2017九年級數學上期末測試卷

學習是一個循序漸進的過程，需要日積累九年級數學測試題和知識點。以下是小編為你整理的2017九年級數學上期末測試卷，希望對大家有幫助!

　　2017九年級數學上期末測試題

一、選擇題：本大題共16小題，共42分，1-10小題各3分，11-16小題各2分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.如圖，在平面直角座標系中，點A的座標為(4，3)，那麼cosα的值是(　　)

A. B. C. D.

2.已知線段a、b、c，其中c是a、b的比例中項，若a=9cm，b=4cm，則線段c長(　　)

A.18cm B.5cm C.6cm D.±6cm

3.對於二次函數y=﹣ +x﹣4，下列説法正確的是(　　)

A.當x>0時，y隨x的增大而增大 B.當x=2時，y有最大值﹣3

C.圖象的頂點座標為(﹣2，﹣7) D.圖象與x軸有兩個交點

4.發展工業是強國之夢的重要舉措，如圖所示零件的左視圖是(　　)

A. B. C. D.

5.如圖，已知AB是⊙O的直徑，∠D=40°，則∠CAB的度數為(　　)

A.20° B.40° C.50° D.70°

6.若關於x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有兩個不相等的實數根，則k的取值範圍是(　　)

A.k<1 B.k≤1 C.k>﹣1 D.k>1

7.如圖，已知點P在△ABC的邊AC上，下列條件中，不能判斷△ABP∽△ACB的是(　　)

A.∠ABP=∠C B.∠APB=∠ABC 2=AP•AC D. =

8.函數y=﹣x2+1的圖象大致為(　　)

A. B.

C. D.

9.已知α為鋭角，如果sinα= ，那麼α等於(　　)

A.30° B.45° C.60° D.不確定

10.在公園的O處附近有E、F、G、H四棵樹，位置如圖所示(圖中小正方形的邊長均相等)現計劃修建一座以O為圓心，OA為半徑的圓形水池，要求池中不留樹木，則E、F、G、H四棵樹中需要被移除的為(　　)

A.E、F、G B.F、G、H C.G、H、E D.H、E、F

11.小李同學擲一枚質地均勻的骰子，點數為2的一面朝上的概率為(　　)

A. B. C. D.

12.已知反比例函數y= 圖象的兩個分支分別位於第二、四象限，則k的取值範圍是(　　)

A.k>1 B.k<1 C.k>0 D.k<0

13.餐桌桌面是長為160cm，寬為100cm的長方形，媽媽準備設計一塊桌布，面積是桌面的2倍，且使四周垂下的邊等寬.若設垂下的桌布寬為xcm，則所列方程為(　　)

A.(160+x)(100+x)=160×100×2 B.(160+2x)(100+2x)=160×100×2

C.(160+x)(100+x)=160×100 D.2(160x+100x)=160×100

14.如圖，一艘輪船以40海里/時的速度在海面上航行，當它行駛到A處時，發現它的北偏東30°方向有一燈塔B.輪船繼續向北航行2小時後到達C處，發現燈塔B在它的北偏東60°方向.若輪船繼續向北航行，那麼當再過多長時間時輪船離燈塔最近?(　　)

A.1小時 B. 小時 C.2小時 D. 小時

15.某旅遊景點的收入受季節的影響較大，有時候出現賠本的經營狀況.因此，公司規定：若無利潤時，該景點關閉.經跟蹤測算，該景點一年中的利潤W(萬元)與月份x之間滿足二次函數W=﹣x2+16x﹣48，則該景點一年中處於關閉狀態有(　　)月.

A.5 B.6 C.7 D.8

16.如圖是某公園一塊草坪上的自動旋轉噴水裝置，這種旋轉噴水裝置的旋轉角度為240°，它的噴灌區是一個扇形，小濤同學想了解這種裝置能夠噴灌的草坪面積，他測量出了相關數據，並畫出了示意圖，如圖，A、B兩點的距離為18米，則這種裝置能夠噴灌的草坪面積為(　　)m2.

