重大突破思想方法常量變量學到數學

數學思想方法的重大突破從常量數學到變量數學

文章摘要：17世紀對於數學發展具有重大意義的事件，除了解析幾何開闢了幾何代數化這一新的方向外，還有微積分的創立使常量數學過渡到變量數學。從常量數學到變量數學，是數學思想方法的又一次重大突破。

【編者按】數學的發展並不是一些新概念、新命題、新方法的簡單積累，它包含着數學本身許多根本的變化，也即質的飛躍。歷史上發生的數學思想方法的幾次重大突破，就充分説明了這一點。

17世紀對於數學發展具有重大意義的事件，除了解析幾何開闢了幾何代數化這一新的方向外，還有微積分的創立使常量數學過渡到變量數學。從常量數學到變量數學，是數學思想方法的又一次重大突破。

一、變量數學產生的歷史背景

變量數學是相對常量數學而言的數學領域。常量數學的對象主要是固定不變的圖形和數量，它包括算術、初等代數、初等幾何和三角等分支學科。常量數學是描述靜態事物的有力工具，可是，對於描述事物的運動和變化卻是無能為力的。因此，從常量數學發展到變量數學，就成為歷史的必然了。

變量數學之所以產生於17世紀，是有其特定的歷史背景的。

從自然科學的發展來看，變量數學是在回答16、17世紀自然科學提出的大量數學問題過程中，醖釀和創立起來的。我們知道，隨着歐洲封建社會的解體和資本主義工廠手工業向機器大生產的過渡，自然科學開始從神學的桎梏下解放出來，大踏步地前進。這時，社會生產和自然科學向數學提出了一系列與運動變化有關的新問題。這些新問題，大體可以分為以下五種類型。

第一類問題是描述非勻速運動物體的軌跡。如行星繞日運動的軌跡、各種拋射物體的運動軌跡。

第二類問題是求變速運動物體的速度、加速度和路程。如已知變速運動物體在某段時間內經過的路程，求物體在任意時刻的速度和加速度，或反過來由速度求路程。

第三類問題是求曲線在任一點的切線。如光線在曲面上的反射角問題，運動物體在其軌跡上任一點的運動方向問題。

第四類問題是求變量的極值。如斜拋物體的最大水平距離問題，行星繞日運動的近日點和遠日點問題。

第五類問題是計算曲線長度、曲邊形面積、曲面體體積、物體的重心以及大質量物體之間的引力等。

上述各類問題儘管內容和提法不同，但從思想方法上看，它們有一個共同的特徵，就是要求研究變量及其相互關係。這是16、17世紀數學研究的中心課題，正是對這個中心課題的深入研究，最終導致了變量數學的產生。

從數學的發展來看，變量數學的基礎理論-微積分，早在微積分誕生之前的二千多年，就已經有了它的思想萌芽。

公元前5世紀，希臘學者德漠克利特為解決不可公度問題，創立起數學的原子論。它的基本思想是：直線可分為若干小線段，小線段又可再分更小的線段，直至成為點而不可再分，故稱點為直線的數學原子即不可分量。平面圖形同樣可以如此分下去，使得線段成為平面圖形的數學原子。利用數學原子概念，德漠克利特求得錐體的體積等於等底等高圓柱的1/3.

公元前4世紀，希臘學者歐道克斯在前人工作的基礎上，創立了求曲邊形面積和曲面體體積的一般方法-窮竭法。運用此法，他成功地證明了“圓面積與直徑的平方成正比例”和“球體積與其直徑的立方成比例”等命題。

微積分的早期先驅者主要是阿基米德，他繼承和發展了窮竭法，並應用這一方法解決了諸如拋物線弓形等許多複雜的曲邊形面積。繼阿基米德之後，微積分的思想方法逐漸成熟起來，其中作出重大貢獻的有開普勒、伽利略、卡瓦列利、華利斯、笛卡兒、費爾馬和巴羅等人。巴羅甚至接觸到了微積分的基本原理-微分和積分的互逆關係。

總之，變量數學的產生不僅有其特定的生產和自然科學背景，而且也是數學自身矛盾運動的必然結果。它是經過相當長時間的醖釀，在16、17世紀生產和自然科學需要的刺激下，經過許多人的努力而準備好由“潛”到“顯”過渡的條件的。

二、變量數學的創始及其意義

變量數學由“潛”到“顯”的過渡經歷了兩個具有決定性的重大步驟：一是解析幾何的產生，二是微積分的創立。前者為變量數學的創始提供了直接的前提，後者是變量數學創始的主要標誌。

微積分的主要創始人是牛頓和萊布尼茨。他們最大的功績是明確地提出了微分法和積分法，並把兩者有機結合起來，建立了微積分的基本原理（牛頓-萊布尼茨公式）。

牛頓主要是從運動學來研究和建立微積分的。他的微積分思想最早出現在1665年5月20日的一頁文件中，這一天可做為微積分誕生的日子。他稱連續的變量為“流動量”，用符號x、y、z等字母表示，稱它們的導數為“流數”，用加小點的字母來表示，如x、y、z等，稱微分為“瞬”。

萊布尼茨是從幾何學的角度創立微積分的。他的微積分思想最先出現在1675年的手稿之中，他所發明的微積分符號，遠遠優於牛頓的符號，對微積分後來的發展有重大的影響。現今通用的符號dx、dy、∫等，就是萊布尼茨當年精心選擇和創設的。

繼牛頓和萊布尼茨之後，18世紀對微積分的創立和發展作出卓越貢獻的有歐拉、伯努利家族、泰勒、馬克勞林、達朗貝爾、拉格朗日等人。17、18世紀的數學，幾乎讓微積分佔據了主導地位，絕大部分的數學家都被這一新興的學科所吸引，可見微積分產生意義之重大。

變量數學創始的兩個決定性步驟都是在17世紀完成的，因此17世紀也就成了常量數學向變量數學轉變的時期。變量數學的產生，是數學史乃至整個科學史的一件大事。它來自於生產技術、自然科學發展的需要以及數學自身的矛盾運動，又回過頭來對生產技術、自然科學以及數學自身的發展產生巨大而深遠的影響。

首先，變量數學的產生，為自然科學描述現實世界的各種運動和變化提供了有效的工具。我們知道，在現實世界中，“靜”和“不變”總是暫時的、相對的，“動”和“變”則是永恆的、絕對的。“整個自然界，從最小的東西到最大的東西，從沙粒到太陽，從原生生物到人，都處於永恆的產生和消滅中，處於不斷的流動中，處於無休止的運動和變化中。”可見，自然科學的對象是運動變化着的物質世界，變量數學的產生，為自然科學精確地描述物質世界的運動、變化規律提供了不可缺少的工具。變量數學對於現代生產技術、自然科學的發展，就像望遠鏡對於天文學、顯微鏡對於生物學的發展一樣重要。假設沒有變量數學，現代物質文明建設將是不可想象的事。

其次，變量數學的產生，帶來了數學自身的巨大進步。變量數學是從常量數學發展的基礎上出現的，它的產生又反過來深深影響了常量數學的發展，特別是常量數學的各個分支學科由於變量數學的滲透而在內容上得到極大的豐富，在思想方法上發生一連串深刻的變革，並由此產生出許多新的分支學科。解析數論和微分幾何等分支學科，就是變量數學的思想方法向傳統數論和傳統幾何滲透的產物。就變量數學本身而言，由於它在生產技術和自然科學中有着廣泛的應用，所以它一產生出來就得到蓬勃而迅速的發展，並由此相繼派生出許多新的分支學科，逐漸形成一個龐大的體系，如級數論、常微分方程論、偏微分方程論、差分學、複變函數論、實變函數論、積分方程、泛函分析等。總之，變量數學無論從內容、思想方法上，還是從應用的範圍上，很快就在整個數學中佔據了主導地位，長時期以來一直規定和影響着近、現代數學發展的方向。

此外，變量數學的產生還有着深遠的哲學意義。眾所周知，變量數學的許多基本概念，諸如變量、函數、導數和微分，以及微分法和積分法，從哲學上看，不外是辯證法在數學中的運用，而且是辯證法在數學中取得的一次根本性勝利。正因為如此，革命導師馬克思和恩格斯十分重視微積分概念和運算的歷史演變，並對其進行了深刻而精闢的哲學分析。馬克思在他的《數學手稿》中，運用唯物辯證法的基本觀點，詳細考察了微積分思想的歷史演變過程，深刻揭示了微分概念和運算的辯證實質，還總結分析了不同學術觀點的論爭對於微分學發展的積極作用。恩格斯在他的《自然辯證法》一書中，闡述了微積分產生的重大意義，指出“在一切理論成就中，未必再有什麼像17世紀下半葉微積分的發明那樣被看作人類精神的最高勝利了。”他還針對微積分概念的“神祕性”，給出了微積分概念直觀的現實原型，指出“自然界運用這些微分即分子時所使用的方式和所依據的規律，完全和數學運用其抽象的微分時的方式和規律相同。”由此可見，變量數學的產生使數學更加成為“辯證的輔助工具和表現方式”，又一次為辯證法的普適性從數學上提供了生動而有力的例證。

