數學方法與思想方法

數學是研究事物的空間形式和數量關係的，國中最重要的數量關係是等量關係，其次是不等量關係。以下是小編整理的數學方法與思想方法，希望能夠幫助到大家！

　　國中數學常見的思想方法1

國中數學中藴含的數學思想很多，其中最主要的數學思想方法包括轉化思想、數形結合思想、分類討論思想、函數與方程思想等．

（1）轉化思想．轉化思想就是人們將需要解決的問題，通過演繹、歸納等轉化手段，歸結為另一種相對容易解決或已經有解決方法的問題，從而使原來的問題得到解決．轉化思想體現在數學解題過程中就是將未知的、陌生的、複雜的問題通過演繹和歸納轉化為已知的、熟悉的、簡單的問題．

國中數學中諸如化繁為簡、化難為易、化未知為已知等均是轉化思想的具體體現．具體而言，代數式中加法與減法的轉化，乘法與除法的轉化，用換元法解方程，在幾何中添加輔助線，將四邊形的問題轉化為三角形的問題，將一些角轉化為圓周角並利用圓的知識解決問題等等都體現了轉化思想．在國中數學中，轉化思想運用的最為廣泛．

（2）數形結合思想．數學是研究現實世界空間形式和數量關係的科學，因而，在某種程度上可以説數學研究是圍繞着數與形展開的．國中數學中的“數”就是代數式、方程、函數、不等式等符號表達式，國中數學中的“形”就是圖形、圖象、曲線等形象表達式．數形結合思想的實質是將抽象的數學語言（“數”）與直觀的圖象（“形“）結合起來，數形結合思想的關鍵就是抓住“數”與“形”之間本質上的聯繫，以“形”直觀地表達“數”，以“數”精確地研究“形”，實現代數與幾何之間的相互轉化．數形結合思想包括“以形助數”和“以數輔形”兩個方面，它可以使代數問題幾何化，幾何問題代數化．“數無形時不直觀，形無數時難入微．”數形結合是研究數學、解決數學問題的重要思想，在國中數學中有着廣泛應用．

譬如，在國中數學中，通過數軸將數與點對應，通過直角座標系將函數與圖象對應均體現了數形結合思想的應用．再比如，用數形結合的思想學習相反數、絕對值等概念，學習有理數大小比較的法則，研究函數的性質等，從形象思維過渡到抽象思維，從而顯著降低了學習難度．

（3）分類討論思想．分類討論思想就是根據數學對象本質屬性的共同點和差異點，將數學對象區分為不同的種類．分類是以比較為基礎的，它有助於揭示數學對象之間的內在聯繫與規律，有助於學生總結歸納數學知識、

解決數學問題．

譬如，國中數學從整體上看分為代數、幾何、概率統計等幾大版塊，並分別採用不同方法進行研究，就是分類思想的體現．具體而言，實數的分類，方程的分類、三角形的分類、函數的分類、統計量的分類等等，都是分類思想的具體體現．分類思想在國中數學中有大量運用，從國中數學內容的組織與展開到數學概念的界定與劃分再到數學問題的分析與解決都大量運用着分類思想．

（4）函數與方程思想．函數與方程思想就是用函數的觀點和方法分析問題、解決問題．函數思想是客觀世界中事物運動變化、相互聯繫、相互制約的普遍規律在數學中的具體反映．函數與方程思想的本質是變量之間的對應，即用變化的觀點和函數的形式將所研究的數量關係表示出來，然後用函數的性質進行研究，從而使問題獲得解決．如果函數的形式用解析式的方式表示，那麼就可以將函數解析式看作方程，並通過解方程和對方程的研究使問題得到解決，這就是方程思想．

譬如國中數學中大量涉及一次函數、反比例函數、二次函數等內容的數學問題都要用到函數與方程思想來解決．由於函數思想與方程思想的內容和形式相一致，因而往往將其並稱為函數與方程思想，並將二者結合學習與

運用．

除上述幾種主要的數學思想之外，國中數學中還有集合思想、對應思想、符號化思想、公理化思想等．國中數學主要包括如下基本的數學方法：（1）幾種重要的科學思維方法：比較與分類、觀察與嘗試、分析與綜合、概括與抽象、特殊與一般、歸納與類比等；（2）幾種重要的推理方法：完全歸納法、綜合法、分析法、反證法、演繹法等；（3）幾種常用的求解方法：待定係數法、數學建模法、配方法、消元法、換元法、構造法、座標法、參數法等．

1、配方法

所謂配方，就是把一個解析式利用恆等變形的方法，把其中的某些項配成一個或幾個多項式正整數次冪的和形式。通過配方解決數學問題的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是數學中一種重要的恆等變形的方法，它的應用十分非常廣泛，在因式分解、化簡根式、解方程、證明等式和不等式、求函數的極值和解析式等方面都經常用到它。

2、因式分解法

因式分解，就是把一個多項式化成幾個整式乘積的形式。因式分解是恆等變形的基礎，它作為數學的一個有力工具、一種數學方法在代數、幾何、三角等的解題中起着重要的作用。因式分解的方法有許多，除中學課本上介紹的提取公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法等外，還有如利用拆項添項、求根分解、換元、待定係數等等。

3、換元法

換元法是數學中一個非常重要而且應用十分廣泛的解題方法。我們通常把未知數或變數稱為元，所謂換元法，就是在一個比較複雜的數學式子中，用新的變元去代替原式的一個部分或改造原來的式子，使它簡化，使問題易於解決。