A.36π B.72π C.144π D.18π

二、填空題：本大題共3小題，共10分，17-18題各3分，19小題有2個空，每空2分，把答案寫在題中橫線上.

17.若x2﹣4x+5=(x﹣2)2+m，則m=　　.

18.某校甲乙兩個體操隊隊員的平均身高相等，甲隊隊員身高的方差是S甲2=1.9，乙隊隊員身高的方差是S乙2=1.2，那麼兩隊中隊員身高更整齊的是　　隊.(填“甲”或“乙”)

19.(4分)你吃過拉麪嗎?實際上在做拉麪的過程中就滲透着數學知識：一定體積的麪糰做成拉麪，麪條的總長度y(m)是麪條的粗細(橫截面積)S(mm 2)的反比例函數，其圖象如圖所示.

(1)寫出y與S的函數關係式：　　.

(2)當面條粗 1.6mm 2時，麪條總長度是　　m.

三、解答題：本大題共7小題，共68分，解答應寫出文字説明、證明過程或演算步驟.

20.(9分)某銷售冰箱的公司有營銷人員14人，銷售部為指定銷售人員月銷售冰箱定額(單位：台)，統計了這14位營銷人員該月的具體銷售量如下表：

每人銷售台數 20 17 13 8 5 4

人數 1 1 2 5 3 2

(1)該月銷售冰箱的平均數、眾數、中位數各是多少?

(2)銷售部選擇哪個數據作為月銷售冰箱定額更合適?請你結合上述數據作出合理的分析.

21.(9分)某種電子產品共4件，其中有正品和次品.已知從中任意取出一件，取得的產品為次品的概率為 .

(1)該批產品有正品　　件;

(2)如果從中任意取出2件，求取出2件都是正品的概率.

22.(9分)把一個足球垂直水平地面向上踢，時間為t(秒)時該足球距離地面的高度h(米)適用公式h=20t﹣5t2(0≤t≤4).

(1)當t=3時，求足球距離地面的高度;

(2)當足球距離地面的高度為10米時，求t;

(3)若存在實數t1，t2(t1≠t2)當t=t1或t2時，足球距離地面的高度都為m(米)，求m的取值範圍.

23.(9分)有一位滑翔傘愛好者，正在空中勻速向下滑翔，已知水平方向上的風速為5.8m/s，如圖，在A點他觀察到C處塔尖的俯角為30°，5s後在B點的他觀察到C處塔尖的俯角為45°，此時，塔尖與他本人的距離BC是AC的 ，求此人垂直下滑的距離.(參考數據， 結果精確到0.1m)

24.(10分)已知：如圖，在△ABC中，∠A=45°，以AB為直徑的⊙O交AC於點D，且AD=DC，CO的延長線交⊙O於點E，過點E作弦EF⊥AB，垂足為點G.

(1)求證：BC是⊙O的切線;

(2)若AB=2，求EF的長.

25.(10分)如圖，有一座拋物線形拱橋，橋下面在正常水位AB時，寬20m，水位上升3m就達到警戒線CD，這時水面寬度為10m.

(1)建立如圖所示的座標系，求拋物線的解析式;

(2)一艘裝滿物資的小船，露出水面部分的高為0.8m、寬為4m(橫斷面如圖所示).若暴雨後，水位達到警戒線CD，此時這艘船能從這座拱橋下通過嗎?請説明理由.

26.(12分)如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，動點P從點B出發，在BA邊上以每秒5cm的速度向點A勻速運動，同時動點Q從點C出發，在CB邊上以每秒4cm的速度向點B勻速運動，運動時間為t秒(0

(1)若△BPQ與△ABC相似，求t的值;

(2)連接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值.

　　2017九年級數學上期末測試卷答案與解析

一、選擇題：本大題共16小題，共42分，1-10小題各3分，11-16小題各2分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.如圖，在平面直角座標系中，點A的座標為(4，3)，那麼cosα的值是(　　)

A. B. C. D.

【考點】鋭角三角函數的定義;座標與圖形性質.

【分析】利用勾股定理列式求出OA，再根據鋭角的餘弦等於鄰邊比斜邊列式即可.

