關於突破數學命題難點的方法指導

學習數學需要明確它的重難點，然後找到突破數學學習重難點的方法。為你提供突破數學命題難點方法指導，希望對高二學生數學學習有幫助。

　　一、 定位整體

新課程標準對“常用邏輯用語”的定位為:“正確使用邏輯用語是現代社會公民應該具備的基本素質，無論是進行思考、交流，還是從事各項工作，都需要正確的運用邏輯用語表達自己的思想.在本模塊中，同學們將在義務教育的基礎上，學習常用邏輯用語，體會邏輯用語在表述和論證中的作用，利用這些邏輯用語準確地表達數學內容，更好地進行交流.” 因此，學習邏輯用語，不僅要了解數理邏輯的有關知識，還要體會邏輯用語在表述或論證中的作用，使以後的論證和表述更加準確、清晰和簡潔.

　二、 明確重點

“常用邏輯用語”分成三大節，分別為：命題及其關係，簡單的邏輯聯結詞，全稱量詞與存在量詞.

“命題及其關係”分兩小節：一、“四種命題”，此節重點在於四種命題形式及其關係，互為逆否命題的等價性;二、“充分條件和必要條件”，此節重點在於充分條件、必要條件、充要條件的準確理解以及正確判斷.

“簡單的邏輯聯結詞”重點在於“且”、 “或”、 “非”這三個邏輯聯結詞的理解和應用.

“全稱量詞與存在量詞”重點在於理解全稱量詞與存在量詞的意義，以及正確做出含有一個量詞的命題的否定.

三、 突破難點

1. “四種命題”的難點在於分清命題的條件和結論以及判斷命題的真假

例1 分別寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，並判斷它們的真假.

(1) 全等三角形的面積相等;

(2) m>時，方程mx2-x+1=0無實根;

(3) 若sinα≠，則α≠30°.

解析 (1) 條件為兩個三角形全等，結論為它們的面積相等.因此，原命題即為“若兩個三角形全等，則它們的面積相等”，逆命題為“若兩個三角形面積相等，則它們全等”，否命題為“若兩個三角形不全等，則它們的面積不相等”，逆否命題為“若兩個三角形面積不相等，則它們不全等”.根據平面幾何知識，易得原命題和逆否命題為真命題，逆命題和否命題為假命題.

(2) 原命題即為“若m>，則方程mx2-x+1=0無實根”，逆命題為“若方程mx2-x+1=0無實根，則m>”，否命題為“若m≤，則方程mx2-x+1=0有實根”，逆否命題為“若方程mx2-x+1=0有實根，則m≤”.根據判別式Δ=1-4m的正負可知，原命題、逆命題、否命題、逆否命題均為真命題.

(3) 原命題即為“若sinα≠，則α≠30°”，逆命題為“若α≠30°，則sinα≠”，否命題為“若sinα=，則α=30°”，逆否命題為“若α=30°，則sinα=”.直接判斷原命題與逆命題真假有些困難，但考慮到原命題與逆否命題等價，逆命題與否命題等價，因此可以先考慮逆否命題和否命題;由三角函數的知識，可知原命題和逆否命題為真命題，逆命題和否命題為假命題.

突破 對於判斷命題的真假，我們需要先弄清何為條件、何為結論，然後根據相應的知識進行判斷，當原命題不容易直接判斷時，可以先判斷其逆否命題的真假性，從而得到原命題的真假性.

2. “充分條件和必要條件”的難點在於充要性的判斷

例2 在下列命題中，判斷p是q的什麼條件.(在“充分不必要條件”、“必要不充分條件”、“充要條件”、“既不充分又不必要條件”中選出一種)

(1) p:p≥2，p∈R;q:方程x2+px+p+3=0有實根.

(2) p：圓x2+y2=r2與直線ax+by+c=0相切;q：c2=(a2+b2)r2，其中a2+b2≠0，r≠0.

(3) 設集合M={xx>2}，N={xx<3}，p：x∈M∩N;q:x∈M∪N.

解析 (1) 當p≥2時，例如p=3，此時方程x2+px+p+3=0無實根，因此“若p則q”為假命題;當方程x2+px+p+3=0有實根時，根據判別式有p≤-2或p≥6，此時p≥2成立，因此“若q則p”為真命題.故p是q的必要不充分條件.

