數學分析的思想與方法

數學分析是高等教學中的基礎技能之一,對數學教學具有促進作用。接下來小編為大家推薦的是數學分析的思想與方法，歡迎閲讀。

　　(一) 泛函分析

泛函分析是現代分析數學的重要分支之一，其深遠的理論體系和廣泛的應用價值已經對現代分析數學，乃至現代科學技術領域都產生了重大影響。大學本科階段的泛函分析課程主要以線性泛函分析中的賦範線性空間及其上的有界線性算子理論等一些最基本內容為主。研究生階段的線性泛函分析主要介紹緊算子與Fredholm算子、Banach代數、無界線性算子、線性算子半羣、廣義函數、Hilbert-Schmidt算子與跡類算子等內容。研究生階段的非線性泛函分析課程一般簡要講授Banach空間上的微積分學、隱函數定理與分歧問題、拓撲度、單調算子以及變分方法等基本內容。泛函分析的主要研究方向為: 線性算子譜理論、函數空間、Banach空間幾何學、算子代數、非交換幾何、應用泛函分析以及非線性泛函分析的相關研究方向等。

泛函分析是經過數學分析、高等代數和空間解析幾何的“升空式洗禮”，而從“地上”到“天上”的一個數學抽象推廣過程。有限維空間的幾何理論以及從有限維空間到有限維空間的映射理論是大學數學專業一二年級的主要學習內容。若只考慮線性映射的運算性質，那就是線性代數。若考慮非線性映射的連續性與光滑性，那就是微積分。若把有限維空間的距離概念推廣到無限維空間，再考慮相應的線性映射與非線性映射的連續性以及光滑性，那麼就自然而然地走到了泛函分析的疆界。數學分析，高等代數和解析幾何的很多結論在泛函分析層面上都有相應的推廣結論。注意到這一點之後，又可以從“天上”回到“地上”了。把有限維換成無限維，以及歐式度量換成抽象度量，想法還是一樣的想法，但現象卻是作為拓撲、代數、幾何與分析的融合體的泛函分析了。分析、代數、幾何與拓撲的數學思想方法的交融是泛函分析發展壯大的力量之源。泛函分析已經成為現代分析數學的必要工具之一。

Fields 獎獲得者J. Bourgain，es，W. Timothy Gowers，A. Grothendieck, L. Schwartz 及Wolf獎獲得者I. M. Gelfand，M. G. Krein等著名數學家在泛函分析領域都做出了巨大成就。

泛函分析的參考書目推薦如下：

（1）M. Reed, B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, I – IV, 1970’s。

（2）K. Yosida, Functional Analysis, 1980。

（3）J. Barros-Neto, An Introduction to the Theory of Distributions,1981。

（4）張恭慶，林源渠，泛函分析講義，上冊，1987。

（5）張恭慶，郭懋正，泛函分析講義，下冊，1990。

（6）W. Rudin，Functional Analysis，1991。

（7）Alan Connes，Noncommutative geometry，1994。

（8）P. Lax, Functional Analysis，2002。

（9）Kung- Ching Chang，Methods in Nonlinear Analysis，2005。

　　(二) 調和分析

調和分析是現代分析數學的核心領域之一，其輝煌的成就讓一代代分析學家為之傾倒與奮鬥。按照華羅庚先生的説法，把已知函數展開成Fourier級數的運算就叫做調和分析。事實上，調和分析也正是從Fourier級數和Fourier變換理論的研究開始發展壯大的。從物理的觀點，調和分析就是要把信號表示為基本波“調和子”的超位置疊加。幾個世紀以來，調和分析已經形成了龐大的學科體系，並在數學、信息處理和量子力學等領域有着重要和深刻的應用。

從應用角度來説，有效確定Fourier級數問題的運算稱為實用調和分析。有限調和分析是實用調和分析的主體框架，即從有限個數據所應計算的最恰當的項數的角度，從有限到有限的思想方法來解決實際問題的Fourier方法是有限調和分析的應用價值所在。再從物理的角度，人們可以發現量子力學中的測不準關係有着調和分析版的解釋，即 Paley – Wiener 定理所描述的非零緊支集廣義函數的Fourier變換沒有緊支集。

抽象調和分析是調和分析更深入的現代數學分支，即研究拓撲羣上的調和分析理論，特別是Fourier變換理論。Abel緊羣的Ponteyagin對偶理論是調和分析特徵在現代數學處理中的合適寫照。對一般的非Abel局部緊羣來説，調和分析是與酉羣的表示論密切相關的。經典卷積的Fourier變換是Fourier變換的乘積的性質可以通過對緊羣的Peter-Weyl 定理有所昇華體現。當羣既非Abel又非緊羣時，一般的抽象調和分析理論還不是很完善。例如，是否此時存在Plancherel定理的類似物還不知道。但是在許多特殊情況下，通過無窮維表示技術是可以分析一定的相關問題的。