【解答】解：由勾股定理得OA= =5，

所以cosα= .

故選D.

【點評】本題考查了鋭角三角函數的定義，座標與圖形性質，勾股定理，熟記概念並準確識圖求出OA的長度是解題的關鍵.

2.已知線段a、b、c，其中c是a、b的比例中項，若a=9cm，b=4cm，則線段c長(　　)

A.18cm B.5cm C.6cm D.±6cm

【考點】比例線段.

【分析】由c是a、b的比例中項，根據比例中項的定義，列出比例式即可得出線段c的長，注意線段不能為負.

【解答】解：根據比例中項的概念結合比例的基本性質，得：比例中項的平方等於兩條線段的乘積.

所以c2=4×9，解得c=±6(線段是正數，負值捨去)，

故選C.

【點評】此題考查了比例線段;理解比例中項的概念，這裏注意線段不能是負數.

3.對於二次函數y=﹣ +x﹣4，下列説法正確的是(　　)

A.當x>0時，y隨x的增大而增大 B.當x=2時，y有最大值﹣3

C.圖象的頂點座標為(﹣2，﹣7) D.圖象與x軸有兩個交點

【考點】二次函數的性質;二次函數的圖象.

【分析】先用配方法把函數化為頂點式的形式，再根據其解析式即可求解.

【解答】解：∵二次函數y=﹣ +x﹣4可化為y=﹣ (x﹣2)2﹣3，

又∵a=﹣ <0

∴當x=2時，二次函數y=﹣ x2+x﹣4的最大值為﹣3.

故選B.

【點評】本題考查了二次函數的性質，求二次函數的最大(小)值有三種方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法.

4.發展工業是強國之夢的重要舉措，如圖所示零件的左視圖是(　　)

A. B. C. D.

【考點】簡單組合體的三視圖.

【分析】根據從左邊看得到的圖形是左視圖，可得答案.

【解答】解：從左邊看是一個矩形平均分成2個，

故選：C.

【點評】本題考查了簡單組合體的三視圖，從左邊看得到的圖形是左視圖，注意看到的線畫實線.

5.如圖，已知AB是⊙O的直徑，∠D=40°，則∠CAB的度數為(　　)

A.20° B.40° C.50° D.70°

【考點】圓周角定理.

【分析】先根據圓周角定理求出∠B及∠ACB的度數，再由直角三角形的性質即可得出結論.

【解答】解：∵∠D=40°，

∴∠B=∠D=40°.

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠CAB=90°﹣40°=50°.

故選C.

【點評】本題考查的是圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等於這條弧所對的圓心角的一半是解答此題的關鍵.

6.若關於x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有兩個不相等的實數根，則k的取值範圍是(　　)

A.k<1 B.k≤1 C.k>﹣1 D.k>1

【考點】根的判別式.

【分析】當△>0時，方程有兩個不相等的兩個實數根，據此求出k的取值範圍即可.

【解答】解：∵關於x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有兩個不相等的實數根，

∴(﹣2)2﹣4×1×k>0，

∴4﹣4k>0，

解得k<1，

∴k的取值範圍是：k<1.

故選：A.

【點評】此題主要考查了利用一元二次方程根的判別式(△=b2﹣4ac)判斷方程的根的情況，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：當△>0時，方程有兩個不相等的兩個實數根.

7.如圖，已知點P在△ABC的邊AC上，下列條件中，不能判斷△ABP∽△ACB的是(　　)

A.∠ABP=∠C B.∠APB=∠ABC 2=AP•AC D. =

【考點】相似三角形的判定.

【分析】根據相似三角形的判定定理(①有兩角分別相等的兩三角形相似，②有兩邊的比相等，並且它們的夾角也相等的兩三角形相似)逐個進行判斷即可.

【解答】解：A、∵∠A=∠A，∠ABP=∠C，

∴△ABP∽△ACB，故本選項錯誤;

B、∵∠A=∠A，∠APB=∠ABC，

∴△ABP∽△ACB，故本選項錯誤;

C、∵∠A=∠A，AB2=AP•AC，即 = ，

∴△ABP∽△ACB，故本選項錯誤;

D、根據 = 和∠A=∠A不能判斷△ABP∽△ACB，故本選項正確;

故選：D.