(2) 若圓x2+y2=r2與直線ax+by+c=0相切，則圓心(0，0)到直線ax+by+c=0的距離等於r，即r=，化簡可得c2=(a2+b2)r2，因此“若p則q”為真命題;反過來，由c2=(a2+b2)r2，可得r=，即圓心(0，0)到直線ax+by+c=0的距離等於r，由解析幾何知識得圓與直線相切，因此“若q則p”為真命題.故p是q的充要條件.

(3) M∩N=(2，3)，M∪N=R，若x∈(2，3)，此時顯然有x∈R，因此“若p則q”為真命題;反過來，若x∈R，例如x=5，此時x?埸(2，3)，因此“若q則p”為假命題.故p是q的充分不必要條件.

突破 ①從邏輯的觀點理解：判斷充分性、必要性的前提是判斷給定命題的真假性，若“若p則q”為真命題，則p是q的充分條件;若“若q則p”為真命題，則p是q的必要條件;若兩者都是真命題，則p是q的充要條件;若兩者都是假命題，則p是q的既不充分也不必要條件.②從集合的觀點理解：建立命題p，q相應的集合. p：A={xp(x)成立}，q：B={xq(x)成立}.那麼:若A?哿B，則p是q的充分條件;若B?哿A，則p是q的必要條件;若A=B，則p是q的充要條件.若A?芫B且B?芫A，則p是q的既不充分也不必要條件.

例3 已知數列{an}的前n項和Sn=pn+q(p≠0且p≠1)，求證:數列{an}為等比數列的充要條件為q=-1.

解析 充分性:當q=-1時，a1=p-1;當n≥2時，an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1).於是當n≥1時，=p，即數列{an}為等比數列.

必要性：當n=1時，a1=S1=p+q;當n≥2時，an=Sn-Sn-1

=pn-1(p-1).因為p≠0且p≠1，於是=p.又因為數列{an}為等比數列，所以==p，即=p，解之得q=-1.

綜上所述，q=-1為數列{an}為等比數列的充要條件.

突破 證明p是q的充要條件需要分兩步：①充分性，把p作為已知條件，結合命題的前提條件，推出q;②必要性，把q作為已知條件，結合命題的前提條件，推出p.最後綜上所述，可得p是q的充要條件.特別注意:充分條件的意義只在於保證結論成立，而不管它對結論成立是否必要;必要條件的意義只在於要使結論成立它必不可少，而不管它對結論成立是否充分.因此，在進行恆等變形或探求充要條件的過程中，只注意推導過程的充分性，其結果有可能縮小範圍;只注意推導過程的必要性，其結果有可能擴大範圍.

3. “簡單邏輯聯結詞”的難點在於複合命題的真假性判斷以及“命題的否定”與“否命題”的區分

例4 指出下列命題的真假.

(1) -1是奇數或偶數;

(2) 屬於集合Q，也屬於集合R;

(3) A?埭(A∪B).

解析 (1) 此命題為“p或q”的形式，其中p：-1是奇數;q：-1是偶數.因為p為真命題，所以原命題為真命題.

(2) 此命題為“p且q”的形式，其中p：屬於集合Q;q：屬於集合R.因為只有q為真命題，所以原命題為假命題.

(3) 此命題為“非p”的形式，其中p：A?哿(A∪B).因為p為真命題，所以原命題為假命題.

突破 判斷如“p或q”、“p且q”、“非p”形式的複合命題的真假時，首先要確定命題的構成形式，然後判斷其中各簡單命題的真假，最後再利用真值表判斷複合命題的真假.

例5 寫出下列各命題的否定和否命題.

(1) 若x+y是偶數，則x，y都是奇數;

(2) 若xy=0，則x=0或y=0.

解析 (1) 命題的否定：若x+y是偶數，則x，y不都是奇數;否命題：若x+y不是偶數，則x，y不都是奇數.

(2) 命題的否定:若xy=0，則x≠0且y≠0;否命題:若xy≠0，則x≠0且y≠0.