4、判別式法與韋達定理

一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c屬於R，a≠0）根的判別，△=b2—4ac，不僅用來判定根的性質，而且作為一種解題方法，在代數式變形，解方程（組），解不等式，研究函數乃至幾何、三角運算中都有非常廣泛的應用。韋達定理除了已知一元二次方程的一個根，求另一根；已知兩個數的和與積，求這兩個數等簡單應用外，還可以求根的對稱函數，計論二次方程根的符號，解對稱方程組，以及解一些有關二次曲線的問題等，都有非常廣泛的應用。

　　國中數學常見的思想方法2

特殊與一般的數學思想：對於在一般情況下難以求解的問題，可運用特殊化思想，通過取特殊值、特殊圖形等，找到解題的規律和方法，進而推廣到一般，從而使問題順利求解。常見情形為：用字母表示數；特殊值的應用；特殊圖形的應用；用特殊化方法探求結論；用一般規律解題等。

整體的數學思想：所謂整體思想，就是當我們遇到問題時，不着眼於問題的各個部分，而是有意識地放大考慮問題的視角，將所需要解決的問題看作一個整體，通過研究問題的整體形式、整體結構、整體與局部的內在聯繫來解決問題的思想。用整體思想解題時，是把一些彼此獨立，但實質上又相互緊密聯繫的量作為整體來處理，一定要善於把握求值或求解的問題的內在結構、數與形之間的內在結構，要敏鋭地洞察問題的本質，有時也不要放棄直覺的作用，把注意力和着眼點放在問題的整體上。常見的情形為：整體代入；整式約簡；整體求和與求積；整體換元與設元；整體變形與補形；整體改造與合併；整體構造與操作等。分類討論的'數學思想：也稱分情況討論，當一個數學問題在一定的題設下，其結論並不唯一時，我們就需要對這一問題進行必要的分類。將一個數學問題根據題設分為有限的若干種情況，在每一種情況中分別求解，最後再將各種情況下得到的答案進行歸納綜合。分類討論是根據問題的不同情況分類求解，它體現了化整為零和積零為整的思想與歸類整理的方法。運用分類討論思想解題的關鍵是如何正確的進行分類，即確定分類的標準。分類討論的原則是：（1）完全性原則，就是説分類後各子類別涵蓋的範圍之和，應當是原被分對象所涵蓋的範圍，即分類不能遺漏；（2）互斥性原則，就是説分類後各子類別涵蓋的範圍之間，彼此互相獨立，不應重疊或部分重疊，即分類不能重複；（3）統一性原則，就是説在同一次分類中，只能按所確定的一個標準進行分類，即分類標準統一。分類的方法是：明確討論的對象，確定對象的全體，確立分類標準，正確進行分類，逐步進行討論，獲取階段性結果，歸納小結，綜合得出結論。常見的情形為：由字母系數引起的討論；由絕對值引起的討論；由點、線的運動變化引起的討論；由圖形引起的討論；由邊、點的不確定引起的討論；存在特殊情形而引起的討論；應用問題中的分類討論等。

轉化的數學思想：將未知解法或難以解決的問題，通過觀察、分析、聯想、類比等思維過程，選擇恰當的方法進行變換，化歸為在已知知識範圍內已經解決或容易解決的問題。解題的過程實際就是轉化的過程。常見的情形為：高次轉化為低次、多元轉化為一元、式子轉化為方程、次元轉化為主元、正面轉化為反面、分散轉化為集中、未知轉化為已知、動轉化為靜、部分轉化為整體、還有一般與特殊、數與形、相等與不等之間的相互轉化。

數形結合的數學思想：數與形是數學教學研究對象的兩個側面，把數量關係和空間形式結合起來去分析問題、解決問題，就是數形結合思想。數、式能反映圖形的準確性，圖形能增強數、式的直觀性，“數形結合”可以調動和促進學生形象思維和抽象思維的協調發展，溝通數學知識之間的聯繫，從複雜的數量關係中凸顯最本質的特徵。數形結合是研究數學問題的有效途徑和重要策略，它體現了數學的和諧美、統一美。華羅庚先生曾用“數缺形時少直覺，形少數時難入微”作高度的概括。常見的情形為：利用數軸、函數的圖象和性質、幾何模型、方程與不等式以及數式特徵可以將代數問題轉化為集合問題；利用代數計算、幾何圖形特徵可以將幾何問題轉化為代數問題；利用三角知識解決幾何問題；利用統計圖表讓統計數據更形象更直觀等。

函數與方程的思想：函數的思想就是利用運動與變化的觀點、集合與對應的思想，去分析和研究數學中的等量關係，建立和構造函數關係，再運用函數的圖象和性質去分析問題，達到轉化問題的目的，從而使問題獲得解決。方程的思想就是從問題的數量關係入手，運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型——方程或方程組，通過解方程或方程組，或者運用方程的性質去分析、轉化問題，使問題獲得解決。函數與方程的思想實際是就是一種模型化的思想。常見的情形為：數字問題、面積問題、幾何問題方程化；應用函數思想解方程問題、不等問題、幾何問題、實際問題；利用方程作判斷；構建方程模型探求實際問題；應用函數設計方案和探求面積等。

常用數學方法如：配方法、消元法、換元法、待定係數法、構造法、主元法、面積法、類比法、參數法、降次法、圖表法、估算法、分析法、綜合法、拼湊法、割補法、反證法、倒數法、同一法等。