函數的概念第二課時教學設計

A【教學目標】

1．進一步加深對函數概念的理解，掌握同一函數的標準；

2．瞭解函數值域的概念並能熟練求解常見函數的定義域和值域．

3．經歷求函數定義域及值域的過程，培養學生良好的數學學習品質。

B【教學重難點】

教學重點

能熟練求解常見函數的定義域和值域．

教學難點

對同一函數標準的理解，尤其對函數的對應法則相同的理解．

C【教學過程】

1、創設情境

下列函數f(x)與g(x)是否表示同一個函數？為什麼？

（1）f(x)＝ (x－1) 0；g(x)＝1 ； （2） f(x)＝x；g(x)＝x；

、（3）f(x)＝x 2；g(x)＝(x + 1) 2 ；（4） f(x) ＝|x|；g(x)＝．

2、講解新課

總結同一函數的標準：定義域相同、對應法則相同

3、典例

例1 求下列函數的定義域：

（1）y?x?1?x?1； （2）y?1

x2?3?5?x2；

分析： 一般來説，如果函數由解析式給出，則其定義域就是使解析式有意義的自變量的取值範圍．當一個函數是由兩個以上的數學式子的和、差、積、商的形式構成時，定義域是使各部分都有意義的公共部分的集合．

解 ： （1）由??x?1?0,?x?1,得?即x?1，故函數y?x?1?x?1的定義域是[1，??)． x?1?0,x??1,??

2???x?3?0,?x??,（2）由?得?即?5≤x≤5且x≠±， 2???5?x?0,???x?5,

故函數的定義域是{x|?≤x≤且x≠±3}．

點評： 求函數的定義域，其實質就是求使解析式各部分有意義的x的取值範圍，列出不等式（組），然後求出它們的解集．其準則一般來説有以下幾個：

① 分式中，分母不等於零．

② 偶次根式中，被開方數為非負數．

③ 對於y?x0中，要求 x≠0．

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y?(x?1)0

x|?xy?2x?3?1

2?x?

變式練習1求下列函數的定義域： （1）；（2）1x．

?x?1?0,?x??1,(x?1)0解 （2）由?得? 故函數y?是{x|x<0，且x≠?1}． x|?x?x?0,?|x|?x?0,

3?x??,??2x?3?0,2?3? （4）由?2?x?0,即?x?2, ∴?≤x＜2，且x≠0， 2?x?0?x?0,???

故函數的`定義域是{x|?3≤x＜2，且x≠0}． 2

説明：若A是函數y?f(x)的定義域，則對於A中的每一個x，在集合B都有一個值輸出值y與之對應．我們將所有的輸出值y組成的集合稱為函數的值域．

因此我們可以知道：對於函數f：A

B而言，如果如果值域是C，那麼C?B，因此不能將集合B

當成是函數的值域．

我們把函數的定義域、對應法則、值域稱為函數的三要素．如果函數的對應法則與定義域都確定了，那麼函數的值域也就確定了．

例2．求下列兩個函數的定義域與值域：

（1）f (x)=(x-1)2+1，x∈{-1，0，1，2，3}；

（2）f (x)=( x-1)2+1．

解：（1）函數的定義域為{-1，0，1，2，3}，

f(-1)= 5，f(0)=2，f(1)=1，f(2)=2，f(3)=5，

所以這個函數的值域為{1，2，5}．

（2）函數的定義域為R，因為(x-1)2+1≥1，所以這個函數的值域為{y∣y≥1}

點評： 通過對函數的簡單變形和觀察，利用熟知的基本函數的值域，來求出函數的

值域的方法我們稱為觀察法．

變式練習2 求下列函數的值域：

2y?x?4x?6，x?[1，5)； （1）

（2）y?3x?1

x?1； 解：（1）y?(x?2)2?2． x?[1，5)的圖象， 作出函數y?x2?4x?6，由圖觀察得函數的值域為{y|2≤y＜11}．

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（2）解法一：y?

的值域為｛y|y≠3｝． 解法二：把y?3x?1看成關於x的方程，變形得(y－3)x＋(y＋1)＝0，該方程在原函數x?13(x?1)?444，顯然可取0以外的一切實數，即所求函數?3?x?1x?1x?1

定義域｛x|x≠－1｝內有解的條件是

??y－3≠0，

?y＋1，解得y≠3，即即所求函數的值域為｛y|y≠3｝． －≠－1??y－3

點評：（1）求函數值域是一個難點，應熟練掌握一些基本函數的值域和求值域的一些常用方法；

（2）求二次函數在區間上的值域問題，一般先配方，找出對稱軸，在對照圖象觀察．

4、 課堂小結

（1）同一函數的標準：定義域相同、對應法則相同

（2）求解函數值域問題主要有兩種方法：一是根據函數的圖象和性質（或藉助基本的函數的值域）由定義域直接推算；二是對於分式函數，利用分離常數法得到y的取值範圍．