數學思想方法的重大突破從必然數學到或然數學

文章摘要：在現實世界中存在着兩類性質截然不同的現象：一類是必然現象，另一類是或然現象。描述和研究必然現象的量及其關係的數學部分，稱為必然數學；描述和研究或然現象的量及其關係的數學部分，稱為或然數學。從必然數學到或然數學，是數學研究對象的一次顯著擴張，也是數學思想方法的又一次重大突破。…

在現實世界中存在着兩類性質截然不同的現象：一類是必然現象，另一類是或然現象。描述和研究必然現象的量及其關係的數學部分，稱為必然數學；描述和研究或然現象的量及其關係的數學部分，稱為或然數學。從必然數學到或然數學，是數學研究對象的一次顯著擴張，也是數學思想方法的又一次重大突破。

一、或然數學的現實基礎

或然數學的對象是或然現象。所謂或然現象，是指這樣的一類現象：它在一定條件下可能會引起某種結果，也可能不引起這種結果。也就是説，在或然現象中，條件和結果之間不存在必然性的聯繫。例如，投擲一枚硬幣，可能出現正面，也可能出現反面。

與或然現象不同，在必然現象中，只要條件具備，某種結果就一定會發生，即條件和結果之間存在着必然性聯繫。因此，對於必然現象，可由條件預知結果如何。這一點正是必然數學的現實基礎。例如，當我們用微分方程來定量描述某些必然現象的運動和變化過程時，只要建立起相應的微分方程式，並給定問題的初始條件，就可以通過求解微分方程預知未來某時刻這種現象的狀態。19世紀英國天文學家亞當斯藉助微分方程預言海王星的存在及其在天空中的位置，就是典型的一例。

由於或然現象的條件和結果之間不存在必然性的聯繫，因此無法用必然數學來加以精確的定量描述。例如，投擲一枚質量均勻的硬幣，要想預先準確計算出它一定會出現正面或一定會出現反面，是不可能的。但是，這並不意味着或然現象不存在着數量規律，也不意味着不能從量上來描述和研究或然現象的規律。

從表面上看，或然現象是雜亂無章的，無任何規律可談，但如果仔細考察，就會發現當同類的或然現象大量重複出現時，它在總體上將會呈現出某種規律性。

例如，一個充有有量氣體分子的容器，就單個分子而言，它的運動速度和方向帶有明顯的或然性，每個分子對器壁的壓力大小也具有或然性，因而難以對“速度”、“壓力”作以定量分析。然而，實踐卻表明，就全體分子對器壁的壓力而言，器壁所受的總壓力卻是一個確定的值，即大量氣體分子的運動在總體上呈現出一種規律性。同樣，當多次重複地投擲一枚質量均勻的硬幣時，將會發現出現正面的次數與總投擲次數之比總是在1/2左右擺，而且隨着投擲次數的增加，這個比越來越接近1/2.

大量同類或然現象所呈現出來的集體規律性，叫做統計規律性。這種統計規律性的存在，就是或然數學的現實基礎。

統計規律性是基於大量或然現象而言的。這裏的“大量”包含兩層意思：其一是某一或然現象在相同的條件下多次甚至無限地重複出現，如多次投擲硬幣，連續發射炮彈，連日觀測氣温等。其二是眾多的同類或然現象同時發生，如容器內的氣體分子，電子束中的電子，小麥的催芽試驗等。

由於統計規律是一種宏觀性的、總體性的規律，不同於單個事物或現象表現出那種“微觀性”的規律，因此或然數學在研究方法上有其自身的特殊性。統計方法就是它的一種基本研究方法。統計方法的基本思想是：從一組樣本分析、判斷整個對象系統的性質和特徵。統計方法的邏輯依據是“由局部到整體”、“由特殊到一般”，是歸納推理在數學上的一種具體應用。

二、或然數學的產生和發展

概率論是或然數學的一門基礎理論，也是歷史上最先出現的或然數學的分支學科。它的創立可作為或然數學產生的標誌。

概率論創立於17世紀，但它的思想萌芽至少可追溯到16世紀。在自然界和社會生活中存在着各種各類的或然現象，但最先引起數學家們注意的則是中的問題。16世紀意大利數學家卡當曾計算過擲兩顆或三顆骰子時，在所有可能方法中有多少種方法能得到某一預想的總點數。他的研究成果集中體現在他的《論》一書中。由於中的概率問題最為典型，因此，從這類問題着手研究或然現象的數量規律，便成為當時數學研究的一個重要課題。

促使概率論產生的直接動力是社會保險事業的需要。17世紀資本主義工業與商業的興起和發展，使社會保險事業應運而生。這就刺激了數學家們對概率問題研究的興趣，因為保險公司需要計算各種意外事件發生的概率，如火災、水災和死亡等。由於概率論的思想與方法在保險理論、人口統計、射擊理論、財政預算、產品檢驗以及醫學、物理學和天文學中有着廣泛的應用，因此，它很快就成為許多數學家認真探討的一個研究領域。作為數學的一個分支學科，它是經17世紀許多數學家之手創立起來的。其中作出突出貢獻的有帕斯卡、費爾馬、惠更斯和雅各·伯努利等人。

概率論的許多重要定理是在18世紀提出和建立起來的。例如，棣美佛在他的《機會的學問》一書中，提出了著名的“棣美佛—拉普拉斯中心極限定理”的一種特殊情況。拉普拉斯提出了這一定理的一般情況，他撰寫的兩部著作《分析概率論》和《概率的哲學探討》，具有重要的理論和應用價值。蒲豐在其《或然算術試驗》一書中，提出了有名的“蒲豐問題”，對這一問題的研究，後來導致了著名的蒙特卡洛方法的產生。高斯和泊松也對概率論作出了重要貢獻，高斯奠定了最小二乘法和誤差理論的基礎，泊松提出了一種重要的概率分佈—泊松分佈。

從19世紀末開始，隨着生產和科學技術中的概率問題的大量出現，概率論得到迅速發展，並不斷地派生出一系列新的分支理論。俄國的馬爾科夫創立的馬爾科夫過程論，在原子物理、理論物理、化學和公共事業等方面有着廣泛的應用。此外，還有平穩隨機過程論、隨機微分方程論、多元分析、試驗分析、概率邏輯、數理統計、統計物理學、統計生物學、統計醫學等等。目前，或然數學已成為具有眾多分支的龐大數學部門，它仍處在發展之中，它的理論和方法在科學技術、工農業生產、國防和國民經濟各部門日益得到更加廣泛的應用。

數學思想方法的重大突破從明晰數學到模糊數學

文章摘要：20世紀60年代，隨着現代科學技術的發展，數學領域又產生出了一支新秀-模糊數學。模糊數學無論在研究對象還是在思想方法上，都與已有的數學有着質的不同。它的產生不僅極大地拓展了數學的研究範圍，而且帶來了數學思想方法的一次重大突破。…

20世紀60年代，隨着現代科學技術的發展，數學領域又產生出了一支新秀-模糊數學。模糊數學無論在研究對象還是在思想方法上，都與已有的數學有着質的不同。它的產生不僅極大地拓展了數學的研究範圍，而且帶來了數學思想方法的一次重大突破。

一、模糊數學產生的背景

模糊數學是在特定的歷史背景中產生的，它是數學適應現代科學技術需要的產物。

首先，現實世界中存在着大量模糊的量，對這類量的描述和研究需要一種新的數學工具。我們知道，現實世界中的量是多種多樣的，如果按着界限是否分明，可把這無限多樣的量分為兩類：一類是明晰的，另一類是模糊的。實踐表明，在自然界、生產、科學技術以及生活中，模糊的量是普遍存在的。例如“高壓”、“低温”、“偏上”、“適度”、“附近”、“美麗”、“温和”、“老年”、“健康”等等。這些概念作為現實世界事物和現象的狀態反映，在量上是沒有明晰界限的。

模糊數學產生之前的數學，只能精確地描述和研究那些界限分明的量，即明晰的量，把它們用於描述和研究模糊的量就失效了。對那些模糊的量，只有用一種“模糊”的方法去描述和處理，才能使結果符合實際。因此，隨着社會實踐的深化和科學技術的發展，對“模糊”數學方法進行研究也就成為十分必要的了。