【點評】此題考查了相似三角形的性質.此題比較簡單，解題的關鍵是掌握有兩角對應相等的三角形相似與兩邊對應成比例且夾角相等的三角形相似定理的應用.

8.函數y=﹣x2+1的圖象大致為(　　)

A. B.

C. D.

【考點】二次函數的圖象.

【分析】根據二次函數的開口方向，對稱軸，和y軸的交點可得相關圖象.

【解答】解：∵二次項係數a<0，

∴開口方向向下，

∵一次項係數b=0，

∴對稱軸為y軸，

∵常數項c=1，

∴圖象與y軸交於(0，1)，

故選B.

【點評】考查二次函數的圖象的性質：二次項係數a<0，開口方向向下;一次項係數b=0，對稱軸為y軸;常數項是拋物線與y軸的交點的縱座標.

9.已知α為鋭角，如果sinα= ，那麼α等於(　　)

A.30° B.45° C.60° D.不確定

【考點】特殊角的三角函數值.

【分析】根據特殊角的三角函數值求解.

【解答】解：∵α為鋭角，sinα= ，

∴α=45°.

故選B.

【點評】本題考查了特殊角的三角函數值，解答本題的關鍵是掌握幾個特殊角的三角函數值.

10.在公園的O處附近有E、F、G、H四棵樹，位置如圖所示(圖中小正方形的邊長均相等)現計劃修建一座以O為圓心，OA為半徑的圓形水池，要求池中不留樹木，則E、F、G、H四棵樹中需要被移除的為(　　)

A.E、F、G B.F、G、H C.G、H、E D.H、E、F

【考點】點與圓的位置關係.

【分析】根據網格中兩點間的距離分別求出，OE，OF，OG，OH然後和OA比較大小.最後得到哪些樹需要移除.

【解答】解：∵OA= = ，

∴OE=2

OF=2

OG=1

OH= =2 >OA，所以點H在⊙O外，

故選A

【點評】此題是點與圓的位置關係，主要考查了網格中計算兩點間的距離，比較線段長短的方法，計算距離是解本題的關鍵.點到圓心的距離小於半徑，點在圓內，點到圓心的距離大於半徑，點在圓外，點到圓心的距離大於半徑，點在圓內.

11.小李同學擲一枚質地均勻的骰子，點數為2的一面朝上的概率為(　　)

A. B. C. D.

【考點】概率公式.

【分析】拋擲一枚質地均勻的骰子，有6種結果，每種結果等可能出現，點數為2的情況只有一種，即可求.

【解答】解：拋擲一枚質地均勻的骰子，有6種結果，每種結果等可能出現，

出現“點數為2”的情況只有一種，

故所求概率為 .

故選：A.

【點評】本題考查的是古典型概率.如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現m種結果，那麼事件A的概率P(A)= .

12.已知反比例函數y= 圖象的兩個分支分別位於第二、四象限，則k的取值範圍是(　　)

A.k>1 B.k<1 C.k>0 D.k<0

【考點】反比例函數的性質.

【分析】根據反比例函數的性質列出關於k的不等式，求出k的取值範圍即可.

【解答】解：∵反比例函數y= 圖象的兩個分支分別位於第二、四象限，

∴k﹣1<0，解得k<1.

故選B.

【點評】本題考查的是反比例函數的性質，熟知反比例函數的圖象與係數的關係是解答此題的關鍵.

13.餐桌桌面是長為160cm，寬為100cm的長方形，媽媽準備設計一塊桌布，面積是桌面的2倍，且使四周垂下的邊等寬.若設垂下的桌布寬為xcm，則所列方程為(　　)

A.(160+x)(100+x)=160×100×2 B.(160+2x)(100+2x)=160×100×2

C.(160+x)(100+x)=160×100 D.2(160x+100x)=160×100

【考點】由實際問題抽象出一元二次方程.

