數學學習方法突破猜證結合法

名師大學聯考數學學習方法：突破猜證結合法

破選擇題：四大猜想是法寶

很多考生對選擇題和填空題的低正確率感到困惑。提高這兩種題型的正確率，主要要突破猜證結合的。他説，猜想的應該練習下列四個猜想：第一是舉特殊值法、考察特例、檢驗特例、舉反例等等，就是把這個題目用特殊的問題進行檢驗，然後進行猜想，這是特殊化猜想。第二是要學會一般化猜想。第三是要學會類比法。第四是歸納猜想。這四大猜想是解選擇題和填空題的法寶。

另外要會精明演繹，主要是會反例排除，數形結合，比如用圖解會比較快，還有先猜後證。掌握這些方法就可從整體上掌握填空題的法寶，然後再深入練習一下，不要滿足於把這個題解完就沒事了。

解應用題：聯繫實際

今年的應用題和往年一樣，仍然保持做題的難易程度，但注意，應用題通常是在選擇題和填空題各有一個大眾題，這種題目即使沒有的，會聯繫實際就能解出來，所以解題時要注意聯繫實際，運用實際生活經驗來解答。

解答應用題要注意提高新四大：閲讀、探究、應用能力、思考學科的綜合能力。在應用題中主要考察這四個能力，所以要注意會組題、會研究、會思考和綜合，並能夠應用。

三角函數：學會三角化歸通法

三角函數主要要掌握好三角化歸思想，三角公式不要死記硬背，要學會高速化歸，能夠記住幾個基本公式，就能快速推出所需要的任何公式，這是現在三角學習的方向。

第二，要學會三角化歸的通法，三角化歸的通法叫做“三變”：(一)變角；(二)變函數；(三)變式。掌握這三變，就能夠解決任何問題，解題時觀察三種基本矛盾，第一種基本矛盾是角的矛盾，如果角的矛盾是主要的就變角。第二種基本矛盾是三角函數的矛盾 高中政治。第三種主要矛盾如果是在三角函數基礎之上的式的矛盾，就用代數方法或者是三角方法來變式。

全面：優化基礎最重要

現在可以適當做一點新題，但重要經驗是優化基礎，把知識結構化、系統化、程序化，在優化的基礎上，適當地做一些新題。因為整個有120分的基礎題，是150分，其中120分都是基礎，所以優化基礎是最重要的，基礎好了，才能夠做到解題活，才能綜合知識，有較快的解題速度，所以應該把主要精力放在優化解題過程，濃縮提煉知識的機構，優化解題方法。同時模擬不要做得太多，要減輕壓力，樹立自信心。

大學聯考數學選擇題策略與技巧的分析

選擇題在當今中，不但題目數量多，而且佔分比例高，有12個小題，每題5分，共60分。這種題具有概括性強，覆蓋面廣，小巧靈活，有一定的綜合性和深度的特點，能否準確、快速、簡捷地做好選擇題是能否取得高分的關鍵。

大學聯考數學選擇題的求解，一般有兩種思路，一是從題幹出發考慮，探求結果；二是將題乾和選項聯合考慮或以選項出發探求是否滿足題幹條件。但由於選擇題屬於小題，解題原則是“小題小做”，解題的基本策略是：要充分利用題設和選項兩方面所提供的信息來判斷。一般來説能定性判斷的，就不再使用定量計算；能用特殊值判定的，就不用常規解法；能使用間接解法的，就不用直接解法；能夠明顯可以否定的選項，就及早排除，縮小選擇範圍；能有多種解題思路的，宜選擇最簡捷的解法等。下面將對主要的選擇題解題策略和技巧進行討論和分析。

一、直接法策略

從題設條件出發通過正確的運算或推理，直接求得結論，再對照選項做出判斷。

二、間接法策略

不通過題設條件進行推理計算，而是利用旁敲側擊的來求出正確結論。

三、排除法策略

從已知條件出發，通過觀察分析或推理運算各選項提供的信息，將錯誤的選項逐一排除，而獲得正確的結論。

例1：(2005年大學聯考題)不共面的四個定點到平面的距離都相等，這樣的平面共有( )