其次，電子計算機的發展為模糊數學的誕生準備了搖籃。自本世紀40年代電子計算機問世以來，電子計算機在生產、科學技術各領域的應用日益廣泛。電子計算機發展的一個重要方向是模擬人腦的思維，以便能處理生物系統、航天系統以及各種複雜的社會系統。而人腦本身就是一種極其複雜的系統。人腦中的思維活動之所以具有高度的靈活性，能夠應付複雜多變的環境，一個重要原因是邏輯思維和非邏輯思維同時在起作用。一般説來，邏輯思維活動可用明晰數學來描述和刻畫，而非邏輯思維活動卻具有很大的模糊性，無法用明晰數學來描述和刻劃。因此，以二值邏輯為理論基礎的電子計算機，也就無法真實地模擬人腦的思維活動，自然也就不具備人腦處理複雜問題的能力。這對電子計算機特別是人工智能的發展，無疑是一個極大的障礙。為了把人的自然語言算法化並編入程序，讓電子計算機能夠描述和處理那些具有模糊量的事物，從而完成更為複雜的工作，就必須建立起一種能夠描述和處理模糊的量及其關係的數學理論。這就是模糊數學產生的直接背景。

模糊數學的創立者是美國加利福尼亞大學的札德教授。為了改進和提高電子計算機的功能，他認真研究了傳統數學的基礎-集合論。他認為，要想從根本上解決電子計算機發展與數學工具侷限性的矛盾，必須建立起一種新的集合理論。1965年，他發表了題為《模糊集合》的論文，由此開拓出了模糊數學這一新的數學領域。

二、模糊數學的理論基礎

明晰數學的理論基礎是普通集合論，模糊數學的理論基礎則是模糊集合論。札德也正是從模糊集合論着手，建立起模糊數學的。

模糊集合論與普通集合論的根本區別，在於兩者賴以存在的基本概念-集合的意義不同。普通集合論的基本概念是普通集合即明晰集合。對於這種集合，一個事物與它有着明確的隸屬關係，要麼屬於這個集合，要麼不屬於這個集合，兩者必居其一，不可模稜兩可。如果用函數關係式表示，可寫成

這裏的A(u)稱為集合A的特徵函數。特徵函數的邏輯基礎是二值邏輯，它是對事物“非此即彼”狀態的定量描述，但不能用於刻劃某些事物在中介過渡時所呈現出的“亦此亦彼”性。例如，取A為老年人集合，u為一個年齡為50歲的人，我們拿不出什麼令人信服的理由來確定A(u)的值是1還是0.這正是普通集合論的侷限之所在。

與普通集合不同，模糊集合的邏輯基礎是多值邏輯。對於這種集合，一個事物與它沒有“屬於”或“不屬於”這種絕對分明的隸屬關係，因而也就不能用特徵函數A(u)來描述。那麼，怎樣才能定量地描述模糊集合的性質和特徵呢?模糊集合論的創立者札德給出了隸屬函數的概念，用以代替普通集合論中的特徵函數概念。隸屬函數的實質，是將特徵函數由二值{0，1｝推廣到[0，1]閉區間上的任意值。通常把隸屬函數表示為μ(u)，它滿足

0≤μ(u)≤1（或記作μ(u)∈[0，1]）

有了隸屬函數概念，就可給模糊集合下一個準確的定義了。札德在1965年的論文中給出瞭如下的定義：

隸屬函數的選取是一個較為複雜的問題，目前還沒有一個固定和通用的模式，它依問題的不同可以有不同的表達形式。在許多情況下，它是憑藉經驗或統計分析確定的。

例如，某小組有五名同學，記作u1，u2，u3，u4，u5，取論域.現在取為由“性格穩重”的同學組成的集合，顯然這是一個模糊集合。為確定每個同學隸屬於的程度，我們分別給每個同學的性格穩重程度打分，按百分制給分，再除以100.

這裏實際上就是求隸屬函數，如果打分的結果是

u1得85分，u2得75分，u3得98分，u4得30分，u5得60分

那麼隸屬函數的值應是

可表示為

還可表示為

或

普通集合與模糊集合有着內在的聯繫，這可由特徵函數A(u)和隸屬函數的關係來分析。事實上，當隸屬函數只取[0,1]閉區間的兩端點值0，1時，隸屬函數也就退化為特徵函數A(u)，從而模糊子集也就轉化為普通集合A.這就表明普通集合是模糊集合的特殊情況，模糊集合是普通集合的推廣，它們既相互區別，又相互聯結，而且在一定條件下相互轉化。正因為有此內在的聯繫，決定了模糊數學可以廣泛地使用明晰數學的方法，從明晰數學到模糊數學存在着由此達彼的橋樑。

模糊數學作為一門新興的數學學科，雖然它的歷史很短，但由於它是在現代科學技術迫切需要下應運而生的，因而對於它的研究，無論是基礎理論還是實際應用，都得到了迅速的發展。

就其基礎理論而言，模糊數學研究的課題已涉及到廣泛的範圍，如模糊數、模糊關係、模糊矩陣、模糊圖、模糊映射和變換、模糊概率、模糊判斷、模糊規劃、模糊邏輯、模糊識別和模糊控制等。

在應用方面，模糊數學的思想與方法正在廣泛滲透到科學和技術的各個領域，如物理學、化學、生物學、醫學、心理學、氣象學、地質學、經濟學、語言學、系統論、信息論、控制論和人工智能等。同時，在工農業生產的許多部門已取得明顯的社會效益。

數學思想方法的重大突破從手工證明到機器證明

文章摘要：機器證明是20世紀50年代開始興起的一個數學領域，也是現代人工智能發展的一個重要方向。從傳統的手工證明到定理的機器證明，是現代數學思想方法的一次重大突破。

機器證明是20世紀50年代開始興起的一個數學領域，也是現代人工智能發展的一個重要方向。從傳統的手工證明到定理的機器證明，是現代數學思想方法的一次重大突破。

一、機器證明的必要性和可能性

定理機器證明的出現不是偶然的，而是有其客觀必然性，它既是電子計算機和人工智能發展的產物，也是數學自身發展的需要。

首先，現代數學的發展迫切需要把數學家從繁難的邏輯推演中解放出來。我們知道，任何數學命題的確立都需要嚴格的邏輯證明，而數學命題的證明是一種極其複雜而又富有創造性的思維活動，它不僅需要根據已有知識和給定條件進行邏輯推理的能力，而且常常需要相當高的技巧、靈感和洞察力。有時為尋找一個定理的證明，還需要開拓一種全新的思路，而這種思路的形成竟要數學家們付出幾十年、幾百年乃至上千年的艱苦努力。如果把定理的證明交給計算機去完成，那就可以使數學家從宂長繁難的邏輯推演中解放出來，從而可以把精力和聰明才智更多地用於富有開創性的工作，諸如建立新的數學概念，提出新的數學猜想，構造新的數學命題，創造新的數學方法，開闢新的數學領域等等，由此提高數學創造的效率。

其次，機器證明的必要性，還表現在數學中存在着大量傳統的單純人腦支配手工操作的研究方法難以奏效的證明問題。這些問題往往因為證明步驟過於宂長，工作量十分巨大，使數學家在有生之年無法完成。電子計算機具有信息儲存量大，信息加工及變換的速度快等優越性，這就突破了人腦生理機制的侷限性與時空障礙。也就是説，如果藉助電子計算機的優勢就有可能使某些複雜繁難的證明問題得以解決。“四色猜想”的證明就是一個令人信服的範例。“四色猜想”提出於19世紀中葉，它的內容簡單説來就是：對於平面或球面的任何地圖，用四種顏色，就可使相鄰的國家或地區區分開。沿着傳統的手工式證明的道路，數學家們做了各種嘗試，結果都未能奏效。直到1976年，由於藉助於電子計算機才解決了這道百年難題。為證明它，高速電子計算機花費了120個機器小時，完成了300多億個邏輯判斷。如果這項工作由一個人用手工去完成，大約需要30萬年。

第三，機器證明的可能性，從認識論上看，是由創造性工作和非創造性工作之間的關係決定的。我們知道，在定理的證明過程中，既有創造性思維活動，又有非創造性思維活動，而思維活動中的創造性工作和非創造性工作並不是完全割裂的，而是互為前提、相互制約、相互轉化的，非創造性工作是創造性工作的基礎，創造性工作又可以通過某種途徑部分地轉化為非創造性工作。當我們通過算法程序把定理證明中的創造性工作轉化為非創造性工作之後，也就有可能把定理的證明交給計算機去完成。

第四，理論上的研究已經表明，的確有不少類型的定理證明可以機械化，可以放心地讓計算機去完成。希爾伯特和塔爾斯基的機械化定理，就是對定理證明機械化可能性的一種理論探討。吳文俊教授對幾何定理證明機械化的可能性曾作過深入的研究。他將可施行機械化證明的實現劃分為三種不同的類型，並給出了實現機器證明的一個行之有效的一般方法。這個一般化方法的基本思想是：首先借助座標系，把定理的假設與求證部分用一些代數關係式來表示，然後再把表示代數關係的多項式做適當處理，即把終結多項式中的座標逐個消去，當消去的結果為零時，定理也就得證。