下面主要對上的調和分析內容進行簡要的描述，以便對調和分析方向的研究與學習有一點點便利。

覆蓋技術、極大算子、Calderón–Zygmund分解、內插技術和奇異積分算子是現代調和分析的基本內容。覆蓋技術不僅是測度論的重要工具，也是調和分析的主要方法之一。Hardy–Littlewood 極大算子理論的建立與覆蓋技術息息相關。上的H.- L極大算子理論主要體現了一類非線性算子的-有界性理論，並且可以解決很多現代分析的重要問題。Calderón–Zygmund分解技術是研究奇異積分的實變量分析的關鍵方法，即把任意的可積函數拆分成“小部分”和“大部分”的和，然後用不同的技術分別處理各個部分是其思想精華所在。奇異積分算子是由帶有奇異性的積分核所產生的。奇異積分算子的-有界性問題是重要的研究問題之一。奇異積分算子的理論目前已經很是豐富了。

從Fourier級數和Fourier變換的經典Fourie分析到Hardy–Littlewood 極大算子和奇異積分算子等理論，可以認為是調和分析的一次飛躍。調和分析的另外一次重大飛躍應該是-空間（Hardy空間）、有界平均振盪函數的BMO空間和-權理論的建立與完善。筆者認為：調和分析的最後一次飛躍也許是調和分析方法在分析學科的世界級數學猜想的解決方面的有效實踐問題。

Hardy空間的研究起源於Fourier級數和單復變量分析，至今已經有豐富的內涵，特別是高維實方法的介入，使得-空間理論有了本質性的現代發展。有界平均振盪函數的BMO空間，也稱為John- Nirenberg空間，是在分析大師F. John和L. Nirenberg首次研究了該空間的拓撲性質的基礎上而給出精確定義的。-空間，BMO空間和-權理論是現代調和分析的三大發明。C. Fefferman獲得Fields獎的主要工作就是，在L. Nirenberg工作的基礎上，發現了BMO空間是-空間的對偶空間。BMO空間在分析數學的眾多領域和概率秧論中都有重要的應用。在BMO空間基礎上，L. Nirenberg與H. Brezis合作，還發現了作為BMO空間的子空間的VMO空間（消失平均振盪空間），特別是將拓撲度理論推廣到屬於VMO空間的映射結果使得拓撲學家為之驚歎。-權理論在奇異積分算子有界性研究中有着重要作用。R. R. Coifman 和 C. Fefferman 對-權理論的建立做出了重要貢獻。

我國世界級數學家華羅庚先生在經典調和分析領域取得了世界領先成果。他的名著《多複變函數論中典型域上的調和分析》曾獲得首屆國家自然科學獎一等獎。北京大學的調和分析學派為中國調和分析方向的人才培養做出了巨大貢獻。

獲得過Wolf獎和 Fields獎的調和分析名家有A. P. Calderón，C. Fefferman，E. M. Stein，T. Tao等。

關於調和分析的數學著作推薦如下：

（1）E. M. Stein, Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions, 1970。

（2）E. M. Stein, G. Weiss, Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, 1971。

（3）E. M. Stein, Harmonic Analysis: Real Variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals, 1993。

　　(三) 複分析

在代數與分析學科中，複數域都是重要的基本數學沃土。複變函數的微積分理論就是經典複分析的主要內容之一。在複數土壤上的微積分，除了繼承傳統，當然也必定會出現新的天地，例如，Cauchy積分理論，Weierstrass 級數理論和復Riemann幾何理論等就是複數域上的特有理論。在大學的複變函數論課程中，作為雙射解析映射的共形映射理論應該是課程的亮點部分之一。解析映射的無窮次可微性、非臨界點處的局部保角性，以及非常值映射的開集映成開集的開映射性質等都是解析映射的本質性性質。解析映射的實部與虛部所對應的Cauchy-Riemann方程更是深入推廣解析映射理論的偏微分方程出發點。大學本科的複變函數內容已經在除了數學之外的工程技術、電子工程和航天工程等領域產生了重要應用。

複分析可以分成單個復變量函數論，多個復變量函數論，以及複流形上的分析理論等三個重要部分。自從19世紀左右單復變產生以來，單個復變量函數論的`理論已經十分完善。隨之發展的多個復變量函數論理論已經成為現代主流分析數學領域之一。研究生階段的單復變複分析內容主要包括Riemann映射定理、共形映射的邊界對應定理、單值性定理、廣義Schwarz引理、共形不變量（共形模與極值長度）、擬共形映射、Riemann曲面、Riemann-Roch定理、單值化定理以及複變函數逼近論等重要內容。鑑於單復變理論的日臻完善，該領域的研究趨勢正在向復動力系統方向縱深發展。研究生階段的多復變課程主要是在經典多復變與現代多復變兩個方面加以介紹。前者是單復變理論的高維復空間推廣理論：高維復空間中的代數域及其上的多複變函數論，而後者是複流形上的相應函數論理論。多復變課程難度更大，因而學生隊伍一般較小。多複變函數論作為單複變函數論的推廣理論，也同樣面對繼承與發揚的根本性問題。多復變有別於單復變的兩個基本定理是“不存在雙全純映射將高維復空間中的單位超球映為同一空間中的多圓柱體”的Poincaré定理，以及“高維復空間中存在如此的區域使得在此區域上的全純函數一定可以全純延拓到更大的區域之上”的Hartoge定理。Poincaré定理表明在維數大於或等於2時單復變的Riemann映射定理不再成立。Hartoge定理產生了高維復空間中函數論研究的合適區域判別問題。複流形上的函數論、上同調、微分形式、Cauvhy積分以及Dolbeault 和de Rham的基本定理等內容是現代多復變的核心內容之一。

