於追及“距離”是20+10=30(米)。

由此可用追及問題的思維方法解答，即

追及“距離”÷“速度”差=追及時間

↓ ↓ ↓

(10×2+10)÷(12-10)=15(天)

例2 大廳裏有兩種燈，一種是上面1個大燈球下綴2個小燈球，另一種是上面1個大燈球下綴4個小燈球，大燈球共360個，小燈球共有1200個。問大廳裏兩種燈各有多少盞?

本題若按一般思路解答起來比較困難，若歸為“雞兔問題”解答則簡便易懂。

把1個大燈球下綴2個小燈球看成雞，把1個大燈球下綴4個小燈球看成免。那麼，1個大燈球綴2個小燈球的盞數為：

(360×4-1200)÷(4-2)=120(盞)

1個大燈球下綴4個小燈球的盞數為：

360-120=240(盞)

或(1200-2×360)÷(4-2)=240(盞)

例3 某人加工一批零件，每小時加工4件，完成任務時比預定時間晚2小時，若每小時加工6件，就可提前1小時完工。問預定時間幾小時?這批零件共有多少件?

根據題意，在預定時間內，每小時加工4件，則還有(4×2)件未加工完，若每小時加工6件，則超額(“不定”)(6×1)件。符合《盈虧問題》條件。

在算術中，一定人數分一定物品，每人分的少則有餘(盈)，每人分的多則不足(虧)，這類問題稱盈虧問題。其算法是：

人數=(盈餘+不足)÷分差(即兩次每人分物個數之差)。

物品數=每人分得數×人數。

若兩次分得數皆盈或皆虧，則

人數=兩盈(虧)之差÷分差。

故有解：

零件總數：4×7+4×2=36(件)

或 6×7-6×1=36(件)

例4 一列快車從甲站開到乙站需要10小時，一列慢車由乙站開到甲站需要15小時。兩輛車同時從兩站相對開出，相遇時，快車比慢車多行120千米，兩站間相距多少千米?

按“相遇問題”解是比較困難的，轉化成為“工程問題”則能順利求解。

快車每小時比慢車多行120÷6=20(千米)

例5 甲乙二人下棋，規定甲勝一盤得3分，乙勝一盤得2分。如果他們共下10盤，而且兩人得分相等，問乙勝了幾盤?

此題，看起來好像非要用方程解不可，其實它也可以用“工程問題”來解，把它化歸為工程問題：“一件工作，甲獨做3天完成，乙獨做2天完成。如果兩人合做完成這樣的10件工作，乙做了幾件?

例6 小前和小進各有拾元幣壹元幣15張，且知小前拾元幣張數等於小進壹元幣張數，小前壹元幣張數等於小進拾元幣張數，又小前比小進多63元。問小前和小進有拾元幣壹元幣各多少張?

本題的人民幣問題可看作是兩位的倒轉數問題，由兩位數及其倒轉數性質2知，小前的拾元幣與壹元幣張數差為63÷9=7，故

小前拾元幣為(15+7)÷2=11(張)，壹元幣為15-11=4(張)。

小進有拾元幣4張，壹元幣11張。

巧求加權平均數

例7 某班上山採藥。15名女生平均每人採2千克，10名男生平均每人採3千克，這個班平均每人採多少千克?此題屬加權平均數問題。一般解法：

=3-0.6=2.4(千克)

這種計算方法迅速、準確、便於心算。

算理是：設同類量a份和b份，a份中每份的數量為m，b份中每份的數量為n((m≤n)。

因為它們的總份數為a+b，總數量為ma+nb，加權平均數為：

或：

這種方法還可以推廣，其算理也類似，如：

某商店用單價為2.2元的甲級奶糖15千克，1.05元的乙級糖30千克和1元的丙級糖5千克配成什錦糖。求什錦糖的單價。

國小數學難題解法大全之巧妙解題方法（三）

文章摘要：使用正確的解題方法不但可以大大加快解題的速度而且可以提高解題的正確率。為此，數學頻道編輯部整理了一些巧妙的解題方法，以便同學們更好的去學習這些知識。

巧變體

例1 求圖形的體積。(單位：cm)