目前，機器證明作為數學研究的一種方法，還存在着許多理論和技術上的問題，這些問題的解決將有待於算法理論、計算機科學和人工智能等各個領域出現新的重大突破。

二、機器證明的興起和進展

機器證明的思想淵源可追溯到幾何代數化思想的出現，然而歷史上最先從理論上明確提出定理證明機械化思想的是希爾伯特。1899年，他在《幾何基礎》這部經典名著中指出，初等幾何中只涉及從屬平行的定理可以實現證明的機械化，他還提出了有名的“希爾伯特機械化定理”。希爾伯特的幾何機械化思想遵循的就是一條几何代數化的道路：從公理系統出發，建立座標系，引進數系統，把幾何定理的證明轉化為代數式的計算。這是一條從公理化走向代數化直至數值化的道路。1950年，波蘭數理邏輯學家塔爾斯基進一步從理論上證明，初等代數和初等幾何的定理可以機械化。他還提出了以他的名字命名的機械化定理以及製造證明機的設想。

機器證明史上的第一項奠基性的突破，是由美國的卡內基大學—蘭德公司協作組做出的。1956年，這個協作組的西蒙、紐厄爾和肖烏等人在電子計算機上成功地證明了羅素和懷特海所著的《數學原理》第二章52條定理中的38條。這一年可作為歷史上計算機證明定理的開端。1963年，他們又在計算機上證明了全部52條定理，西蒙等人使用的是LT（邏輯理論機）程序。這種程序不是刻板的固定算法程序，而是使用了心理學方法，將人腦在進行演繹推理時的邏輯過程、所遵循的一般規則和所經常採用的策略、技巧，以及簡化步驟的一些方法等編進計算機程序，讓計算機具有自己去探索解題途徑的某種能力。這一程序為機器證明提供了一個切實可行的算法，通常稱它為“啟發式程序”。

在機器證明的開拓者中，還有著名的美籍華人王浩教授。1959年，他只用9分鐘的機器時間，就在計算機上證明了羅素和懷特海《數學原理》一書中的一階邏輯部分的全部定理350多條，在當時數學界引起了轟動。

改進算法程序是提高機器證明效率的一個重要方面。在這方面，美國數學家魯濱遜首先取得了重大突破。1965年，他提出了有名的歸結原理。這一原理的基本出發點是，要證明任何一個命題為真，都可以通過證明其否定為假來得到。它要求把問題用一階邏輯表示出來，並且變為只具有永真式或永假式性質的公式。由於許多定理都可以在一階邏輯中得到表示，因而這一程序具有較大的實用性，對提高機器證明的效率有着重要的方法論意義，大大地推動了機器證明的研究。

70年代，機器證明得到新的重大進展。1976年，美國數學家阿佩爾和黑肯藉助計算機成功地解決“四色猜想”的證明問題。這是機器證明首次解決傳統人腦支配手工操作所長期沒能解決的重大問題。1971-1977年間，萊得索等人給出了分析拓樸學和集合論方面的一些著名定理的機器證明。1979年，波依爾和穆爾等人作出了遞歸函數方面的機器證明系統。

我國數學家在機器證明研究上取得了顯著的成果，引起了國內外學術界的關注。1977年，吳文俊教授證明了初等幾何主要一類定理的證明可以機械化。1980年，他還用一部微機在20和60個機器小時左右分別發現了兩個幾何學的新定理。吉林大學和武漢大學的研究人員也在定理的機器證明方面取得了許多可喜的成果。

上面我們考察和分析了數學史上發生的6次重大突破。除了這6次重大突破外，還有許多重大事件也都具有一定的突破性，它們都不同程度地帶來了數學思想方法的重大變化。如非歐幾何的發現，羣論的產生，勒貝格積分的建立，突變理論的出現，非標準分析的誕生，就是這樣的事件。現代科學技術革命的興起，向數學提出了一系列新的重大課題，可以預想，對這些課題的探討，必將會引起數學在思想方法上發生新的重大突破，使數學的面貌發生新的改觀。

數學思想方法研究的對象與範圍[1]

文章摘要：何謂數學思想方法?它的研究對象是什麼?這是一個理論問題，至今看法不一。歸納起來主要有兩種理解：第一種是“狹義的理解”，認為數學思想方法就是指數學本身的論證、運算以及應用的思想、方法和手段;第二種是“廣義的理解”，認為數學思想方法除上述作為研究的對象外，還應把關於數學（其中包括概念、理…

【編者按】數學同其它各門學科一樣，在其發展的過程中，形成了一系列適合於自身特點的思想方法。這些思想方法不斷為人們所掌握和運用，並創造出一個又一個成果。過去對數學成果本身的收集、分析與説明較為重視，發表了許多論著，這是有益的。但是，由於種種原因，對數學思想方法的考察與研究卻有所忽略。而正因為對數學思想方法缺乏應有的重視，所以，在一定程度上影響了數學成果的取得和數學人才的培養。因此，把數學思想方法作為一個獨立領域加以研究，從方法論的高度，探討其對象、內容、功能以及孕育、形成與發展的規律，無疑對數學的發展與哲學的研究，都是有重要意義的。

何謂數學思想方法?它的研究對象是什麼?這是一個理論問題，至今看法不一。歸納起來主要有兩種理解：第一種是“狹義的理解”，認為數學思想方法就是指數學本身的論證、運算以及應用的思想、方法和手段；第二種是“廣義的理解”，認為數學思想方法除上述作為研究的對象外，還應把關於數學（其中包括概念、理論、方法與形態等）的對象、性質、特徵、作用及其產生、發展規律的認識，也作為自己的研究對象。我們是主張廣義理解的。

根據廣義的理解，我們認為，數學思想方法的研究範圍，大體有以下十個方面。

一、數學思想方法的歷史演進

對數學思想方法作為歷史的考察，並分析其演變、發展的規律是數學思想方法研究的首要內容。其具體可分為兩大類：第一，數學思想方法的系統進化，即從整體上進行研究。比如，從古至今，數學思想方法發生了多少次重大轉折，每一次轉折如從算術到代數、從綜合幾何到幾何代數化、從常量數學到變量數學、從必然數學到或然數學、從明晰數學到模糊數學以及從手工證明到機器證明等，都是怎樣孕育和產生的，其要點和作用是什麼，均屬於這一類。第二，數學思想方法的個體發育，主要是研究每一個數學思想產生、演變和發展的規律，以及本身的特徵，在數學發展中的作用和方法論價值等。廣義一點講，從思想方法角度來研究概念、運算、公式、定理乃至學科產生髮展的歷史，也可看成是此類研究的範圍。

二、數學的思維方式與數學研究的基本方法

數學的主要思維方式是什麼?這是數學家們歷來關注的一個重要問題。本世紀初以來，圍繞什麼是數學的基礎問題的討論，逐步形成了三個不同的學派，即邏輯派，直黨派與形式公理派。如果從思維方式上看數學基礎問題的討論，可以説，在邏輯主義學派看來，數學的主要思維方式是邏輯思維；在直覺主義學派看來，數學的主要思維方式是直覺（或靈感）思維；在形式主義學派看來，數學的主要思維方式是以符號為特徵的純粹的抽象思維。到底什麼是數學的主要思維方式?辯證思維在數學尤其是高等數學中佔有怎樣的地位?仍是一些尚待解決的問題。

數學中的一些常用方法，諸如公理法、模型法、構造法、解析法、遞歸法、極限法、逐次逼近法、統計法、對偶法、關係映射反演法、數學歸納法、反證法等，這是大家所熟悉的。那麼，數學中到底有哪些基本方法?每個方法又是怎樣產生和發展的，其特徵和作用如何?這是一些具有重要方法論價值且至今沒有很好解決的研究課題。

三、數學家的思想方法

數學家是在數學研究中做出貢獻的人，而數學家之所以取得成果做出貢獻，又往往與他在思想方法上實行某種變革有關，因此，考察與剖析數學家特別是著名數學家的思想方法，是把握數學思想方法的重要方面，也是探討數學創造規律，加強數學人才培養不可缺少的研究內容。眾所周知，古今中外有許多著名數學家，如歐幾里得、劉徽、祖沖之、笛卡兒、牛頓、萊布尼茨、歐拉、高斯、羅巴切夫斯基、伽羅華、康托爾、希爾伯特、彭加勒、維納、馮·諾伊曼、魯濱遜、札德、託姆、華羅庚等，不僅在數學研究中取得重大成果，而且在思想方法上也都有獨到之處，甚至是實行了革命性的變革。遺憾的是，以往對他們的成果記載比較詳盡，而對他們的思想方法卻考究很少，這不能不説是過去數學史研究中的一大缺陷。通過對數學家思想方法的挖掘與評論，可以使人們樹立起“作出成果是貢獻，創造思想方法是更大貢獻”的觀念，並將其作為評價數學家的重要方面之一。