A.3個B.4個C. 6個D. 7個

解：第一種情況：當一個點在平面的一側，其餘3個點在平面的別一側時，共有4個，排除A,B。

第二種情況：當兩個點在平面的一側，其餘兩個點在的另一側時共有3個，總共有7個，排除C,選擇D。

四、特殊值法策略

根據選項的唯一正確性，利用符合條件的字母特殊值代入題乾和選項，從而確定正確答案，其關鍵在於選取適當的特殊值[包括特殊點(特殊位置)、特殊函數、特殊數列、特殊圖形等]。

例1：(2004年大學聯考題)已知函數y=loga(2-ax)在[0,1]上是x的減函數，則a的取值範圍是()

A. (0,1) B.(1,2) C.(0,2) D.[2,+∞)

解：令，X1 =0, X2=1,則,可排除A、C

令a=3，x=1則2-ax=2-3<0，對數無意義，排除D,選擇B。

五.代入驗證法、估算法、數形結合法、極限法等其它方法策略

除上述的方法之外，大學聯考數學選擇題還有估算法、極限法等其它方法和技巧也可以靈活運用。

例：(2005年湖北省大學聯考題)根據市場調查結果，預測某種家用商品從年初開始的n個月內 高中英語，積累的需求量Sn(萬件)近似地滿足(n=1、2、3、···12)，據此預測在本年度內，需求量超過1.5萬件的月份是( )

A. 5月、6月B. 6月、7月C. 7月、8月D. 8月、9月

解：由an=Sn-Sn-1可算出an ，由二次函數性質可算出a n的對稱軸為7.5.當X=6時，an=1.5，為了大於1.5則x取7.8 ，選擇C。

通過上述分析得到的啟示是：選擇題的解題方法很多，為了正確迅速求得結果，不能拘泥於一種方法，應揚長避短，兼蓄並用、靈活溝通，為我所用，特別注意以下幾點：

(1)解題時首先考慮間接法，不要一味採用直接法。

(2)在間接法中首先應考慮排除法，即使不能全部將干擾項除掉，至少可以排除一部分，從而簡化剩餘部分的選擇程序。

(3)若能迅速判斷某個答案正確，則可不及其餘，當機立斷地做出選擇。

(4)若肯定某個答案有困難時，可轉而去否定其餘的答案、只要其餘答案被否定了，剩下的一個答案一定是正確的。

在具體操作上，最好能雙管齊下，把正面肯定與反面否定相結合，就能沿着最佳途徑準確迅速地選擇正確答案。

在解答大學聯考數學選擇題時如果能夠做到：準、快、巧，就能既在選擇題部分獲得高分，又能贏得較多的時間去解答其它部分的問題，從而使得大學聯考數學最終突破高分。

臨場應試技巧 選擇題直接求解法

古語云：授人以魚，只供一飯。授人以漁，則終身受用無窮。學，更要學。清華網校的欄目由清華附中名師結合多年教學經驗和附中優秀心得組成，以幫助培養良好的習慣為目的，使在學習中能夠事半功倍。

中總有那麼一兩道問題難度係數很低的，問題難，以拉開來不同考生的差距。遇到難題一時想不出來，可以考慮換一種方法，換一種思路，如果仍然沒有頭緒，不妨先放一放，記下題號，等後面的解答完了再回來看看，你可能會獲得新的解題方法。 最後如果仍然沒有想出來的也不能放棄，是選擇題就要猜測答案了，填空題也不能空着，猜測答案往上寫，是大題，就要分步寫，只要與問題有關，能寫多少寫多少。

遇到了難題，我該怎麼辦？

會做的題目要力求做對、做全、得，而更多的問題是對不能完整完成的題目如何分段得分。下面有兩種常用方法。

一、面對一個疑難問題，一時間想不出方法時，可以將它劃分為幾個子問題，然後在解決會解決的部分，即能解決到什麼程度就解決到什麼程度，能演算幾步就寫幾步。如從最初的把文字語言譯成符號語言，把條件和目標譯成表達式，設應用題的未知數 高中語文，設軌跡題的動點座標，依題意正確畫出圖形等，都能得分。而且可望在上述處理中，可能一時獲得，因而獲得解題方法。