我國數學家在單復變與多復變領域都取得了世界先進水平的研究成果。例如，我國熊慶來學派的數學家在單復變亞純函數的值分佈論領域做出了世界級的研究成果。華羅庚學派的數學家在多複變函數論中典型域上的調和分析、典型域、典型流形、積分表示與邊值問題、Schwarz引理、擬凸域等諸多方向都取得了世界領先成果。

Fields 獎與Wolf獎獲得者中的著名數學家L. V. Ahlfors，L. Carleon，H. Cartan，Kodaira Kunihiko，J. P. Serre，C. L. Siege，S. K. Smirnov等都在複分析領域取得了傑出成就。

關於複分析的入門數學著作推薦如下：

（1） W. Rudin, Real and Complex Analysis,1966。

（2） H. Grauer, K. Fritzsche, Several Complex Variables,1976。

（3） L. V. Ahlfors, Complex Analysis, 1979。

（4） 龔 昇, 簡明覆分析，1996。

（5） 李 忠，複分析導引，2004。

　　(四) 隨機分析

隨機分析是概率論分析數學深入發展的現代數學分支。在隨機過程理論基石的基礎上，滲透拓撲、代數、幾何、分析等核心數學的思想方法，交融於實際與應用問題的背景之下，隨機分析已然成為當今世界主流數學分支俱樂部的重要成員。我國數學家的隨機分析水平已經步入世界先進行列，在國際數學家大會上已經應邀做一小時報告和四十五分鐘報告。我國的隨機數學研究隊伍也以中國科學院和一些著名大學的隨機數學學派馳名於世界。

隨機數學的兩個基本細胞應該是測度論與隨機性。隨機性是自然界中普遍存在的客觀現象，測度論是分析數學的重要數學結構。用數學模型的觀點看世界是數學家博大奉獻胸懷的基本寫照，如隨機數學的應用內涵所在一樣。僅從數學角度看隨機數學，那麼真的不必非要提及隨機二字，只要研究測度論的發展就可以了。全有限測度空間上的微積分理論，或者分析理論，其實就是隨機分析學者的日常工作。當然，以兩種不同的觀點來看待測度論意義下的可測函數族，在思想方法上會對兩種不同的研究發展帶來本質的區別。例如，把可測函數族視為隨機變量族的隨機過程的軌道空間思想，對隨機數學的發展是至關重要的。

常微分方程模型刻畫的光滑向量場軌道與隨機（常）微分方程模型刻畫的隨機次光滑軌道對實際問題的接近度往往是後者更佳。於是，隨機微分和隨機積分的概念就是最為關鍵的學科創建因素了。Wolf獎獲得者K. Ito對布朗運動定義的隨機積分概念，以及隨之發現的Ito積分公式，使得隨機分析成為分析數學文庫中的美麗詩篇。布朗運動樣本軌道函數的連續，但幾乎處處非有界變差和處處不可微的性質使得通常的Riemann-Stieltjes積分和Lebesgue- Stieltjes積分按樣本軌道函數無法定義，因為Riemann-Stieltjes積分定義中的Darboux和不以概率1收斂。但是，前述Darboux和可以在均方意義下收斂。也正是這一點激發了Ito積分的創建靈感和確立了Ito積分的獨立地位。注意到隨機過程的樣本軌道的不光滑特點，後繼的很多隨機數學分支，如隨機微分幾何等都由此得到了數學的獨立地位。本科階段的隨機分析課程多數是以隨機微分方程課程的形式出現的，並且主要講授Brown運動和白噪聲的基本性質，隨機積分與Ito公式，隨機微分方程的可解性等基本內容。對不同類型的隨機過程可以在適當意義下定義相應的隨機積分的事實也常常加以簡述。研究生階段的隨機分析課程是可以“天高任鳥飛，海闊憑魚躍”的。倒向隨機微分方程，狄氏型理論，大偏差理論，無窮維隨機分析，擬似然分析，自由概率論，隨機偏微分方程，隨機動力系統，隨機微分幾何等等都是研究生隨機分析課程的有益食材。當然，這一階段的隨機分析已經步入綜合核心數學的家園，已經不是隻瞭解與掌握測度論就行那樣簡單的事情了。數學的真正魅力所在，其實就是大一統的數學價值觀，隨機分析的高深境界也不例外。

關於隨機分析的數學著作推薦如下：

（1）A. Friedman, Stochastic Differential Equations and Applications, Vol.1,1975。

（2）A. Friedman, Stochastic Differential Equations and Applications, Vol.2,1976。

（3）I. Karatzas, S. E. Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus, 1991。

（4）P. Malliavin, Stochastic Analysis, 1997。

（5）黃志遠，隨機分析學基礎（第二版），科學出版社，2001。