四、數學學派的思想方法

如果説某一數學家的思想方法較為隱蔽，難以考證，不易作出準確的分析，那麼數學學派卻不然，因為它本身往往就是通過某一特殊的思想方法把大家聯繫在一起的，或者説，是因為思想方法不同而劃分成不同派的，因而，它的思想方法是較為明顯，容易作出判斷的。比如，前面提到的本世紀初以來形成的邏輯派、直覺派與形式公理派，其思想方法十分鮮明。本世紀30年代，在法國出現的布爾巴基學派，其思想方法也是非常明確的。他們認為，數學是以數學結構作為研究對象的科學，主張用數學結構（代數結構、序結構和拓撲結構）概括全部數學，所謂數學的理論發展，無非是各種結構的建成、改進與擴充而已。一句話，他們的數學思想方法就是數學結構主義。在數學結構主義指導下，經30多年的努力，到1973年共出版《數學原本》36卷，為數學發展作出了巨大貢獻。不僅如此，他們治學的思想方法，也有許多獨到之處，像學術討論上的“無情批判”，組織成員上的“自由流動”，撰寫論著上的“分工合作”等，都是很成功的，值得認真總結。當然，要完整、準確地概括某一學派的思想方法的實質、特點、歷史與作用，也是相當困難的。

五、數學的潛形態及其向顯形態轉化的機制

所謂“數學潛形態”有兩個含義：第一，從科學認識角度看，任何數學成果都有一個由孕育到成熟、由潛到顯的過程，存在一個孕育階段，我們就把孕育階段的數學思想稱之為“數學潛形態”，如數學問題、數學猜想、數學悖論等；第二，從數學發展的曲折性看，它指的是“處於待顯階段的數學成果”，因為一個數學成果取得後，並非都立即得到數學界的承認，而由於種種原因，往往被忽視、排斥、壓制、埋沒、拋棄、扼殺，有一個蒙難的歷程，我們就把雖然在認識上已達到顯階段，但並沒有被人們確認的，仍然處於“潛在階段”的數學成果，也叫做“數學潛形態”。這裏，主要是研究數學潛形態的產生、演變、特徵、作用及其向數學顯形態的轉化機制等。

六、數學與其它學科相互滲透的思想方法基礎

各門學科相互滲透、彼此結合，是當代科學發展的強大潮流。數學也不例外。現代自然科學各學科的數學化趨勢，社會科學各部門的定量化要求，與數學相結合而形成的，生命力頗強的交叉科學如數學哲學、數學經濟學、數學社會學、數學心理學、數學語言學、數學美學、數學生物學、數學地震學、計算物理學、計算化學等大量出現，都顯示出數學與各學科相互滲透、匯流的這一當代數學發展特點。數學思想方法作為一個獨立的研究領域，它必然要研究數學與各門學科相互滲透的思想方法基礎。比如，上述交叉科學形成機制中所表現出來的縱向滲透、橫向移植與立體交叉等，實際上都是一些重要的現代科學思想方法，也是辯證法關於普遍聯繫思想在當代科學發展中的具體體現。此外，交叉科學的類型，體系結構、特徵、功能以及發展趨勢等，也是與數學思想方法有關的一些問題，同樣應予以討論。

七、數學學科的特點

數學具有高度的抽象性、嚴謹的邏輯性和廣泛的適用性。這是關於數學學科特點的傳統看法。近些年來，隨着數學的發展與人們認識的深化，對數學學科特點又提出一些新的見解。比如，有人指出數學的基本特點是確切性、抽象性、嚴格性、應用的廣泛性、數學美，還特別強調，數學美是數學諸特點中不可忽視的基本特點之一，人類進入以物質裝置代替原來由人從事的信息加工處理工作的信息時代（或稱信息加工時代、計算機化時代）後，數學的上述諸特點進一步顯示出來。也有人認為，從當前科學數學化的趨勢看，高度的抽象性與廣泛的適用性是數學最根本的兩個特點。還有人主張，數學的主要特點是它的高度抽象性、嚴謹邏輯性與數學美，而應用的廣泛性是高度抽象性和嚴謹邏輯性的具體表現。數學作為一門基礎科學到底有哪些特點?結合現代科學發展的實際對這一問題加以深入探討，顯然對充分發揮數學的功能，促進數學的發展是有積極作用的。

八、數學內容的辯證性質

數學作為現實世界量側面的反映，必然充滿矛盾，充滿辯證法。深入研究數學內容的辯證性質，對把握數學的本質，加速數學發展的進程，是大有益處的。馬克思在他的《數學手稿》中，恩格斯在《自然辯證法》數學札記中，從不同角度揭示了某些數學內容的辯證性質及其產生髮展的歷史過程。

從馬克思、恩格斯的論述以及其他著作中，我們可以看到，數學辯證性質的研究，主要集中在兩個方面：第一，關於數學中矛盾的研究。諸如，數學中有哪些重要矛盾?有的舉出正與負、一與多、直與曲、已知與未知、常量與變量、特殊與一般、連續與離散、有限與無限、精確與近似、模糊與明晰等是數學中的重要矛盾，是否妥當?這些矛盾是怎樣形成的?如何認識與運用?在數學研究中有什麼作用?數學中的主要矛盾是什麼?等等。第二，關於數學內容（概念、理論、方法等）的辯證分析。其中包括：(1)內容本身辯證實質的分析，如“一”中包含着多，數學證明中的“分析法”實質上是從未知出發來尋求已知與未知內在聯繫的方法等；(2)內容形成、演進過程的`辯證分析，如“數”、“形”和“函數”等數學基本概念，都是怎樣通過數學認識的矛盾運動，從最初的實際問題中逐步發展成為今天這樣的科學概念?並從中探討辯證思維與數學概念發展的關係；(3)內容之間的普遍聯繫，如許多幾何形體概念通過從屬關係聯繫起來，不少幾何變換通過合成關係聯繫起來等。

九、數學理論產生髮展的動力及其規律性

關於數學理論產生髮展的源泉、動力和規律，一方面可以從數學與社會（社會體制、社會意識、社會文化等）、實踐（生產實踐、科學實踐等）的關係上進行研究，就是説，可從數學的客觀基礎上來考察。另一方面，又可從數學內部矛盾運動這個側面，從思想方法作用這個角度去分析與探討。像數學發展相對獨立性的研究即屬此類。我們知道，當數學發展到一定階段，特別是已積累大量資料，並需概括出新理論時，就會產生一些理論上的矛盾，解決這些矛盾便形成新的數學理論，從而導致數學理論自身的相對獨立的發展。比如，公元前3世紀，古希臘數學家歐幾里得等人，系統地總結了人類長期以來積累的幾何知識，寫出了世界上第一部公理化的數學專著《幾何原本》，從而創立了歐氏幾何學體系。但是，自這部專著問世時起，人們就提出了作為推理前提的“‘第五公設’可證”這樣一個理論自身的問題，並從此開始了試證歐氏第五公設的漫長征程。直到19世紀20年代，才由德國的高斯、俄國的羅巴切夫斯基、匈牙利的亞·鮑耶從理論上證明了“歐氏第五公設不可證”，最後解決了人們為之奮鬥兩千年也沒有解決的這一重大難題。正是在解決這一問題的過程中，創立了嶄新的非歐幾何學。還比如，19世紀30年代，由柯西與魏爾斯特拉斯建立了“標準分析”。但這一理論存在着過於抽象、缺乏直觀、運算複雜等問題與矛盾，於是在本世紀60年代魯濱遜打破了“點無結構”的傳統觀念，引進了非標準實數概念，建立了單子結構模型，將潛無窮小轉化為實無窮小，將實數域發展為包含無窮小量的非實數域，將極限方法改變為無窮小量方法，將複雜運算替換為簡單運算，並從而創立了非標準分析這一新分支。考察非歐幾何學和非標準分析創生的歷史過程，並探討這些理論是怎樣從數學理論自身矛盾運動中產生和發展起來的，無疑對全面認識數學發展規律是十分必要的。

數學理論的“儲備性”，也是數學發展相對獨立性的一種體現。所謂“儲備性”指的是，當某一理論依據邏輯自身的規律由量的關係相互導出後，一時甚至相當長的時間內得不到應用，被暫時“儲備”起來。比如，公元前200年，希臘幾何家阿波羅尼烏斯創立的“圓錐曲線論”，直到17世紀，才在拋物線和天體運動理論的研究中得到應用，儲備了1800年。還比如，1860年初創立的作為純數學組成部分的矩陣理論，直到1925年才作為描述原子系統中矩陣力學的基本數學工具而得到應用，儲備了65年。