把圓柱看成圓錐。圓柱的高是圓錐的9÷3=3(倍)，由底面積相等知圓柱包含3×3=9(個)這樣的圓錐，共9+1=10(個)。

42×3.14×(9+1)=502.4(cm3)

巧拆數

例2 A、B兩城之間有一條999千米長的高速公路。高速公路上每隔1千米都豎有一塊路標。上面標有到A、B兩地的距離(見圖)。試問有多少個路標上，它們的兩個數都只有兩個不同的數字組成的?(例如118與881, 222與777等)

解：路標上兩個數之和都是999.將999拆成兩個數之和，且這兩個數只有兩個不同數字組成;最後將各種不同情況的數字進行排列，則得：

(1)0與9.路標上的兩個數分別是：

000 009 099 909

999 990 900 090

(2)1與8.路標上的兩個數分別是：

111 118 188 818

888 881 811 181

(3)2與7.路標上的兩個數分別是：

222 227 277 727

777 772 722 272

(4)3與6.路標上的兩個數分別是：

333 336 366 636

666 663 633 363

(5)4與5.路標上的兩個數分別是：

444 445 455 454

555 554 544 545

所以共有20塊路標上，千米數只有兩個不同的數字組成的。

巧代入

例3

由題意知：

將③代入①得：

將④代入①得：

解法三：由②先求出“桃重量是梨重量的幾分之幾”。

將⑤代入①得：

梨重620÷[2/3+(1÷2/5)÷(1÷1/4)]=480(千克)

將⑥代入①得：

巧分形

例4 求陰影部分面積。(單位：釐米)

一般解法：

梯形面積減三角形面積：(4+14)×7÷2-10×7÷2.

沿中心軸把圖形分成相等的兩部分：〔(4÷2+14÷2)×72-10÷2×7÷2〕×2.

巧解法：看作兩個或一個平行四邊形。

2×7×2=28(cm2),

4×7= 28(cm2).

例5 第二屆“華羅庚金盃”少年數學邀請賽試題：圖中四個圓的半徑都是1米，圓心分別在正方形的四個頂點上。求陰影部分面積?(π≈3.14)

角為270°的扇形和中間一個正方形，解答簡便。

S陰=4S扇+S正

=3S圓+S正

=3.14×12×3+(1+1)2

=13.42(m2).

國小數學難題解法大全之巧妙解題方法（二）

文章摘要：使用正確的解題方法不但可以大大加快解題的速度而且可以提高解題的正確率。為此，數學頻道編輯部整理了一些巧妙的解題方法，以便同學們更好的去學習這些知識。

巧變換

適當的等效變換，可使新題不新、難題不難、抽象的變得具體、繁瑣的變得簡單、敍述複雜的顯得條理清楚。不但能開拓解題思路，而且能培養從不同角度進行審題的習慣，提高分析問題和解決問題的能力。

例1 一個書架有三層，共放圖書270本，上層與中層圖書本數的比是4∶5,中層與下層圖書本數的比是10∶9.上、中、下層各放圖書多少本?

把相比關係轉化為分數關係。

由於在兩個比中都有中層書的本數，因此，可把中層書的本數作為標準量

例2 甲、乙兩車同時從相距324千米的兩地相向而行，甲車每小時行

“甲、乙兩車的速度比是4：5”.由於時間一定，速度與路程成正比例，可知相遇時甲、乙兩車所行路程的比是4∶5.

例3某項工程，甲獨做要20天完成，乙獨做要30天完成，開始兩人合作，中間因事甲離開了幾天，所以經過15天才完成全工程。甲離開了幾天?