【分析】本題可先求出桌布的面積，再根據題意用x表示桌面的長與寬，令兩者的積為桌布的面積即可.

【解答】解：依題意得：桌布面積為：160×100×2，

桌面的長為：160+2x，寬為：100+2x，

則面積為=(160+2x)(100+2x)=2×160×100.

故選B.

【點評】本題考查的是一元二次方程的運用，要靈活地運用面積公式來求解.

14.如圖，一艘輪船以40海里/時的速度在海面上航行，當它行駛到A處時，發現它的北偏東30°方向有一燈塔B.輪船繼續向北航行2小時後到達C處，發現燈塔B在它的北偏東60°方向.若輪船繼續向北航行，那麼當再過多長時間時輪船離燈塔最近?(　　)

A.1小時 B. 小時 C.2小時 D. 小時

【考點】解直角三角形的應用-方向角問題.

【分析】過B作AC的垂線，設垂足為D.由題易知：∠DAB=30°，∠DCB=60°，則∠CBD=∠CBA=30°，得AC=BC.由此可在Rt△CBD中，根據BC(即AC)的長求出CD的長，進而可求出該船需要繼續航行的時間.

【解答】解：作BD⊥AC於D，如下圖所示：

易知：∠DAB=30°，∠DCB=60°，

則∠CBD=∠CBA=30°.

∴AC=BC，

∵輪船以40海里/時的速度在海面上航行，

∴AC=BC=2×40=80海里，

∴CD= BC=40海里.

故該船需要繼續航行的時間為40÷40=1小時.

故選A.

【點評】本題考查瞭解直角三角形的應用中的方向角問題，注意掌握“化斜為直”是解三角形的常規思路，需作垂線(高)，原則上不破壞特殊角(30°、45°60°).

15.某旅遊景點的收入受季節的影響較大，有時候出現賠本的經營狀況.因此，公司規定：若無利潤時，該景點關閉.經跟蹤測算，該景點一年中的利潤W(萬元)與月份x之間滿足二次函數W=﹣x2+16x﹣48，則該景點一年中處於關閉狀態有(　　)月.

A.5 B.6 C.7 D.8

【考點】二次函數的應用.

【分析】令W=0，解得x=4或12，求出不等式﹣x2+16x﹣48>0的解即可解決問題.

【解答】解：由W=﹣x2+16x﹣48，令W=0，則x2﹣16x+48=0，解得x=12或4，

∴不等式﹣x2+16x﹣48>0的解為，4

∴該景點一年中處於關閉狀態有5個月.

故選A.

【點評】本題考查二次函數的應用，二次不等式與二次函數的關係等知識，解題的關鍵是學會解二次不等式，屬於會考常考題型.

16.如圖是某公園一塊草坪上的自動旋轉噴水裝置，這種旋轉噴水裝置的旋轉角度為240°，它的噴灌區是一個扇形，小濤同學想了解這種裝置能夠噴灌的草坪面積，他測量出了相關數據，並畫出了示意圖，如圖，A、B兩點的距離為18米，則這種裝置能夠噴灌的草坪面積為(　　)m2.

A.36π B.72π C.144π D.18π

【考點】垂徑定理的應用;扇形面積的計算.

【分析】作OC⊥AB，根據垂徑定理得出AC=9米，繼而可得圓的半徑OA的值，再根據扇形面積公式可得答案.

【解答】解：過點O作OC⊥AB於C點.

∵OC⊥AB，AB=18米，

∴AC= AB=9米，

∵OA=OB，∠AOB=360°﹣240°=120°，

∴∠AOC= ∠AOB=60°.

在Rt△OAC中，OA2=OC2+AC2，

又∵OC= OA，

∴r=OA=6 .

∴S= πr2=72π(m2).

故選：B.

【點評】本題主要考查垂徑定理和扇形的面積公式，熟練掌握垂徑定理求得圓的半徑是解題的關鍵.

二、填空題：本大題共3小題，共10分，17-18題各3分，19小題有2個空，每空2分，把答案寫在題中橫線上.

17.若x2﹣4x+5=(x﹣2)2+m，則m=　1　.