二。有些問題好幾問，每問都很難，比如前面的小問你解答不出，但後面的小問如果根基前面的結論你能夠解答出來，這時候不妨先解答後面的，此時可以引用前面的結論，這樣仍然可以得分。如果稍後想出了前面的解答方法，可以補上：“事實上，第一問可以如下證明”。

選擇題有什麼解題技巧嗎？

1、直接求解法

從題目的條件出發，通過正確的運算或推理，直接求得結論，再與選擇支對照來確定選擇支。

2、篩選排除法

在幾個選擇支中，排除不符合要求的選擇支，以確定符合要求的選擇支。

3、特殊化方法

就是取滿足條件的特例(包括取特殊值、特殊點、以特殊圖形代替一般圖形等)，並將得出的結論與四個選項進行比較，若出現矛盾，則否定，可能會否定三個選項;若結論與某一選項相符，則肯定，可能會一次，這種方法可以彌補其它方法的不足。

高三立體幾何的基本問題總結

到了高三階段，同學們就已經有了十二年的經驗了，在這漫長的學海生涯中，經過歷練和鑽研，每個人都有一套獨特的總結問題的，關於高三立體幾何，也有幾點總結，在這裏分享給大家，希望能夠有所幫助。

立體幾何中兩個最基本的問題，一個是求角度，一個是求距離。

1求角度的問題：一般解法的關鍵是把所求角放在一個三角形裏，最好是直角三角形，這樣解三角形就可以了。一般的線線角都可以嘗試這種方法，即若角不在三角形裏，就注意角的兩邊，在兩邊上找到合適的點做出三角形後解此三角形。

求線面角和二面角一般是轉化為線線角。這裏一定要先嚐試三垂線定理。個人經驗表明至少80%的線面角、二面角題都靠這種方法，極少數情況下，若發現線面角和麪面角可以直接轉化為線線角（比如求二面角時發現題目已經給出一個垂直於兩平面的平面C，那麼此平面C與那兩個平面的交線的夾角就是二面角）的話就直接求。而三垂線定理的核心在於那條和平面垂直的線，若題目中給了一條線垂直於一個平面的話就要特別留心加以利用，若沒給就往往需要自己做一條。用三垂線定理可以把所求角轉化為線線角並直接放到直角三角形裏，是求線面角、二面角最常用的方法。

2距離：記住異面直線的距離常常是沒法直接求的！公垂線給了能直接求，公垂線沒給的話可能一天也找不到它在哪裏。常用的方法是找一個包含一條直線並與另一直線平行的平面，轉化為線面距離，或者面面距離。但線面距離和麪面距離有時也不好求，常見的方法是再轉化成點面距離，然後用三稜錐三組底與高乘積相等的辦法，即體積法可以求出點面距離。

在學習立體幾何的過程中只要掌握了問題的核心，就是把所求問題化繁為簡，這樣接下來的求證部分就能順理成章的完成了 高中化學。立體幾何部分是中獨立存在的部分，和其他關係不大，只要在學習過程中摸尋規律並掌握方法，就會學得很好。多練習多遇到不同體型是有效提高這部分成績的最好的辦法。

新高三理科生數學的複習方法

大學聯考的考察主要還是基礎，難題也不過是在簡單題的基礎上加以綜合。所以課本上的內容是很重要的，如果課本上的都不能掌握，就沒有觸類旁通的資本。

對課本上的內容，上課之前最好能夠首先一下，否則上課時有一個知識點沒有跟上的步驟，下面的就不知所以然了，如此惡性循環，就會開始厭煩數學，對來説是很重要的。課後針對性的練習題一定要認真做，不能偷懶 高中學習方法，也可以在課後時把例題反覆演算幾遍，畢竟上課的時候，是在進行題目的演算和講解，在聽，這是一個比較機械、比較被動的接受知識的過程。也許你認為自己在上聽懂了，但實際上你對於解題的理解還沒有達到一個比較深入的程度，並且非常容易忽視一些真正的解題過程中必定遇到的難點。“好腦子不如賴筆頭”。對於數理化題目的解法，光靠腦子裏的大致想法是不夠的，一定要經過周密的筆頭計算才能夠發現其中的難點並且掌握化解，最終得到正確的計算結果。

