最新高一數學函數值域解題技巧總結

一.觀察法

通過對函數定義域、性質的觀察，結合函數的解析式，求得函數的值域。

例1求函數y=3+√(2-3x) 的值域。

點撥：根據算術平方根的性質，先求出√(2-3x) 的值域。

解：由算術平方根的性質，知√(2-3x)≥0，

故3+√(2-3x)≥3。

∴函數的知域為 .

點評：算術平方根具有雙重非負性，即：(1)被開方數的非負性，(2)值的非負性。

本題通過直接觀察算術平方根的性質而獲解，這種方法對於一類函數的值域的求法，簡捷明瞭，不失為一種巧法。

練習：求函數y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案：值域為：{0，1，2，3，4，5｝)

二.反函數法

當函數的反函數存在時，則其反函數的定義域就是原函數的值域。

例2求函數y=(x+1)/(x+2)的值域。

點撥：先求出原函數的反函數，再求出其定義域。

解：顯然函數y=(x+1)/(x+2)的反函數為:x=(1-2y)/(y-1),其定義域為y≠1的實數,故函數y的值域為{y?y≠1,y∈R｝。

點評：利用反函數法求原函數的定義域的前提條件是原函數存在反函數。這種方法體現逆向思維的思想，是數學解題的重要方法之一。

練習：求函數y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案：函數的值域為{y?y<-1或y>1｝)

三.配方法

當所給函數是二次函數或可化為二次函數的複合函數時,可以利用配方法求函數值域

例3：求函數y=√(-x2+x+2)的值域。

點撥：將被開方數配方成完全平方數，利用二次函數的最值求。

解：由-x2+x+2≥0,可知函數的定義域為x∈[-1，2]。此時-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0，9/4]

∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函數的值域是[0,3/2]

點評：求函數的值域不但要重視對應關係的應用,而且要特別注意定義域對值域的制約作用。配方法是數學的一種重要的思想方法。

練習：求函數y=2x-5+√15-4x的值域.(答案:值域為{y?y≤3})

四.判別式法

若可化為關於某變量的二次方程的分式函數或無理函數,可用判別式法求函數的值域。

例4求函數y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。

點撥：將原函數轉化為自變量的二次方程，應用二次方程根的判別式，從而確定出原函數的值域。

解：將上式化為(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0 (*)

當y≠2時,由Δ=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0，解得：2

當y=2時,方程(*)無解。∴函數的值域為2

點評：把函數關係化為二次方程F(x,y)=0，由於方程有實數解，故其判別式為非負數，可求得函數的值域。常適應於形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函數。

練習：求函數y=1/(2x2-3x+1)的值域。(答案：值域為y≤-8或y>0)。

五.最值法

對於閉區間[a,b]上的連續函數y=f(x),可求出y=f(x)在區間[a,b]內的極值,並與邊界值f(a).f(b)作比較,求出函數的`最值,可得到函數y的值域。

例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且滿足x+y=1,求函數z=xy+3x的值域。

點撥：根據已知條件求出自變量x的取值範圍，將目標函數消元、配方，可求出函數的值域。

解：∵3x2+x+1>0，上述分式不等式與不等式2x2-x-3≤0同解，解之得-1≤x≤3/2，又x+y=1，將y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),

∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函數z在區間[-1,3/2]上連續，故只需比較邊界的大小。

當x=-1時，z=-5;當x=3/2時，z=15/4。

∴函數z的值域為{z?-5≤z≤15/4｝。

點評：本題是將函數的值域問題轉化為函數的最值。對開區間，若存在最值，也可通過求出最值而獲得函數的值域。

練習：若√x為實數，則函數y=x2+3x-5的值域為 ( )

A.(-∞，+∞) B.[-7，+∞] C.[0，+∞) D.[-5，+∞)

(答案：D)。

六.圖象法

通過觀察函數的圖象，運用數形結合的方法得到函數的值域。

例6求函數y=?x+1?+√(x-2)2 的值域。

點撥：根據絕對值的意義，去掉符號後轉化為分段函數，作出其圖象。

解：原函數化為 -2x+1 (x≤1)

y= 3 (-1

2x-1(x>2)

它的圖象如圖所示。

顯然函數值y≥3,所以，函數值域[3，+∞]。

點評：分段函數應注意函數的端點。利用函數的圖象

求函數的值域，體現數形結合的思想。是解決問題的重要方法。

求函數值域的方法較多，還適應通過不等式法、函數的單調性、換元法等方法求函數的值域。

七.單調法

利用函數在給定的區間上的單調遞增或單調遞減求值域。

例1求函數y=4x-√1-3x(x≤1/3)的值域。

點撥：由已知的函數是複合函數，即g(x)= -√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定義域為x≤1/3，在此區間內分別討論函數的增減性，從而確定函數的值域。

解：設f(x)=4x,g(x)= -√1-3x ,(x≤1/3),易知它們在定義域內為增函數，從而y=f(x)+g(x)= 4x-√1-3x

在定義域為x≤1/3上也為增函數，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函數值域為{yy≤4/3｝。

點評：利用單調性求函數的值域，是在函數給定的區間上，或求出函數隱含的區間，結合函數的增減性，求出其函數在區間端點的函數值，進而可確定函數的值域。

練習：求函數y=3+√4-x 的值域。(答案：{yy≥3｝)