把題意轉變為“……乙先做15天，剩下的任務由甲完成，甲還要幾天”，只要求出甲做了幾天，就可求出他離開了幾天。

15-10=5(天)

其他解法：

假設法：假設甲中途不離開並且與乙合做15天，那麼，甲、乙二人可完

乙做了15天，比甲不離開多做了3天。這3天乙所做的工作量是甲中途離開

所以，甲實際工作了12-2=10（天），中途離開了15-10=5(天)。

對應法：根據題意，“完成全工程，甲要20天，乙要30天。”知甲完

=10(天)，而甲獨做要20天，所以甲還要做20-10=10(天)，中途離開了15-10=5(天)

設工效法：設甲獨做每天完成的工作量為1，則工作總量為1×20=20,

剩下的工作量(20-10)由甲完成還要(20-10)÷1=10(天)，故甲中途離開了15-10=5(天)

代數法：設甲中途離開x天，並把這項工程看作單位

完成的工作量等於1，得方程

解得 x=5

若按分數問題的思路解，既難又繁;如果按比例分配的思路解，就比較容易了。

甲：乙=

甲種128÷(3+5)×3=48(條)

乙種128-48=80(條)

例5 一輛汽車計劃每小時行駛55千米。從A地到B地需6小時。實際上這輛車1.5小時行了90千米，照這樣的速度，從A地到B地需多少小時?

因為A地到B地距離一定，即速度×時間=路程(一定)，速度與時間兩個量成反比例。

設走完這路程實際需x小時，則有

解之得 x=5.5

不妨把題中的數量關係的形式變換一下。題目説：“照這樣的速度”，意即 路程/時間=速度(一定)，就是説前1.5小時與這1.5小時之後的速度不變。設所求的時間為x，根據正比例關係有

解之得 x=5.5

再不妨把已知條件的敍述轉化一下。速度的倒數是表示行駛單位路程所

要6小時，實際要x小時。

倒數正比例關係。

解之得 x=5.5

例6 甲3小時耕種的地等於乙2小時耕種的地，當甲耕1.4畝地時，乙耕地多少畝?

工作量的比等於效率的比。

因為時間t一定時，耕地面積S與耕地效率n成正比例。

此題沒給出甲、乙的耕作效率，只給出甲、乙的時間關係，即“甲3小時耕種的地等於乙2小時耕種的地”。

可把時間的比變換為效率的比。

解得 x=2.1

例7 小李貴上街為食堂買醬油和醋，原應買4千克醬油和5千克醋，共需5.45元。但他錯買成5千克醬油和4千克醋，餘下0.01元。醬油和醋每千克各多少元?

將條件、結構和問題的敍述方式變換一種説法，從而使題目的數量關係明朗化、簡單化。

變條件，即“買(4+5)千克醬油和(5+4)千克醋共需付5.45×2-0.01=10.89(元)”這樣通過求出“買1千克醬油和1千克醋需付10.89÷9=1.21(元)”進而就很容易求出

1千克醋為 5.45-1.21×4=0.61(元)

1千克醬油 0.61-0.01=0.60(元)

例8 有兩簍蘋果，平均每簍重56千克，現從甲簍取出7千克放入乙簍，則兩簍蘋果相等。原來各重多少千克?

題中“兩簍蘋果平均每簍重56千克”可變更為“兩簍蘋果一共重56×2=112(千克)”。“現從甲簍中取出7千克放入乙簍，則兩簍的蘋果相等”又可變更為“兩筐蘋果相差7×2=14(千克)”。

這樣，根據“(和+差)÷2=大數，(和-差)÷2=小數”，便可求出

甲簍原有(56×2+7×2)÷2=63(千克)

乙簍原有(56×2-7×2)÷2=49(千克)

例9 甲乙兩人共有人民幣若干元，若乙給甲30元，則乙餘下的錢是甲現有錢的25%，甲原有錢佔總數的60%，乙原有人民幣多少元?