其次是要善於總結歸類，尋找不同的題型、不同的知識點之間的共性和聯繫，把學過的知識系統化。舉個具體的例子：代數的函數部分，我們學習了指數函數、對數函數、冪函數、三角函數等好幾種不同類型的函數。但是把它們對比着總結一下，你就會發現無論哪種函數，我們需要掌握的都是它的表達式、圖象形狀、奇偶性、增減性和對稱性。那麼你可以將這些函數的上述內容製作在一張大表格中，對比着進行理解和。在解題時注意函數表達式與圖形結合使用，必定會收到好得多的效果。

最後就是要加強課後練習，除了作業之外，找一本好的參考書，儘量多做一下書上的練習題（尤其是綜合題和應用題）。熟能生巧，這樣才能鞏固課堂學習的.效果，使你的解題速度越來越快。

高三數學概率訓練題

章末綜合測（10）概率

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．

1．從裝有5只紅球，5只白球的袋中任意取出3只球，有事件：

①“取出2只紅球和1只白球”與“取出1只紅球和2只白球”；

②“取出2只紅球和1只白球”與“取出3只紅球”；

③“取出3只紅球”與“取出3只球中至少有1只白球”；

④“取出3只紅球”與“取出3只白球”．

其中是對立事件的有( )

A．①② B．②③

C．③④ D．③

D解析：從袋中任取3只球，可能取到的情況有：“3只紅球”，“2只紅球1只白球”，“1只紅球，2只白球”，“3只白球”，由此可知①、②、④中的兩個事件都不是對立事件．對於③，“取出3只球中至少有一隻白球”包含“2只紅球1只白球”，“1只紅球2只白球”，“3只白球”三種情況，與“取出3只紅球”是對立事件.

2．取一根長度為4 m的繩子，拉直後在任意位置剪斷，那麼剪得的兩段都不少於1 m的概率是( )

A.14 B.13

C.12 D.23

C解析：把繩子4等分，當剪斷點位於中間兩部分時，兩段繩子都不少於1 m，故所求概率為P＝24＝12.

3．甲、乙兩人下棋，甲獲勝的概率為30%，甲不輸的概率為80%，則甲 、乙兩人下一盤棋，你認為最為可能出現的情況是( )

A．甲獲勝 B．乙獲勝

C．甲、乙下成和棋 D．無法得出

C解析：兩人下成和棋的概率為50%，乙勝的概率為20%，故甲、乙兩人下一盤棋，最有可能出現的情況是 下成和棋.

4．如圖所示，牆上掛有邊長為a的正方形木板，它的四個角的空白部分都是以正方形的頂點為圓心，半徑為a2的扇形，某人向此板投鏢，假設每次都能擊中木板，且擊中木板上每個點的可能性都一樣，則它擊中陰影部分的概率是( )

A．1－π4 B.π4

C．1－π8 D．與a的取值有關

A 解析：幾何概型，P＝a2－πa22a2＝1－π4，故選A.

5．從1,2,3,4這四個數中，不重複地任意取兩個種，兩個數一奇一偶的概率是( )

A.16 B.25

C.13 D.23

D 解析：基本事件總數為6，兩個數一奇一偶的情況有4種，故所求概率P＝46＝23.

6．從含有4個元素的集合的所有子集中任取一個，所取的子集是含有2個元素的集合的概率是( )

A.310 B.112

C.4564 D.38

D解析：4個元素的集合共16個子集，其中含有兩個元素的子集有6個，故所求概

率為P＝616＝38.