【考點】配方法的應用.

【分析】已知等式左邊配方得到結果，即可確定出m的值.

【解答】解：已知等式變形得：x2﹣4x+5=x2﹣4x+4+1=(x﹣2)2+1=(x﹣2)2+m，

則m=1，

故答案為：1

【點評】此題考查了配方法的應用，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵.

18.某校甲乙兩個體操隊隊員的平均身高相等，甲隊隊員身高的方差是S甲2=1.9，乙隊隊員身高的方差是S乙2=1.2，那麼兩隊中隊員身高更整齊的是　乙　隊.(填“甲”或“乙”)

【考點】方差.

【分析】根據方差的定義，方差越小數據越穩定.

【解答】解：∵S甲2=1.9，S乙2=1.2，

∴S甲2=1.9>S乙2=1.2，

∴兩隊中隊員身高更整齊的是乙隊;

故答案為：乙.

【點評】本題考查了方差的意義.方差是用來衡量一組數據波動大小的量，方差越大，表明這組數據偏離平均數越大，即波動越大，數據越不穩定;反之，方差越小，表明這組數據分佈比較集中，各數據偏離平均數越小，即波動越小，數據越穩定.

19.你吃過拉麪嗎?實際上在做拉麪的過程中就滲透着數學知識：一定體積的麪糰做成拉麪，麪條的總長度y(m)是麪條的粗細(橫截面積)S(mm 2)的反比例函數，其圖象如圖所示.

(1)寫出y與S的函數關係式：　y= 　.

(2)當面條粗 1.6mm 2時，麪條總長度是　80　m.

【考點】反比例函數的應用.

【分析】(1)首先根據題意，y與s的關係為乘積一定，為麪糰的體積，即可得出y與s的反比例函數關係式;

(2)將數據代入用待定係數法可得反比例函數的關係式;進一步求解可得答案.

【解答】解：(1)設y與x的函數關係式為y= ，

將s=4，y=32代入上式，

解得：k=4×32=128，

∴y= ;

故答案為：= .

(2)當s=1.6時，y= =80，

當面條粗1.6mm2時，麪條的總長度是80m;

故答案為：80.

【點評】本題考查了反比例函數的應用，現實生活中存在大量成反比例函數的兩個變量，解答該類問題的關鍵是確定兩個變量之間的函數關係，然後利用待定係數法求出它們的關係式.

三、解答題：本大題共7小題，共68分，解答應寫出文字説明、證明過程或演算步驟.

20.某銷售冰箱的公司有營銷人員14人，銷售部為指定銷售人員月銷售冰箱定額(單位：台)，統計了這14位營銷人員該月的具體銷售量如下表：

每人銷售台數 20 17 13 8 5 4

人數 1 1 2 5 3 2

(1)該月銷售冰箱的平均數、眾數、中位數各是多少?

(2)銷售部選擇哪個數據作為月銷售冰箱定額更合適?請你結合上述數據作出合理的分析.

【考點】眾數;統計表;加權平均數;中位數.

【分析】(1)根據平均數、中位數和眾數的定義求解;

(2)眾數和中位數，是大部分人能夠完成的台數.

【解答】解：(1)平均數是9(台)，眾數是8(台)，中位數是8(台).

(2)每月銷售冰箱的定額為8台才比較合適.因為在這兒8既是眾數，又是中位數，是大部分人能夠完成的台數.

若用9台，則只有少量人才能完成，打擊了大部職工的積極性.

【點評】此題考查了學生對中位數，眾數，平均數的掌握情況.它們都是反映數據集中趨勢的指標.

21.某種電子產品共4件，其中有正品和次品.已知從中任意取出一件，取得的產品為次品的'概率為 .

(1)該批產品有正品　3　件;

(2)如果從中任意取出2件，求取出2件都是正品的概率.

【考點】列表法與樹狀圖法;概率公式.

【分析】(1)由某種電子產品共4件，其中有正品和次品.已知從中任意取出一件，取得的產品為次品的概率為 ，直接利用概率公式求解即可求得答案;

(2)首先根據題意畫出樹狀圖，然後由樹狀圖求得所有等可能的結果與取出2件都是正品的情況，再利用概率公式即可求得答案.