用多種基礎知識，對這道較複雜的分數應用題的數量關係加以轉化，尋求解題途徑。

按一般思路分析：要求乙原有的錢數，須知總錢數;要求總錢數，就要求出已知的30元對應於總錢數的分率。已知甲原有的錢是總錢數的60%，乙給甲30元后，餘下的錢是甲現有錢數的25%，兩個分率對應的單位“1”不同。

根據分率的意義變換：由題設“乙餘下的是甲現有錢數的25%”，如果把甲現有的錢數看作100份，乙餘下的錢相當於這樣的25份，甲乙共有錢相

根據比的意義轉化：由題設“乙餘下的錢是甲現有錢的25%”,可求乙餘下的錢和甲現有錢數的比是25%.

根據和倍問題的解法變化：已知“乙餘下的錢是甲現有錢的25%”，又知道乙餘下的錢和甲現有的錢佔總數的分率和為“1”.

可按“和÷(倍數+1)=一倍數”，分別求出乙餘下的錢和甲現有的錢所佔總數的分率。於是得

解法5：

30÷[1÷(25%+1)-60%]×(1-60%)

=60(元)

解法6：

30÷[1-60%-1÷(25%+1)×25%]×(1-60%)

=60(元)

根據乘法分配律轉化：由乘法分配律可得規律：“如果乙數是甲數的m倍，把甲數分為任意的兩個部分，乙數也可以分為相應的兩個部分，使其分別是甲數分成的兩個部分的m倍。即如果乙數=甲數×m，甲數=d+c，那麼乙數一定可以分為a、b兩個部分，使 a=d·m,b=c·m.

根據這一規律，由題設乙給甲30元后，甲現有的錢由兩部分組成：總錢數的60%和30元。已知“乙餘下的錢是甲現有錢的25%”,我們可以把乙餘下的錢也分為兩部分，使一部分是60%的25%(即佔總數的幾分之幾)，一部分是30元的25%.

如圖：

可見，(30+30×25%)元相當於兩個人總錢數的(1-60%-60%×25%)。於是得

(30+30×25%)÷(1-60%-60%×25%)×(1-60%)=60(元)

例10 一隻籃子裏有四種水果，兩個水果中有一個蘋果，六個水果中有一個梨，八個水果中有一個香蕉，桔子十個，共有多少個?

國小數學難題解法大全之巧妙解題方法（一）

文章摘要：使用正確的解題方法不但可以大大加快解題的速度而且可以提高解題的正確率。為此，數學頻道編輯部整理了一些巧妙的解題方法，以便同學們更好的去學習這些知識。

巧 分 組

例1 下式的結果是( )。

分子是連鎖自然數，且分母相同，共有1990個分數。除了前四個和後兩個分數外，剩下的1984個分數均按連續4個減、4個加的順序排列，且後4個分數的分子之和比前4個分數的分子之和多16[如(9+10+11+12)-(5+6+7+8)=16].

把這樣的八個分數分為一組，可分成(1990-6)÷8=248(組)。每組的分子差16,248組是16×248=3968.

巧 歸 類

例2 用1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13這十二個數，編加、減、乘、除四個算式，每個數只許用一次。

根據逆運算關係，把“加法和減法”、“乘法和除法”歸為一類。

編加減法算式，比編乘除法算式多得多，宜從量少的入手。想到這十二個數中，能做被除數的只有12、10、8、6,先編除法算式更為適宜。

(1)12÷3=4 (2)12÷2=6

12÷4=3 12÷6=2

(3)10÷2=5 (4)8÷2=4 (5)6÷2=3

10÷5=2 8÷4=2 6÷3=2

確定(1)組為除法算式，其餘四組都可變為乘法算式。由於每個數只許用一次，此組已出現3、4、12.

