國小數學之開普勒求解圓面積方法

16世紀的德國天文學家開普勒，是一個愛觀察、肯動腦筋的人。他把丹麥天文學家第谷遺留下來的大量天文觀測資料，認真地進行整理分析，提出了著名的“開普勒三定律”。開普勒第一次告訴人們，地球圍繞太陽運行的軌道是一個橢圓，太陽位於其中的一個焦點上。

提出圓面積公式

開普勒當過數學老師，他對求面積的問題非常感興趣，曾進行過深入的研究。他想，古代數學家用分割的方法去求圓面積，所得到的結果都是近似值。為了提高近似程度，他們不斷地增加分割的次數。但是，不管分割多少次，幾千幾萬次，只要是有限次，所求出來的總是圓面積的近似值。要想求出圓面積的精確值，必須分割無窮多次，把圓分成無窮多等分才行。

開普勒也仿照切西瓜的方法，把圓分割成許多小扇形;不同的是，他一開始就把圓分成無窮多個小扇形。

圓面積等於無窮多個小扇形面積的和，所以在最後一個式子中，各段小弧相加就是圓的周長2πR，這就是我們所熟悉的圓面積公式。

開普勒運用無窮分割法，求出了許多圖形的面積。1615年，他將自己創造的這種求圓面積的新方法，發表在《葡萄酒桶的立體幾何》一書中。

開普勒大膽地把圓分割成無窮多個小扇形，並果敢地斷言：無窮小的扇形面積，和它對應的無窮小的三角形面積相等。他在前人求圓面積的基礎上，向前邁出了重要的一步。

《葡萄酒桶的立體幾何》一書，很快在歐洲流傳開了。數學家們高度評價開普勒的工作，稱讚這本書是人們創造求圓面積和體積新方法的靈感源泉。

新的'理論

一種新的理論，在開始的時候很難十全十美。開普勒創造的求圓面積的新方法，引起了一些人的懷疑。他們問道：開普勒分割出來的無窮多個小扇形，它的面積究竟等於不等於零?如果等於零，半徑OA和半徑OB就必然重合，小扇形OAB就不存在了;如果客觀存在的面積不等於零，小扇形OAB與小三角形OAB的面積就不會相等。開普勒把兩者看作相等就不對了。

面對別人提出的問題，開普勒自己也解釋不清。