此外，數學研究的自由創造性、數學理論體系結構的穩定性等，亦都是從數學理論自身的矛盾運動中反映出來的。

十、數學的功能

數學的功能是多方面的，但主要表現在三個方面：

(1)科學功能，即數學在自然科學、社會科學和哲學等領域中所起的作用；

(2)思維功能，即數學作為一種思維工具，它在日常思維活動中所起的作用，以及它對思維科學發展的意義等；

(3)社會功能，即數學在社會生產、經濟、文化、教育以及在精神文明建設中佔有的地位與作用等。數學為什麼會有上述功能?怎樣才能更好地發揮它的功能?這些問題在科學技術高度發展的今天，顯得特別重要。

數學思想方法研究的歷史與現狀[1]

文章摘要：數學思想方法的研究，自古有之，並取得了一系列進展。然而，長期以來，由於人們過於注重記述數學研究的事實與最終成果本身，而忽視總結、交流和刊發取得成果的真實經過及其思想方法，因此數學思想方法的研究十分分散，缺乏系統性，發展緩慢，至今尚未形成一個獨立的研究領域和完整的理論體系。…

數學思想方法的研究，自古有之，並取得了一系列進展。然而，長期以來，由於人們過於注重記述數學研究的事實與最終成果本身，而忽視總結、交流和刊發取得成果的真實經過及其思想方法，因此數學思想方法的研究十分分散，缺乏系統性，發展緩慢，至今尚未形成一個獨立的研究領域和完整的理論體系。

回顧數學思想方法研究的歷史，考察其現狀，對深入開展這方面的研究，是大有益處的。根據我們掌握的資料，數學思想方法的研究，大體可以分為三個階段：

一、第一階段（18世紀末以前）：提出了許多零散的、個別的、具體的方法，以及解決數學中的實際問題

自古代到18世紀，數學研究基本上處於分散狀態，各個分支、部門很少聯繫，因此數學思想方法的提出往往是零散的、個別的、具體的和解決實際問題的。下面的事例可以説明這一點。古希臘的亞里士多德與歐幾里得提出了公理方法，以解決將大量的、零散的幾何知識系統化問題，最後由歐幾里得等人完成並發表了《幾何原本》。中國古代數學家劉徽提出了“割圓術”，以解決長期存在的、圓周率計算不精確的問題，其中包含着極限思想方法的萌芽。英國數學家納皮爾發明了對數方法，以解決天文觀測及貿易中存在的繁重的數字計算問題。法國數學家帕斯卡確立了數學歸納法，以解決數學論證中存在的不嚴密的問題。法國數學家、哲學家笛卡爾提出了座標法、用代數方法研究幾何問題，並從而開創了不同數學分支相結合的思想方法。英國的牛頓與德國的萊布尼茨創立了無窮小量方法，以解決微積分理論建設中存在的問題。瑞士數學家歐拉和法國數學家拉格朗日共同建立了變分法，以解決“等周問題”、“最速降線問題”等長期解決不了的極大與極小問題等。

二、第二階段（18世紀末到20世紀初）：創立了一批具有突破性的思想方法，使數學某些分支發生了革命性的變革

18世紀末以前，人們提出和發現了許多有實際意義的數學思想方法，有力地推動了數學的發展。但是，與18世紀末到20世紀初這一時期相比，無論是從產生的難度上看，還是從產生後所表現出來的作用上看，都顯得一般和不夠突出。事實上，自18世紀末到20世紀初這一時期，在數學領域中的確出現了一些具有劃時代意義的思想方法，並導致了數學基礎學科的變革。這是這一時期的顯著特點。

在幾何學中，出現了創立非歐幾何的一系列思想方法。19世紀20年代，高斯、羅巴切夫斯基與亞·鮑耶等人，成功地運用了研究錯誤與失敗、逆向與反常規思維、想象等思想方法，解決了人們奮鬥兩千年而未能解決的試證歐氏第五公設的問題，並從而創立了非歐幾何理論，使幾何學發生了一次偉大的革命。希爾伯特提出：19世紀最有啟發性最重要的數學成就是非歐幾何的發展。

在代數學中，出現了羣論的思想方法。19世紀以來，人們在探求五次和五次以上代數方程的代數解法問題上，打破了百餘年來毫無進展的僵局，首先由挪威青年數學家阿貝爾證明了五次方程代數解法的不可能性。其次，又由法國青年數學家伽羅華提出了“羣”的概念，後發展為一整套羣論的思想方法，徹底地解決了五次及五次以上方程的求解問題。不僅如此，羣論的思想方法，在代數學的其他分支，拓撲學、函數論乃至數學以外的許多領域都得到了廣泛的應用。由於羣論的誕生，使傳統代數學所研究的對象由具體的“數”擴充為更加抽象的“量”，由量之間的代數運算關係發展為更為一般的關係，從而使代數這門學科發生了轉折性的變化。

在數學分析中，出現了極限與集合論的思想方法。19世紀30年代至50年代，法國的柯西與德國的魏爾斯特拉斯等人，在給出函數、極限等概念以精確化描述的基礎上，又通過嚴格化了的極限思想方法與實數理論改造了微積分，並使其嚴密化和標準化。這是微積分學科發展史上的一個重要里程碑。1874年，德國數學家康托爾提出了集合論思想，建立起無限集的勢、序型等概念以及無限集合論和超限數理論，證明了代數集合可以和整數集合一一對應，所有實數集合不可數性，發展了無限集合勢的比較原理，引入了連續公理即康托爾公理等，並從而創立了集合論的理論。這一理論的創立，不僅為微積分的理論奠定了穩固的基礎，而且對整個數學基礎的研究，尤其對現代數學結構的探討，也具有巨大而深遠的促進作用。

應當指出的是，這一時期，除了出現上述重要思想方法外，還形成了影響廣泛的數學公理化方法。到了19世紀末20世紀初，由於非歐幾何、無理數理論、集合論的建立，有力地促進了數學公理化方法研究的開展。1872年，德國數學家克萊因發表了“愛爾蘭根綱領”，提出用變換羣的觀點，給出各種幾何學的綜合分類，以統一整個幾何學。1899年，德國數學家希爾伯特發表了《幾何學基礎》一書，使公理化方法深入到數學的更多分支。1908年，集合論完成了公理化，本世紀20年代，又實現了代數學的公理化，從而使公理化方法應用於數學各個分支。這場公理化運動，對數學的影響是前所未有的。

還應當特別指出的是，在這一時期，馬克思和恩格斯在自己的著作尤其是《數學手稿》和《自然辯證法》中，闡發了極其豐富的數學思想，從思想方法角度論述了數學發展史上若干重大成果和著名數學家。他們的論述是數學思想方法研究的珍貴財富。但遺憾的是，這些論述未能在當時發表和發揮其應有的作用。

三、第三階段（20世紀初以來）：逐步開展對數學思想方法理論的研究，為形成其獨立的研究領域奠定了基礎

20世紀初以來，由於數學基礎學科中重大思想方法的出現，特別是數學公理化方法的形成以及數學基礎論和數學統一研究的深入開展，人們漸漸關心數學各分支之間內在聯繫的研究，開始注重數學思想方法本身產生、發展規律的探討。因此，這一時期，數學家們一方面繼續創造各種數學思想方法，並用來推進數學的發展，另一方面，他們中的一部分特別是一些著名數學家集中精力從事數學思想方法理論的研究，並發表了一大批這方面的論著。與前面兩個時期相比，後一方面是這一時期的突出特點。

這一時期發表的關於數學思想方法方面的理論著作，數量是很多的，研究問題的角度也是不盡相同和多方面的，但大體上可概括為以下六個方面。

第一，從數學思想方法本身內容與應用的角度研究。

就數學思想方法本身最早系統發表見解的要算德國著名數學家希爾伯特於1900年在巴黎國際數學家代表會上的演講《數學問題》。在這篇演講中，他精闢地闡述了重大數學問題的特點及其在數學發展中的作用，並列舉了發人深思的23個重大數學問題，後人稱之為“希爾伯特23個問題”。他的演講是一篇重要的數學方法論著作。法國數學家彭加勒於1903年至1908年之間發表了《科學與假設》，《科學之價值》、《科學與方法》等著作（均有中譯本）。在這三部著作中，彭加勒以章節的篇幅討論了數學方法論的問題。後來，德國數學家赫爾德發表了《數學方法論》一書，書中對數學中的演繹方法、歸納方法、公理方法與假設方法等進行了系統的論述。

近些年來，我國數學家徐利治十分注重數學方法論的研究。他陸續發表了《淺談數學方法論》、《數學方法論選講》和《數學抽象度概念與抽象度分析法》等論著，並提出許多獨到見解，引起了國內外數學界與哲學界的關注。解恩澤與趙樹智同志合作編著的《數學思想方法縱橫論》，從縱橫兩個方面分析了數學思想方法的形成與發展，其中既闡述了數學本身的思想與方法，又探討了人們對數學本質與規律的認識;既論述了若干數學家的思想方法，又評介了偉大哲學家馬克思與恩格斯的數學思想方法。