7 ．某班準備到郊外野營，為此向商店定了帳篷，如果下雨與不下雨是等可能的，能否準時收到帳篷也是等可能的，只要帳篷如期運到，他們就不會淋雨，則下列説法正確的是( )

A．一定不會淋雨 B．淋雨的可能性為34

C．淋雨的可能性為12 D．淋雨的可能性為14

D解析：基本事件有“下雨帳篷到”、“不下雨帳篷到”、“下雨帳篷未到”、“不下

雨帳篷未到”4種情況，而只有“下雨帳篷未到”時會淋雨，故淋雨的可能性為14.

8．將一顆骰子連續拋擲三次，它落地時向上的點數依次成等差數列的概率為( )

A.19 B.112

C.115 D.118

D解析：基本事件總數為216，點數構成等差數列包含的基本事件有(1,2,3)，(1,3,5)，(2,3,4)，(2,4,6)，(3,2,1)，(3,4,5)，(4,3,2)，(4,5,6)，(5,4,3)，(5,3,1)，(6,5,4)，(6,4,2)共12個，故求概率為P＝12216＝118.

9．設集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，分別從集合A和集合B中隨機取一個數a和b，確定平面上的一個點P(a，b)，記“點P(a，b)落在直線x＋y＝n上”為事件Cn(2≤n≤5，n∈N)，若事件Cn的概率最大，則N的所有可能值為( )

A．3 B．4

C．2和5 D．3和4

D解析：點P(a，b)的個數共有2×3＝6個，落在直線x＋y＝2上的概率P(C2)＝16；落在直線x＋y＝3上的概率P(C3)＝26；落在直線x＋y＝4上的概率P(C4)＝26；落在直線x＋y＝5上的概率P(C5)＝16，故選D.

10．連擲兩次骰子得到的點數分別為m，n，記向量a＝(m，n)與向量b＝(1，－1)的夾角為θ，則θ∈0，π2的概率是( )

A.512 B.12

C.712 D.56

C 解析：基本事件總數為36，由cosθ＝abab≥0得ab≥0，即m－n≥0，包含的基本事件有(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4) 高二，(6,5)，(6,6)共21個，故所求概率為P＝2136＝712.

11．在一張打方格的紙上投一枚直徑為1的硬幣，方格的邊長(方格邊長設為a)要多少才能使得硬幣與方格線不相交的概率小於1% ( )

A．a＞910 B．a＞109

C．1＜a＜109 D．0＜a＜910

C解析：硬幣與方格線不相交，則a＞1時，才可能發生，在每一個方格內，當硬幣的圓心落在邊長為a－1，中心與方格的中心重合的小正方形內時，硬幣與方格線不相交，故硬幣與方格線不相交的概率P＝(a－1)2a2.，由(a－1)2a2＜1%，得1＜a＜109.

12．集合A＝{(x，y)x－y－1≤0，x＋y－1≥0，x∈N}，集合B＝{(x，y)y≤－x＋5，x∈N}，先後擲兩顆骰子，設擲第一顆骰子得點數記作a，擲第二顆骰子得數記作b，則(a，b)∈A∩B的概率等於 ( )

A.14 B.29

C.736 D.536

B解析：根據二元一次不等式組表示的平面區域，可知A∩B對應如圖所示的陰影部分的區域中的整數點．其中整數點有(0,1)，(0,2)，(0,3)，(0,4)，(0,5)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)共14個．現先後拋擲2顆骰子，所得點數分別有6種，共會出現36種結果，其中落入陰影區域內的有8種，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)．所以滿足(a，b)∈A∩B的概率為836＝29，

二、填空題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分．

13．若實數x，y滿足x≤2，y≤1，則任取其中x，y，使x2＋y2≤1的概率為__________．

解析：點(x，y)在由直線x＝±2和y＝±1圍成的矩形上或其內部，使x2＋y2≤1的點(x，

y)在以原點為圓心，以1為半徑的圓上或其內部，故所求概率為P＝π4×2＝π8.