【解答】解：(1)∵某種電子產品共4件，從中任意取出一件，取得的產品為次品的概率為 ;

∴批產品有正品為：4﹣4× =3.

故答案為：3;

(2)畫樹狀圖得：

∵結果共有12種情況，且各種情況都是等可能的，其中兩次取出的都是正品共6種，

∴P(兩次取出的都是正品)= = .

【點評】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率.用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比.

22.把一個足球垂直水平地面向上踢，時間為t(秒)時該足球距離地面的高度h(米)適用公式h=20t﹣5t2(0≤t≤4).

(1)當t=3時，求足球距離地面的高度;

(2)當足球距離地面的高度為10米時，求t;

(3)若存在實數t1，t2(t1≠t2)當t=t1或t2時，足球距離地面的高度都為m(米)，求m的取值範圍.

【考點】一元二次方程的應用;二次函數的應用.

【分析】(1)將t=3代入解析式可得;

(2)根據h=10可得關於t的一元二次方程，解方程即可;

(3)由題意可得方程20t﹣t2=m 的兩個不相等的實數根，由根的判別式即可得m的範圍.

【解答】解：(1)當t=3時，h=20t﹣5t2=20×3﹣5×9=15(米)，

∴當t=3時，足球距離地面的高度為15米;

(2)∵h=10，

∴20t﹣5t2=10，即t2﹣4t+2=0，

解得：t=2+ 或t=2﹣ ，

故經過2+ 或2﹣ 時，足球距離地面的高度為10米;

(3)∵m≥0，由題意得t1，t2是方程20t﹣5t2=m 的兩個不相等的實數根，

∴b2﹣4ac=202﹣20m>0，

∴m<20，

故m的取值範圍是0≤m<20.

【點評】本題主要考查二次函數背景下的求值及一元二次方程的應用、根的判別式，根據題意得到相應的方程及將實際問題轉化為方程問題是解題的關鍵.

23.有一位滑翔傘愛好者，正在空中勻速向下滑翔，已知水平方向上的風速為5.8m/s，如圖，在A點他觀察到C處塔尖的俯角為30°，5s後在B點的他觀察到C處塔尖的俯角為45°，此時，塔尖與他本人的距離BC是AC的 ，求此人垂直下滑的距離.(參考數據， 結果精確到0.1m)

【考點】解直角三角形的應用-仰角俯角問題.

【分析】過點C作點A所在水平線的垂線，垂足為D，交點B所在水平線於點E，則CE⊥BE，設BC=x，則AC=4x，建立關於x的方程，求出x的值，進而可求出DE=CD﹣CE=2x﹣ x≈13.6m，即此人垂直下滑的距離.

【解答】解：過點C作點A所在水平線的垂線，垂足為D，交點B所在水平線於點E，則CE⊥BE

設BC=x，則AC=4x，

在Rt△BCE中，∠B=45°，

∴BE=CE= ，

在Rt△ACD中，

∵∠A=30°，

∴CD=AC•sin30°=2x，AD=AC•cos30°= •4x=2 x，

由題意可知 ，

解得x≈10.52，

∴DE=CD﹣CE=2x﹣ x≈13.6m，

答：此人垂直下滑的距離是13.6米.

【點評】本題考查俯角的定義，要求學生能借助俯角構造直角三角形並解直角三角形.注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想與方程思想的應用.

24.(10分)(2016•聊城模擬)已知：如圖，在△ABC中，∠A=45°，以AB為直徑的⊙O交AC於點D，且AD=DC，CO的延長線交⊙O於點E，過點E作弦EF⊥AB，垂足為點G.

(1)求證：BC是⊙O的切線;

(2)若AB=2，求EF的長.

【考點】切線的判定;勾股定理;垂徑定理;相似三角形的判定與性質.