此外，還發表了一系列論文，對一些具體數學方法作了分析，諸如，蘇聯沙柳京的《控制論的算法與可能性》，日本加茂利男的《系統論與社會認識的方法》，中國黃順基等的《論公理方法》和王順義的《希爾伯特的現代公理化方法》等。

第二，從歷史發展的角度研究。

本世紀以來，從歷史演變、發展的角度研究數學思想方法的論著是不少的，但影響較大的主要有兩部著作。其一是蘇聯A·B·亞歷山大洛夫等第一流數學家於1956年發表的著作《數學-它的內容、方法和意義》（本書分三卷，均有中譯本）。書中一方面從總體上概括了數學的歷史演進，另一方面又着重就現代數學每一個分支的歷史、內容、方法與意義等進行了闡述，與以往的數學史著作相比，它比較重視數學思想方法的分析和評價。其二是美國著名數學家M·克萊因於1972年發表的著作《古今數學思想》。這是一部全面論述近代數學各分支歷史發展的著作。這部著作打破了過去史書中單純記述史料及人物傳記的框子，着重闡述了數學思想方法的古往今來。無論是一個數學成果的產生，還是一個數學學科的形成，或是一個數學家的功績，都把着眼點放在“思想方法”上面，這是這部著作的突出特點。它是一部大部頭的數學思想史專著，原書有51章1238頁，內容十分豐富，見解精闢獨到。國外有的專家認為，“就數學史而論，這是迄今為止最好的一本”。我們認為，本書好就好在“思想方法”的挖掘與分析上面。當然，也有不足，如對我國數學成果及其思想就沒有給予應有的重視。

此外，像日本的細井淙於1953年發表的《東西方數學思想史》、伊東俊太郎於1967年發表的《純粹數學的起源-歐幾里得〈幾何原本〉的形成》、三宅剛一於1968年發表的《數學哲學思想史》等，也都是從歷史的角度來研究數學思想方法的論著。

第三，從數學教育與數學能力培養的角度研究。

多年來的實踐表明，數學思想方法是數學教育的重要內容，也是培養數學能力和建設數學隊伍的關鍵所在。一些著名的數學家尤其是長期從事教育的數學家，注重這方面的研究，積累了豐富的經驗，撰寫了深受歡迎的著作。比如，1954年，美籍匈牙利著名數學家教育家、斯坦福大學教授G·波利亞發表了《數學與猜想》一書。波利亞在自己的教育實踐中認識到，數學中的發現常常是從估計、猜想開始的，而這些估計、猜想經過實踐檢驗，再經過嚴格論證推理，最後獲得定理、公式等結論。但是，在一般數學教科書中，只注意寫經過嚴格論證的結論，而不寫這些結論產生的過程。本書根據上述認識和針對過去數學教科書存在的這一弊端，為了充分發揮數學教育功能，提高數學教育特別是中學數學教育水平，列舉了數學史上的大量事例，集中地分析了數學成果的思想淵源，揭示論證推理與合情推理的內在聯繫，闡明既要重視論證推理的運用，更要重視合情推理的學習，以豐富人們的數學思想，提高數學思維能力。本書內容翔實，形式新穎，語言生動，思想深刻。出版後，引起了世界數學界的重視，特別是此書作為作者已發表的《怎樣解題》、《數學的發現》的續篇，得到了著名數學家的高度評價。這本書在美國深受歡迎和推崇，曾譯成多種文字出版發行，被譽為第二次世界大戰後出版的經典著作之一。我國科學出版社於1984年分兩卷將其翻譯出版。

1969年，日本著名數學家、教育家米山國藏發表了《數學的精神、思想與方法》。以數學中一些富有啟發性的實例為依據，系統地論述了貫穿於整個數學的數學精神，一些重要數學思想與若干有效的數學方法。它是把着眼點放在培養人們數學能力和創造精神的一本理論專著，其特點是以數學教育為背景，從思想方法入手，結合史實深入探討數學認識與數學發展的規律。作者寫該書的目的有二：一是為了彌補過去的不足，他説：“我認為，現在的數學書籍，不論是教科書還是參考書，也不論是大部頭的著作還是論文，都僅僅是記述了數學知識，可以説還沒有一本論述數學的精神、數學的思想和數學的方法的著作”。二是因為數學、思想和方法是數學創造和發展的源泉，是數學教育目的的集中表現，正如他在本書“序”中所指出的：科學工作者所需要的數學知識，相對地説是不夠的，而數學的精神、思想與方法卻是絕對必需的；數學知識可以記憶一時，但數學精神、思想與方法卻永遠發揮作用，可以受益終生，是數學能力之所在，是數學教育根本目的之所在。書中總結和概括出：

(1)貫穿整個數學中的七個數學精神：①應用化的精神；②擴張化、一般化的精神；③組織化、系統化的精神；④致力於發明、發現的精神；⑤統一建設的精神；⑥嚴密化的精神；⑦思想經濟化的精神。

(2)十個數學思想：①“數學的本質在於思考充分自由”的思想；②極限的思想；③構成“不定義的術語組”與“不證明的命題組”的思想；④集合與羣的思想；⑤把有限長看作無限長的思想；⑥把曲線看作直線的思想；⑦使得特異幾何、特異數學、特異運算能夠出現的思想；⑧二維空間、四維空間、高維空間的思想；⑨超限數的思想；⑩數學的神祕性與數學美的思想。

(3)數學中常用的兩類方法：①證明方法；②研究方法。

日本歷來重視從思想方法入手研究數學教育及其歷史。比如，日本數學史家小倉金之助於1957年發表的《數學教育史》和1974年發表的《數學教育的歷史》；赤攝也於1967年發表的《現代數學的思想與數學教育的現代化》；植竹桓男於1975年發表的《數學史與數學教育》等，都是把數學思想方法研究與數學教育緊密結合在一起的論著。

第四，從哲學的角度研究。

從哲學角度來研究數學思想方法，可以説是最為多見的。有的哲學家對此有興趣，不少數學家對此也很熱心。馬克思的《數學手稿》是一部哲學著作，但由於它主要是闡述辯證思維方法在數學中的運用，以及數學思想的歷史演進，所以它又是一部研究數學思想方法方面的著作。前面講過，此手稿是馬克思於19世紀50年代末到1883年期間寫作的，但當時未能發表。直到1933年，蘇聯的雅諾夫斯卡婭，才將此手稿的部分內容譯成俄文第一次公開發表。同年，日本將其譯成日文出版。我國於1975年出版了中文譯本。恩格斯《自然辯證法》的數學札記，也是從哲學的角度研究數學思想方法的。後來，又出現了許多研究馬克思和恩格斯這兩部著作的論著，從內容看，大部分也是屬於從哲學上研究數學思想方法的。

本世紀70年代以來，現代西方哲學家十分重視數學思想方法的研究，並發表了一些論著。比如，英國數學哲學家拉卡託斯的《證明及反駁》、美國哲學家普特南的《數學、物質與方法》等。這兩部著作都從哲學上系統地討論了所謂“擬經驗方法”。近年來，我國也出版了從哲學上探討數學思想方法的著作，比如，劉鳳璞等編寫的《數學若干辯證內容簡析》，對數學客觀基礎、數學概念的若干辯證性質、數學運算的對立統一，19世紀以來數學的某些進展及其特徵等，進行了較為系統的論述。又比如，傅士俠主編的《科學前沿的哲學探索》，對現代數學的新分支：模糊數學、突變理論與非標準分析等進行了哲學分析，得到自然辯證法界的好評。

關於數學基礎論的研究，吸引着許多數學家的注意力，並取得了不少研究成果。諸如，1956年，日本的竹內外史發表了《數學基礎論》，1971年，日本的島內綱一發表了《數學的基礎》；1987年，我國的朱梧檟發表了《幾何基礎與數學基礎》等。

不僅如此，還發表了一系列從哲學上研究數學思想方法的論文，比如，日本永井博的《數學的實在性-數理哲學的一個問題》，前原昭二的《數學的哲學》；蘇聯馬里尼切夫的《“數學的”唯心論批判》，比留科夫的《控制論的哲學問題》，內桑巴耶夫的《數學發展中抽象與具體的統一》；我國黃耀樞的《數學基礎研究的歷史與現狀》，鄭毓信的《數學直覺淺析》、王順義的《數學是擬經驗的-拉卡託斯數學哲學述評》，王前的《試論現代數學中的經驗主義思潮》，林夏水的《數學基礎的若干哲學問題》等。