乘法算式的(2)、(4)、(5)組重複、捨去。唯有第(3)組符合題意。

若(1)組為除法算式，(3)組為乘法算式。或反過來，各得四式

12÷3=4 10÷2=5

12÷4=3 10÷5=2

4×3=12 5×2=10

3×4=12 2×5=10

剩的六個數，可組成

6+7=13 8+1=9

7+6=13 1+8=9

13-6=7 9-1=8

13-7=6 9-8=1

整理：

組合：

(1)組可組合算式

(2)、(3)、(4)均可組成16種答案，共64種。

巧 類 推

例3 1、2、3、…、8、9這九個數字，可組成( )個九位數

"1"只能組成1個一位數;

"1、2"能組成12、21兩個兩位數;

"1、2、3"這三個數字，可組成123、132、213、231、312、321這6個三位數。

可見，由兩個一位數組成的兩位數的個數為2×1;由三個一位數組成的三位數的個數為3×2.依此類推：

2×1=2,

3×2=6,

4×6=24,

5×24=120,

6×120=720,

7×720=5040,

8×5040=40320,

9×40320=362880.

即，可組成362880個九位數。

巧比較

例4 6支毛筆和3支鉛筆，總價5.16元;4支毛筆和3支鉛筆，總價3.56元。求兩種筆的單價?

解：直接相比，鉛筆的支數相同，毛筆多(6-4)支，即2支，總價便多(5.16-3.56)元，1.60元。因此得算式

毛筆每支(5.16-3.56)÷(6-4)=0.8(元)

鉛筆每支(3.56-0.8×4)÷3= 0.12(元)

例5 5只雞、4只兔共重11千克，雞輕兔重，如果交換1只，然後分別稱，則所得的重量相等。問雞、兔每隻重多少?通過比較找出雞與兔之間的關係。

題目給的條件：

5雞4兔共重11千克;

4雞1兔重量=1雞3兔重量。

比較：(1)兩邊都拿出1雞1兔，則，3雞與2兔重量相等;

(2)原5雞4兔相當於幾隻雞?

5+3×(4÷2)=11(只)

也就是説11只雞重11千克，因此，得出解法：

每隻雞重 11÷〔5+3×(4÷2)〕=1(千克)

每隻兔重(11-1×5)÷4=1.5(千克)

或 1×3÷2=1.5(千克)

例6 獎給第三國小足球8個，籃球2個，價值396元;獎給第二國小足球4個，籃球3個，價值274元。單價各多少元?解：將一種球的兩個數量變為相同，且變足球簡捷。把獎給第二國小的球數和總價都擴大2倍，則變為足球8個、籃球6個、價值548元，再與第三國小相比。解法同例5.

例7 煤管處給運距不等的A、B、C三户送煤。第一次分別運去6噸、5噸、2噸，收運費33.2元;第二次各運去2噸，收運費14元;第三次分別運去4噸、3噸、2噸，收運費22.4元。各户應付運費多少?

觀察下表：

第三次與第二次相比，A户多運2噸，B户多運1噸，多付運費22.4-14=8.4(元)。

第一次與第三次相比，A、B兩户各多運2噸，多付運費33.2-22.4=10.8(元)。

再將兩次比得的結果相比：

A户2噸 B户1噸 付8.4元

A户2噸 B户2噸 付10.8元

顯然，可得

B户1噸運費 10.8-8.4=2.4(元)

A户1噸運費(8.4-2.4)÷2=3(元)

C户1噸運費(14-3×2-2.4×2)÷2=1.6(元)

應各付運費：

A為3×(6+2+4)=36(元)

B為2.4×(5+2+3)=24(元)

C為 1.6×(2+2+2)=9.6(元)

例8 (北京市1990年奧林匹克競賽題)：

一個水池子，甲、乙兩管同時開，5小時灌滿;乙、丙兩管同時開，4小時灌滿;如果乙管先開6小時，還需要甲、丙管同時開2小時才能灌滿(這時乙管關閉)。那麼乙管單獨灌滿水池需要多少小時?

列表：

比較。由(1)、(2)、(3)知：

由(3)、(5)可知：

可知：

或 1×3×5=15(小時)。

解答。再加上乙獨灌的5小時，就是乙獨灌滿水池共需15+5=20(小時)。