數學思想方法的重大突破分析

一、機器證明的必要性和可能性

定理機器證明的出現不是偶然的，而是有其客觀必然性，它既是電子計算機和人工智能發展的產物，也是數學自身發展的需要。

首先，現代數學的發展迫切需要把數學家從繁難的邏輯推演中解放出來。我們知道，任何數學命題的確立都需要嚴格的邏輯證明，而數學命題的證明是一種極其複雜而又富有創造性的思維活動，它不僅需要根據已有知識和給定條件進行邏輯推理的能力，而且常常需要相當高的技巧、靈感和洞察力。有時為尋找一個定理的證明，還需要開拓一種全新的思路，而這種思路的形成竟要數學家們付出幾十年、幾百年乃至上千年的艱苦努力。如果把定理的證明交給計算機去完成，那就可以使數學家從宂長繁難的邏輯推演中解放出來，從而可以把精力和聰明才智更多地用於富有開創性的工作，諸如建立新的數學概念，提出新的數學猜想，構造新的數學命題，創造新的數學方法，開闢新的數學領域等等，由此提高數學創造的效率。

其次，機器證明的必要性，還表現在數學中存在着大量傳統的單純人腦支配手工操作的研究方法難以奏效的證明問題。這些問題往往因為證明步驟過於宂長，工作量十分巨大，使數學家在有生之年無法完成。電子計算機具有信息儲存量大，信息加工及變換的速度快等優越性，這就突破了人腦生理機制的侷限性與時空障礙。也就是説，如果藉助電子計算機的優勢就有可能使某些複雜繁難的證明問題得以解決。“四色猜想”的證明就是一個令人信服的範例。“四色猜想”提出於19世紀中葉，它的內容簡單説來就是：對於平面或球面的任何地圖，用四種顏色，就可使相鄰的國家或地區區分開。沿着傳統的手工式證明的道路，數學家們做了各種嘗試，結果都未能奏效。直到1976年，由於藉助於電子計算機才解決了這道百年難題。為證明它，高速電子計算機花費了120個機器小時，完成了300多億個邏輯判斷。如果這項工作由一個人用手工去完成，大約需要30萬年。

第三，機器證明的可能性，從認識論上看，是由創造性工作和非創造性工作之間的關係決定的。我們知道，在定理的證明過程中，既有創造性思維活動，又有非創造性思維活動，而思維活動中的創造性工作和非創造性工作並不是完全割裂的，而是互為前提、相互制約、相互轉化的，非創造性工作是創造性工作的基礎，創造性工作又可以通過某種途徑部分地轉化為非創造性工作。當我們通過算法程序把定理證明中的創造性工作轉化為非創造性工作之後，也就有可能把定理的證明交給計算機去完成。

第四，理論上的研究已經表明，的確有不少類型的定理證明可以機械化，可以放心地讓計算機去完成。希爾伯特和塔爾斯基的機械化定理，就是對定理證明機械化可能性的一種理論探討。吳文俊教授對幾何定理證明機械化的可能性曾作過深入的研究。他將可施行機械化證明的實現劃分為三種不同的類型，並給出了實現機器證明的一個行之有效的一般方法。這個一般化方法的基本思想是：首先借助座標系，把定理的假設與求證部分用一些代數關係式來表示，然後再把表示代數關係的多項式做適當處理，即把終結多項式中的座標逐個消去，當消去的結果為零時，定理也就得證。

目前，機器證明作為數學研究的一種方法，還存在着許多理論和技術上的問題，這些問題的解決將有待於算法理論、計算機科學和人工智能等各個領域出現新的重大突破。

二、機器證明的興起和進展

機器證明的思想淵源可追溯到幾何代數化思想的出現，然而歷史上最先從理論上明確提出定理證明機械化思想的是希爾伯特。1899年，他在《幾何基礎》這部經典名著中指出，初等幾何中只涉及從屬平行的定理可以實現證明的機械化，他還提出了有名的“希爾伯特機械化定理”。希爾伯特的幾何機械化思想遵循的就是一條几何代數化的道路：從公理系統出發，建立座標系，引進數系統，把幾何定理的證明轉化為代數式的計算。這是一條從公理化走向代數化直至數值化的.道路。1950年，波蘭數理邏輯學家塔爾斯基進一步從理論上證明，初等代數和初等幾何的定理可以機械化。他還提出了以他的名字命名的機械化定理以及製造證明機的設想。

機器證明史上的第一項奠基性的突破，是由美國的卡內基大學—蘭德公司協作組做出的。1956年，這個協作組的西蒙、紐厄爾和肖烏等人在電子計算機上成功地證明了羅素和懷特海所著的《數學原理》第二章52條定理中的38條。這一年可作為歷史上計算機證明定理的開端。1963年，他們又在計算機上證明了全部52條定理，西蒙等人使用的是LT（邏輯理論機）程序。這種程序不是刻板的固定算法程序，而是使用了心理學方法，將人腦在進行演繹推理時的邏輯過程、所遵循的一般規則和所經常採用的策略、技巧，以及簡化步驟的一些方法等編進計算機程序，讓計算機具有自己去探索解題途徑的某種能力。這一程序為機器證明提供了一個切實可行的算法，通常稱它為“啟發式程序”。

在機器證明的開拓者中，還有著名的美籍華人王浩教授。1959年，他只用9分鐘的機器時間，就在計算機上證明了羅素和懷特海《數學原理》一書中的一階邏輯部分的全部定理350多條，在當時數學界引起了轟動。

改進算法程序是提高機器證明效率的一個重要方面。在這方面，美國數學家魯濱遜首先取得了重大突破。1965年，他提出了有名的歸結原理。這一原理的基本出發點是，要證明任何一個命題為真，都可以通過證明其否定為假來得到。它要求把問題用一階邏輯表示出來，並且變為只具有永真式或永假式性質的公式。由於許多定理都可以在一階邏輯中得到表示，因而這一程序具有較大的實用性，對提高機器證明的效率有着重要的方法論意義，大大地推動了機器證明的研究。

70年代，機器證明得到新的重大進展。1976年，美國數學家阿佩爾和黑肯藉助計算機成功地解決“四色猜想”的證明問題。這是機器證明首次解決傳統人腦支配手工操作所長期沒能解決的重大問題。1971-1977年間，萊得索等人給出了分析拓樸學和集合論方面的一些著名定理的機器證明。1979年，波依爾和穆爾等人作出了遞歸函數方面的機器證明系統。

我國數學家在機器證明研究上取得了顯著的成果，引起了國內外學術界的關注。1977年，吳文俊教授證明了初等幾何主要一類定理的證明可以機械化。1980年，他還用一部微機在20和60個機器小時左右分別發現了兩個幾何學的新定理。吉林大學和武漢大學的研究人員也在定理的機器證明方面取得了許多可喜的成果。

上面我們考察和分析了數學史上發生的6次重大突破。除了這6次重大突破外，還有許多重大事件也都具有一定的突破性，它們都不同程度地帶來了數學思想方法的重大變化。如非歐幾何的發現，羣論的產生，勒貝格積分的建立，突變理論的出現，非標準分析的誕生，就是這樣的事件。現代科學技術革命的興起，向數學提出了一系列新的重大課題，可以預想，對這些課題的探討，必將會引起數學在思想方法上發生新的重大突破，使數學的面貌發生新的改觀。