第五，從數學存在形態的角度研究。

從數學存在形態如潛在形態來研究數學思想方法，是我國最先開始的。1979年，我國學者開創了“潛科學”這一新的研究領域，從科學潛在形態的角度探討科學新思想孕育、產生與發展的規律，頗受學術界的歡迎。關於數學潛在形態的研究，目前雖然還沒有專門的系統著作，但在《潛科學雜誌》上陸續發表了一些有關文章。在潛科學叢書，如朱新民主編的《科學史上重大爭論集》、解恩澤主編的《科學蒙難集》、洪定國主編的《科學前沿中的疑難與展望》、李醒民等主編的《思想領域中最高的音樂神韻-科學發現個例研究》，以及解恩澤主編的《潛科學導論》等著作中，均有關於數學潛在形態問題的討論。在由解恩澤與趙樹智合作編著的《數學思想方法縱橫論》、徐本順與解恩澤合寫的《數學猜想-它的思想與方法》和《關於數學猜想的幾個問題》中，則對數學的某些潛在形態進行了專門的探討，為形成系統的數學潛在形態的理論作了一些有益的工作。

第六，從人物評傳的角度研究。

從人物評傳的角度研究數學思想方法，是數學界歷來關注的一個重要問題，也是一個十分有效的途徑。從出版的著作看，除了在一些數學家傳記如《數學人物》、《女數學家傳》、《祖沖之》、《希爾伯特》、《伽羅華傳》、《華羅庚傳》等著作中零散地介紹一些各自的思想方法外，還有一些集中論述著名數學家思想方法的著作，比如，德國數學家梅什剋夫斯基於1961年發表的《大數學家的思維方式》一書，就專門分析和介紹了畢達哥拉斯、阿基米德、庫薩的尼古拉、帕斯卡、萊布尼茨、高斯、伽羅華、布爾、魏爾斯特拉斯、康托爾和希爾伯特等著名數學家的思想方法特點。還比如，日本數學史家小堀憲於1968年發表的《大數學家》一書，也選出高斯、柯西、阿貝爾、伽羅華、魏爾斯特拉斯和黎曼等六位大數學家，一方面介紹生平，另一方面分析他們的思想方法。再比如，我國的解延年、尹斌庸著的《數學家傳》一書，不僅介紹了61名中外數學家的生平經歷、“冠軍”記錄和光輝業績，而且十分注重闡發他們的思想方法和哲學觀點，是一部很有特色的數學家傳記。

數學思想方法，雖然至今尚未形成一個完整的理論體系，但本世紀以來特別是50年代以來，越來越引起人們的關注，並已經取得了一系列重要的研究成果。隨着現代科學的發展和人們認識的深化，數學思想方法定會吸引更多的人們去關心它、探討它和發展它，並使它逐步成為一個具有完整理論體系的、獨立的研究領域。

數學思想方法研究的意義

文章摘要：從數學發展史上看，長期以來，數學家們對自己所從事研究領域的思想方法是重視的，並有許多發明和創造。但是，對數學思想方法本身尤其是把它作為一個獨立的領域或學問來進行研究，卻是很不夠的。究其原因，主要是對數學思想方法研究的意義缺乏應有的認識，那麼，研究數學思想方法到底有何意義呢?…

從數學發展史上看，長期以來，數學家們對自己所從事研究領域的思想方法是重視的，並有許多發明和創造。但是，對數學思想方法本身尤其是把它作為一個獨立的領域或學問來進行研究，卻是很不夠的。究其原因，主要是對數學思想方法研究的意義缺乏應有的認識，那麼，研究數學思想方法到底有何意義呢?

一、有利於培養數學能力與改革數學教育

我們知道，數學教育的根本目的在於培養數學能力，即運用數學解決實際問題和進行發明創造的本領，而這種能力和本領，不僅表現在對數學知識的記憶，而且更主要地反映在數學思想方法的素養。事實上，我們説一個人數學能力強，有數學才能，並不簡單指他記憶了多少數學知識，而主要是説他運用數學思想方法解決實際問題和創造數學理論的本領。伽羅華之所以創立羣論，羅巴切夫斯基之所以創立非歐幾何，維納之所以創立控制論，不僅僅在於數學知識的積累與記憶，而主要是由於他們在數學思想方法上實行了革命性的變革所致。對一個科技工作者來説，需要記憶的數學知識可多可少，但掌握數學思想方法則是絕對必要的，因為後者是創造的源泉，發展的基礎，也是數學能力的集中體現。在過去的數學教育中，正是因為過於重視知識的傳授和背誦，而忽略思想方法的講解和分析，加之傳統的考試製度，所以出現了“高分低能”的現象。要想改變這種狀況，就要狠抓數學思想方法的研究與教學，並把它作為數學教育改革的重要內容，堅持下去，取得成效。

二、有利於充分發揮數學的功能

數學功能的發揮，同數學能力的培養一樣，關鍵不在於知識的積累與傳遞，而在於思想方法的領會、運用以及創造新的思想方法上面。實踐越來越證明，數學在科學技術各領域、社會科學各部門以及生產、生活的各行各業，都有廣泛的應用。這是因為，任何事物都是量與質的統一體，要想真正的認識某一事物，不僅要把握其質的規定性，而且還要了解其量的規定性，因此，數學能夠應用於各種物質運動形態。馬克思曾指出：一門科學只有當它達到了能夠運用數學時，才算真正發展了。那麼怎樣在各方面更加廣泛地應用數學呢?我們認為，加強數學教育，特別是加強數學思想方法的教育，是至關重要的。數學的科學功能的發揮，主要是靠數學思想方法向科學各領域的滲透與移植，把數學作為一種工具加以運用，從而促進其發展。當代科學數學化的趨勢明顯地反映出這一點。數學的思維功能的發揮也是如此。我們説數學是一種思維工具，實質上就是指它的思想方法。為什麼往往通過數學的考核來判定一個兒童的思維能力與智力水平呢?其根據也在這裏。至於數學的社會功能的發揮，同樣還是靠數學思想方法的運用。我們説某人辦事有數學頭腦，無非是説他能靈活地運用數學思想方法。歐拉作為一位數學家，之所以不僅在代數、數論、微積分等數學分支研究上取得了突出成果，而且還在力學、物理學、天文學、航海、造船、建築等許多非數學領域與部門做出重大貢獻，集中到一點就是他具有深刻的數學思想和非凡的運用數學解決實際問題的才能。這也是他之所以能成為數學史上著名應用數學大師的根本原因所在。

三、有利於深刻認識數學本質與全面把握數學發展規律

在數學思想方法的研究中，我們可以通過對數學內容辯證性質的探討，進一步認識數學的本質。馬克思和恩格斯在自己的著作中，都對微積分內容的辯證性質作過精闢的分析，並從而概括其本質。馬克思在《數學手稿》中，着重對導函數概念作了探討。他認為，導函數生成的過程就是原函數經歷了“否定之否定”的發展過程，並深刻指出：“理解微積分運算時的全部困難（正像理解否定的否定本身時那樣），恰恰在於要看到微積分運算是怎樣區別於這樣簡單手續並因此導出實際結果的。”恩格斯在談到微積分的本質時，也曾經明確指出：“變數的數學-其中最重要的部分是微積分-本質上不外是辯證法在數學方面的運用”。事實上，微積分中所運用的思想方法，實質上就是辯證法。就拿微積分中最基本的牛頓-萊布尼茨公式來説，就是通過常量與變量的相互轉化而推得的。本來作為曲邊梯形面積的定積分是一個確定的常量，但為了推導牛頓-萊布尼茨公式，卻特地把此定積分看作是上限函數，即把常量轉化為變量。然後，在證明一個定理成立的基礎上，又反過來把變量轉化為常量，最終得到了這一公式。因此，我們可以説，牛頓-萊布厄茨公式就是常量與變量辯證統一的結果。

關於通過數學思想方法的研究，可更加全面把握數學規律的問題，前面已經講過，它可從數學內部的矛盾運動這個側面來發現和認識規律，以彌補過去只注重從外面研究的不足。比如，在關於數學潛形態的研究中，一方面可以提高對數學新思想萌發和形成規律的認識，另一方面，還可以加強對數學由“潛”到“顯”轉化機制的掌握。研究表明：對新事實的解釋、對理論體系自身矛盾的研究、對個體結論的推廣等，均是科學新思想產生的有效途徑;樹立科學成效觀、積極開展自由論爭、大力倡導科學伯樂精神、實行科學的組織管理等，都是加速科學由“潛”到“顯”轉化的重要機制。這對深入探討數學由“潛”到“顯”轉化的規律，顯然具有啟示意義和參考價值。

總之，數學思想方法的研究，具有十分重要而深遠的意義。我們相信，數學思想方法作為一個獨立的研究領域，必將不斷取得新的研究成果，為數學、自然科學、教育科學與哲學的發展，做出應有的貢獻。