答案：π8

14．從所有三位二進制數中隨機抽取一個數，則這個數化為十進制數後比5大的概率是

________．

解析：三位二進制數共有4個，分別111(2), 110(2),101(2),100(2)，其中111(2)與110(2)化為十

進制數後比5大，故所求概率為P＝24＝12.

答案：12

15．把一顆骰子投擲兩次，第一次出現的點數記為m，第二次出現的點數記為n，方程

組mx＋ny＝3，2x＋3y＝2，只有一組解的概率是__________．

1718 解析：由題意，當m2≠n3，即3m≠2n時，方程組只有一解．基本事件總數為36，

滿足3m＝2n的基本事件有(2,3)，(4,6)共兩個，故滿足3m≠2n的基本事件數為34個，

故所求概率為P＝3436＝1718.

16．在圓(x－2)2＋(y－2)2＝8內有一平面區域E：x－4≤0，y≥0，mx－y≤0(m≥0)，點P是圓內的

任意一點，而且出現任何一個點是等可能的．若使點P落在平面區域E內的概率最

大，則m＝__________.

0 解析：如圖所示，當m＝0時，平面區域E的面積最大，

則點P落在平面區域E內的概率最大．

三、解答題：本大題共6小題，共70分．

17．(10分)某公司在過去幾年內使用某種型號的燈管1 000支，該公司對這些燈管的使用壽 命(單位：小時)進行了統計，統計結果如下表所示

分組 [500，900) [900，1 100) [1 1001 300) [1 300，1 500) [1 500，1 700) [1 700，1 900) [1 900，＋∞)

頻數 48 121 208 223 193 165 42

頻率[]

(1)將各組的頻率填入表中；

(2)根據上述統計結果，計算燈管使用壽命不足1 500小時的頻率；

(3)該公司某辦公室新安裝了這種型號的燈管15支，若將上述頻率作為概率，估計經過1 500小時約需換幾支燈管．

解析：

分組 [500，900) [900，1 100) [1 1001 300) [1 300，1 500) [1 500，1 700) [1 700，1 900) [1 900，＋∞)

頻數 48 121 208 223 193 165 42

頻率 0.048 0.121 0.208 0.223 0.193 0.165 0.042

(2)由(1)可得0.048＋0.121＋0.208＋0.223＝0.6，

所以，燈管使用壽命不足1 500小時的頻率是0.6.

(3)由(2)只，燈管使用壽命不足1 500小時的概率為0.6.

15×0.6＝9，故經過1 500小時約需換9支燈管．

18．(12分)袋中有大小、形狀相同的紅、黑球各一個，現有放回地隨機摸取3次，每次摸 取一個球．

(1)一共有多少種不同的結果？請列出所有可能的結果；

(2)若摸到紅球時得2分，摸到黑球時得1分，求3次摸球所得總分為5的概率．

解析：(1)一共有8種不同的結果，列舉如下：

(紅，紅，紅)、(紅，紅，黑)、(紅，黑，紅)、(紅，黑，黑)、

(黑、紅，紅)、(黑，紅，黑)、(黑，黑，紅)、(黑、黑、黑)．

(2)記“3次摸球所得總分為5”為事件A，

事件A包含的基本事件為：

(紅，紅，黑)、(紅，黑，紅)、(黑，紅，紅)．

事件A包含的基本事件數為3.

由(1)可知，基本事件總數為8，

所以事件A的概率為P(A)＝38.

19．(12分)將一顆質地均勻的正方體骰子(六個面的點數分別為1,2,3,4,5,6)先後拋擲兩次，記第一次出現的點數為a，第二次出現的點數為b.設複數z＝a＋bi.

(1)求事件“z－3i為實數”的概率；

(2)求事件“複數z在複平面內的對應點(a，b)滿足(a－2)2＋b2≤9”的概率．

解析：(1)z－3i為實數，

即a＋bi－3i＝a＋(b－3)i為實數，∴b＝3.

又b可取1,2,3,4,5,6，故出現b＝3的概率為16.

即事件“z－3i為實數”的概率為16.

