二次函數的概念是什麼

一般地，我們把形如y=ax2+bx+c(其中a，b，c是常數，a≠0)的函數叫做二次函數，其中a稱為二次項係數，b為一次項係數，c為常數項。下面是本站小編給大家整理的二次函數的概念簡介，希望能幫到大家!

　　二次函數的概念

二次函數(quadratic function)是指未知數的最高次數為二次的多項式函數。二次函數可以表示為f(x)=ax^2+bx+c(a不為0)。其圖像是一條主軸平行於y軸的拋物線。

一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關係：

一般式：y=ax^2;+bx+c(a≠0，a、b、c為常數)，則稱y為x的二次函數。頂點座標(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)

頂點式：y=a(x-h)^2+k或y=a(x+m)^2+k (兩個式子實質一樣,但國中課本上都是第一個式子)

交點式(與x軸)：y=a(x-x1)(x-x2)

重要概念：(a，b，c為常數，a≠0，且a決定函數的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下。IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大。)

二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。

x是自變量，y是x的二次函數

x1,x2=[-b±根號下(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式

求根的方法還有十字相乘法和配方法

　　二次函數的主要特點

“變量”不同於“未知數”，不能説“二次函數是指未知數的最高次數為二次的多項式函數”。“未知數”只是一個數(具體值未知，但是隻取一個值)，“變量”可在一定範圍內任意取值。在方程中適用“未知數”的概念(函數方程、微分方程中是未知函數，但不論是未知數還是未知函數，一般都表示一個數或函數——也會遇到特殊情況)，但是函數中的字母表示的是變量，意義已經有所不同。從函數的定義也可看出二者的差別.如同函數不等於函數關係。

　　二次函數圖像

在平面直角座標系中作出二次函數y=ax^2+bx+c的圖像，可以看出，二次函數的圖像是一條永無止境的拋物線。如果所畫圖形準確無誤，那麼二次函數圖像將是由一般式平移得到的。

軸對稱

二次函數圖像是軸對稱圖形。對稱軸為直線x=-b/2a

對稱軸與二次函數圖像唯一的交點為二次函數圖像的頂點P。

特別地，當b=0時，二次函數圖像的對稱軸是y軸(即直線x=0)。

a,b同號，對稱軸在y軸左側.

a,b異號，對稱軸在y軸右側.

頂點

二次函數圖像有一個頂點P，座標為P(h,k)即(-b/2a,(4ac-b2/4a).

當h=0時，P在y軸上;當k=0時，P在x軸上。即可表示為頂點式y=a(x-h)2+k。

h=-b/2a，k=(4ac-b2)/4a。

開口方向和大小

二次項係數a決定二次函數圖像的'開口方向和大小。

當a>0時，拋物線向上開口;當a<0時，拋物線向下開口。

|a|越大，則二次函數圖像的開口越小。

決定對稱軸位置的因素摺疊

一次項係數b和二次項係數a共同決定對稱軸的位置。

當a>0,與b同號時(即ab>0)，對稱軸在y軸左;因為對稱軸在左邊則對稱軸小於0，也就是-b/2a<0,所以b/2a要大於0，所以a、b要同號

當a>0,與b異號時(即ab<0)，對稱軸在y軸右。因為對稱軸在右邊則對稱軸要大於0，也就是-b/2a>0,所以b/2a要小於0，所以a、b要異號

可簡單記憶為左同右異，即當a與b同號時(即ab>0)，對稱軸在y軸左;當a與b異號時(即ab<0)，對稱軸在y軸右。

事實上，b有其自身的幾何意義：二次函數圖像與y軸的交點處的該二次函數圖像切線的函數解析式(一次函數)的斜率k的值。可通過對二次函數求導得到。

決定與y軸交點的因素

常數項c決定二次函數圖像與y軸交點。

二次函數圖像與y軸交於(0,C)

注意：頂點座標為(h,k)，與y軸交於(0,C)。

與x軸交點個數

a<0;k>0或a>0;k<0時，二次函數圖像與x軸有2個交點。

k=0時，二次函數圖像與x軸只有1個交點。

a<0;k<0或a>0,k>0時，二次函數圖像與X軸無交點。

當a>0時，函數在x=h處取得最小值ymin=k，在x<h範圍內是減函數，在x>h範圍內是增函數(即y隨x的變大而變小)，二次函數圖像的開口向上，函數的值域是y>k

當a<0時，函數在x=h處取得最大值ymax=k，在x<h範圍內是增函數，在x>h範圍內是減函數(即y隨x的變大而變大)，二次函數圖像的開口向下，函數的值域是y<k