【分析】(1)連接BD，有圓周角性質定理和等腰三角形的性質以及已知條件證明∠ABC=90°即可;

(2)AB=2，則圓的直徑為2，所以半徑為1，即OB=OE=1，利用勾股定理求出CO的長，再通過證明△EGO∽△CBO得到關於EG的比例式可求出EG的長，進而求出EF的長.

【解答】(1)證明：連接BD，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∴BD⊥AC，

∵AD=CD，

∴AB=BC，

∴∠A=∠ACB=45°，

∴∠ABC=90°，

∴BC是⊙O的切線;

(2)解：∵AB=2，

∴BO=1，

∵AB=BC=2，

∴CO= = ，

∵EF⊥AB，BC⊥AB，

∴EF∥BC，

∴△EGO∽△CBO，

∴ ，

∴ ，

∴EG= ，

∴EF=2EG= .

【點評】本題考查了切線的判定與性質、相似三角形的判定於性質以及勾股定理的運用;證明某一線段是圓的切線時，一般情況下是連接切點與圓心，通過證明該半徑垂直於這一線段來判定切線.

25.(10分)(2016秋•安平縣期末)如圖，有一座拋物線形拱橋，橋下面在正常水位AB時，寬20m，水位上升3m就達到警戒線CD，這時水面寬度為10m.

(1)建立如圖所示的座標系，求拋物線的解析式;

(2)一艘裝滿物資的小船，露出水面部分的高為0.8m、寬為4m(橫斷面如圖所示).若暴雨後，水位達到警戒線CD，此時這艘船能從這座拱橋下通過嗎?請説明理由.

【考點】二次函數的應用.

【分析】(1)先設拋物線的解析式y=ax2，再找出幾個點的座標，代入解析式後可求解.

(2)求出拱橋頂O到CD的距離為1m，x=2時，y=﹣0.16，由此即可判定.

【解答】解：(1)設所求拋物線的解析式為：y=ax2(a≠0)，

由CD=10m，可設D(5，b)，

由AB=20m，水位上升3m就達到警戒線CD，

則B(10，b﹣3)，

把D、B的座標分別代入y=ax2得：

，

解得 .

∴y=﹣ x2;

(2))∵b=﹣1，

∴拱橋頂O到CD的距離為1m，

∵x=2時，y=﹣ =﹣0.16，

1﹣0.8=0.2>0.16，

∴水位達到警戒線CD，此時這艘船能從這座拱橋下通過.

【點評】本題考查二次函數的應用，解題的關鍵是把一個實際問題通過數學建模，轉化為二次函數問題，用二次函數的性質加以解決.

26.(12分)(2015•濰坊模擬)如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，動點P從點B出發，在BA邊上以每秒5cm的速度向點A勻速運動，同時動點Q從點C出發，在CB邊上以每秒4cm的速度向點B勻速運動，運動時間為t秒(0

(1)若△BPQ與△ABC相似，求t的值;

(2)連接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值.

【考點】相似三角形的判定與性質.

【分析】(1)分兩種情況：①當△BPQ∽△BAC時，BP：BA=BQ：BC;當△BPQ∽△BCA時，BP：BC=BQ：BA，再根據BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，代入計算即可;

(2)過P作PM⊥BC於點M，AQ，CP交於點N，則有PB=5t，PM=3t，MC=8﹣4t，根據△ACQ∽△CMP，得出AC：CM=CQ：MP，代入計算即可.

【解答】解：根據勾股定理得：BA= ;

(1)分兩種情況討論：

①當△BPQ∽△BAC時， ，

∵BP=5t，QC=4t，AB=10，BC=8，

∴ ，解得，t=1，

②當△BPQ∽△BCA時， ，

∴ ，解得，t= ;

∴t=1或 時，△BPQ∽△BCA;

(2)過P作PM⊥BC於點M，AQ，CP交於點N，如圖所示：

則PB=5t，PM=3t，MC=8﹣4t，

∵∠NAC+∠NCA=90°，∠PCM+∠NCA=90°，

∴∠NAC=∠PCM，

∵∠ACQ=∠PMC，

∴△ACQ∽△CMP，

∴ ，

∴ ，解得t= .

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質;由三角形相似得出對應邊成比例是解題的關鍵.