(2)由已知，b的值只能取1,2,3.

當b＝1時，(a－2)2≤8，即a可取1,2,3,4；

當b＝2時，(a－2)2≤5，即a可取1,2,3,4；

當b＝3時，(a－2)2≤0，即a可取2.

綜上可知，共有9種情況可使事件成立．

又a，b的取值情況共有36種，

所以事件“點(a，b)滿足(a－2 )2＋b2≤9”的概率為14.

20．(12分)汶川地震發生後，某市根據上級要求，要從本市人民醫院報名參加救援的護理專家、外科專家、治療專家8名志願者中，各抽調1名專家組成一個醫療小組與省專家組一起赴汶川進行醫療求助，其中A1，A2，A3是護理專家，B1，B2，B3是外科專家，C1，C2是治療專家．

(1)求A1恰被選中的概率；

(2)求B1和C1不全被選中的概率．

解析：(1)從8名志願者中選出護理專家、外科專家、心理治療專家各1名，其一切可能的結果為：

(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)．共有18個基本事件．

用M表示“A1恰被選中 ”這一事件，則

M包括(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)．共有6個基本事件．

所以P(M)＝618＝13.

(2)用N表示“B1和C1不全被選中”這一事件，則 其對立事件N表示“B1和C1全被選中”這一事件，

由N包括(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)，共有3個基本事件，

所以P(N)＝318＝16，

由對立事件的概率公式得P(N)＝1－P(N)＝1－16＝56.

21．(12分)設關於x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.

(1)若a是從－4，－3，－2，－1四個數中任取的一個數，b是從1,2,3三個數中任取的一個數，求上述方程有實根的概率；

(2)若a是從區間[－4，－1]任取的一個數，b是從區間[1,3]任取的一個數，求上述方程有實根的概率．

解析：設事件A為“方程x2＋2ax＋b2＝0有實根”．

當a＜0，b＞0時，方程x2＋2ax＋b2＝0有實根的充要條件為a＋b≤0.

(1)基本事件共12個：(－4,1)，(－4,2)，(－4,3)，

(－3,1)，(－3,2)，(－3,3)，(－2,1)，(－2,2)，(－2,3)，(－1,1)，(－1,2)，(－1,3)．

其中第一個數表示a的取值，第二個數表示b的取值．事件A中包含9個基本事件，事件A發生的概率為

P(A)＝912＝34.

(2)試驗的全部結果所構成的區域為

{(a，b)－4≤a≤－1,1≤b≤3}，構成事件A的區域為{(a，b)－4≤a≤－1,1≤b≤3，a＋b≤0}，

所求概率為這兩區域面積的比．

所以所求的概率P＝3×2－12×223×2＝23.

22．(12分)某單位要在甲、乙、丙、丁4人中安排2人分別擔任週六、週日的值班任務(每人被安排是等可能的，每天只安排一人) ．

(1)共有多少種安排？

(2)其中甲、乙兩人都被安排的概率是多少？

(3)甲、乙兩人中至少有一人被安排的概率是多少？

解析：(1)安排情況如下：

甲乙，甲丙，甲丁，乙甲，乙丙，乙丁，丙甲，丙乙，丙丁，丁甲，丁乙，丁丙．故共有12種安排方法．

(2)甲、乙兩人都被安排的情況包括：“甲乙”，“乙甲”兩種，故甲、乙兩人都被安排(記為事件A)的概率為

P(A)＝212＝16.

(3)方法一：“甲、乙兩人中至少有一人被安排”與“甲、乙兩人都不被安排”這兩個事件是對立事件，∵甲、乙兩人都不被安排的情交包括：“丙丁”，“丁丙”兩種，則“甲、乙兩人都不被安排的概率為212＝16”．

∴甲、乙兩人中至少有一人被安排(記為事件B)的概率P(B)＝1－16＝56.

方法二：甲、乙兩人中至少有一人被安排的情況包括：“甲乙，甲丙，甲丁，乙甲，乙丙，乙丁，丙甲，丙乙，丁甲，丁乙”共10種，∴甲、乙兩人中至少有一人被安排(記為事件B)的概率P(B)＝1012＝56.