突破 命題的否定只是否定命題的結論，而否命題既否定題設，又否定結論.需注意“x=0或y=0”的否定是“x≠0且y≠0”而不是“x≠0或y≠0”;“x，y都是奇數”的否定是“x，y不都是奇數”而不是“x，y都不是奇數”.

4. “全稱量詞與存在量詞”的難點在於全稱命題和存在性命題的`真假性判斷以及含有一個量詞的命題的否定

例6 判斷下列命題是否為全稱命題或存在性命題，並判斷真假.

(1) 有一個實數α，tanα無意義;

(2) 任何一條直線都有斜率;

(3) ?堝x<0，使x2+x+5<0;

(4) 自然數的平方是正數.

解析 (1) 存在性命題，當α=時，tanα無意義，因此原命題為真命題.

(2) 全稱命題，當傾斜角為時，該直線斜率不存在，因此原命題為假命題.

(3) 存在性命題，由判別式可知Δ=1-4×5=-19<0，所以對?坌x∈r，x2+x+5>0，因此原命題為假命題.

(4) 全稱命題，存在自然數0，其平方不是正數，因此原命題為假命題.

突破 ①要判定全稱命題“?坌x∈M，p(x)”為真命題，需要對集合M中每個元素x，證明p(x)成立;如果集合M中找到一個元素x0，使得p(x)不成立，那麼這個全稱命題為假命題.②要判定存在性命題“?堝x0∈M，p(x)”為真命題，只需在集合M中找到一個元素x0，使得p(x0)成立即可;如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那麼這個存在性命題是假命題.

例7 寫出下列命題的否定.

(1) 面積相等的三角形是全等三角形;

(2) 有些質數是奇數;

(3) 對?坌x∈R，x2+x+1=0都成立;

(4) ?堝x∈R，x2+2x+5>0.

解析 (1) 原命題是全稱命題，故其否定為:存在面積相等的三角形不是全等三角形.

(2) 原命題是存在性命題，故其否定為:所有的質數都不是奇數.

(3) 原命題是全稱命題，故其否定為:?堝x∈R，使x2+x+1≠0.

(4) 原命題是存在性命題，故其否定為: 對?坌x∈R，x2+2x+5≤0都成立.

突破 全稱命題與存在性命題的區別在於構成兩種命題的量詞不同.實質上，“全稱量詞”與“存在量詞”正好構成了意義相反的表述，因此在書寫全稱命題與存在性命題的否定時，一定要抓住決定命題性質的量詞，從對量詞的否定入手書寫命題的否定.全稱命題的否定是存在性命題，而存在性命題的否定是全稱命題.

1. (2011年安徽理科卷)命題“所有能被2整除的數都是偶數”的否定是______________.

2. ( 2011年山東文科卷)已知a，b，c∈R，命題“若a+b+c=3，則a2+b2+c2≥3”的否命題是________.

3. (2011年湖南文科卷)“x>1”是“x>1”的

__________條件.

4. (2011年福建理科卷)若a∈R，則“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的______________條件.

5. (2011年浙江理科卷)“α=”是“cos2α=”的______________條件.

6. (2011年山東理科卷)對於函數y=f(x)，x∈R，“y=f(x)的圖像關於y軸對稱”是“y=f(x)是奇函數”的____________條件.

7. (2011年浙江文科卷)若a，b為實數，則“0

8. (2011年四川文科卷)設函數f(x)的定義域為A，若x1，x2∈A且f (x1)=f(x2)時，總有x1=x2，則稱f(x)為單函數.例如，函數f(x)=2x+1(x∈R)是單函數.

給出下列命題：① 函數f(x)=x2(x∈R)是單函數;② 指數函數f(x)=2x(x∈R)是單函數;③ 若f(x)為單函數，x1，x2∈A且x1≠x2，則f(x1)≠f(x2);④ 在定義域上具有單調性的函數一定是單函數.其中的真命題是________.(寫出所有真命題的編號)

1. 存在一個能被2整除的數不是偶數. 2. 若a+b+c≠3，則a2+b2+c2<3. 3. 充分而不必要. 4. 充分而不必要. 5. 充分而不必要. 6. 必要而不充分. 7. 既不充分也不必要. 8. ②③④.