高三數學教案 平面向量的解題技巧

教案 平面向量的解題技巧

1.這部分內容中所佔分數一般在10分左右.

2.題目類型為一個選擇或填空題,一個與其他綜合的解答題.

3.考查內容以向量的概念、運算、數量積和模的運算為主.

【考點透視】

"平面向量"是新課程新增加的內容之一,大學聯考每年都考,題型主要有選擇題、填空題,也可以與其他知識相結合在解答題中出現,多以低、中檔題為主.

透析高題,知命題熱點為:

1.向量的概念,幾何表示,向量的加法、減法,實數與向量的積.

2.平面向量的座標運算,平面向量的數量積及其幾何意義.

3.兩非零向量平行、垂直的充要條件.

4.圖形平移、線段的定比分點座標公式.

5.由於向量具有"數"與"形"雙重身份,加之向量的工具性作用,向量經常與數列、三角、解析幾何、立體幾何等知識相結合,綜合解決三角函數的化簡、求值及三角形中的有關問題,處理有關長度、夾角、垂直與平行等問題以及圓錐曲線中的典型問題等.

6.利用化歸思想處理共線、平行、垂直問題向向量的座標運算方面轉化,向量模的運算轉化為向量的運算等;利用數形結合思想將幾何問題代數化,通過代數運算解決幾何問題.

【例題解析】

1. 向量的概念,向量的基本運算

(1)理解向量的概念,掌握向量的幾何意義,瞭解共線向量的概念.

(2)掌握向量的加法和減法.

(3)掌握實數與向量的積,理解兩個向量共線的充要條件.

(4)瞭解平面向量的基本定理,理解平面向量的座標的概念,掌握平面向量的座標運算.

(5)掌握平面向量的數量積及其幾何意義,瞭解用平面向量的數量積可以處理有關長度、角度和垂直的問題,掌握向量垂直的條件.

(6)掌握平面兩點間的距離公式.

例1(2007年北京卷理)已知 是 所在平面內一點, 為 邊中點,且 ,那麼( )

A. B. C. D.

命題意圖:本題考查能夠結合圖形進行向量計算的.

解:

故選A.

例2.(2006年安徽卷)在 中, ,M為BC的中點,則 ______.(用 表示)

命題意圖: 本題主要考查向量的加法和減法,以及實數與向量的積.

解: , ,所以, .

例3.(2006年廣東卷)如圖1所示,D是△ABC的邊AB上的中點,則向量 ( )

(A) (B)

(C) (D)

命題意圖: 本題主要考查向量的加法和減法運算能力.

解: ,故選A.

例4. ( 2006年重慶卷)與向量 = 的夾解相等,且模為1的向量是 ( )

(A) (B) 或

(C) (D) 或

命題意圖: 本題主要考查平面向量的座標運算和用平面向量處理有關角度的問題.

解:設所求平面向量為 由

另一方面,當

當

故平面向量 與向量 = 的夾角相等.故選B.

例5.(2006年天津卷)設向量 與 的夾角為 ,且 , ,則 __.

命題意圖: 本題主要考查平面向量的座標運算和平面向量的數量積,以及用平面向量的數量積處理有關角度的問題.

解:

例6.(2006年湖北卷)已知向量 , 是不平行於 軸的單位向量,且 ,則 = ()

(A) (B) (C) (D)

命題意圖: 本題主要考查應用平面向量的座標運算和平面向量的數量積,以及方程的思想解題的能力.

解:設 ,則依題意有

故選B.

例7.設平面向量 、 、 的和 .如果向量 、 、 ,滿足 ,且 順時針旋轉 後與 同向,其中 ,則( )

(A) (B)

(C) (D)

命題意圖: 本題主要考查向量加法的幾何意義及向量的模的夾角等基本概念.

常規解法:∵ ,∴ 故把2 (i=1,2,3),分別按順時針旋轉30 後與 重合,故 ,應選D