六年級奧數：假設法解題

假設法解題（一）

一、知識要點

假設法解體的思考方法是先通過假設來改變題目的條件，然後再和已知條件配合推算。有些題目用假設法思考，能找到巧妙的解答思路。

運用假設法時，可以假設數量增加或減少，從而與已知條件產生聯繫；也可以假設某個量的分率與另一個量的分率一樣，再根據乘法分配律求出這個分率對應的和，最後依據它與實際條件的矛盾求解。

二、精講精練

【例題1】

甲、乙兩數之和是185，已知甲數的1/4與乙數的1/5的和是42，求兩數各是多少？

【思路導航】假設將題中“甲數的1/4”、“乙數的1/5”與“和為42”同時擴大4倍，則變成了“甲數與乙數的4/5的和為168”，再用185減去168就是乙數的1/5。

解： 乙：（185－42×4）÷（1－1/5×4）＝85

答：甲數是100，乙數是85。

練習1：

1．甲、乙兩人共有錢150元，甲的1/2與乙的1/10的錢數和是35元，求甲、乙兩人各有多少元錢？

2．甲、乙兩個消防隊共有338人。抽調甲隊人數的1/7，乙隊人數的1/3，共抽調78人，甲、乙兩個消防隊原來各有多少人？

3．海洋化肥廠計劃第二季度生產一批化肥，已知四月份完成總數的1/3多50噸，五月份完成總數的2/5少70噸，還有420噸沒完成，第二季度原計劃生產多少噸？

【例題2】

彩色電視機和黑白電視機共250台。如果彩色電視機賣出1/9，則比黑白電視機多5台。問：兩種電視機原來各有多少台？

【思路導航】從圖中可以看出：假設黑白電視機增加5台，就和彩色電視機賣出1/9後剩下的一樣多。

黑白電視機增加5台後，相當於彩色電視機的（1－1/9）＝ 8/9。

（250+5）÷（1+1－1/9）＝135（台）

250－125＝115（台）

答：彩色電視機原有135台，黑白電視機原有115台。

練習2：

1．姐妹倆養兔120只，如果姐姐賣掉1/7，還比妹妹多10只，姐姐和妹妹各養了多少隻兔？

2．學校有籃球和足球共21個，籃球借出1/3後，比足球少1個，原來籃球和足球各有多少個？

3．小明甲養的雞和鴨共有100只，如果將雞賣掉1/20，還比鴨多17只，小明家原來養的雞和鴨各有多少隻？

【例題3】師傅與徒弟兩人共加工零件105個，已知師傅加工零件個數的3/8與徒弟加工零件個數的4/7的和為49個，師、徒各加工零件多少個？

【思路導航】假設師、徒兩人都完成了4/7，一個能完成（105×4/7）＝60個，和實際相差（60－49）＝11個，這11個就是師傅完成將零件的3/8與完成加工零件的4/7相差的個數。這樣就可以求出師傅加工了【11÷（4/7－3/8）】＝56個。即：

師傅：（105×4/7－49）÷（4/7－3/8）＝56（個）

徒弟：105－56＝49（個）

答：師傅加工了56個，徒弟加工了49個。

練習3：

1．某商店有彩色電視機和黑白電視機共136台，賣出彩色電視機的2/5和黑白電視機的3/7，共賣出57台。問：原來彩色電視機和黑白電視機各有多少台？

2．甲、乙兩個消防隊共有336人，抽調甲隊人數的5/7、乙隊人數的3/7，共抽調188人蔘加滅火。問：甲、乙兩個消防隊原來各有多少人？

3．學校買來足球和排球共64個，從中借出排球個數的1/4和足球個數的1/3後，還剩下46個，買來排球和足球各是多少個？

【例題4】甲、乙兩數的和是300，甲數的2/5比乙數的1/4多55，甲、乙兩數各是多少？

【思路導航】甲數的2/5與乙數的2/5的和就是甲、乙兩數的2/5，是300×2/5＝120，因為甲數的2/5比乙數的1/4多55，所以從120中減去55所得的差就可以看成是乙數的1/4與乙數的2/5的和。

乙：（300×2/5－55）÷（2/5+1/4）＝100

甲：300－100＝200

答：甲數是200，乙數是100。

練習4：

1．畜牧場有綿羊、山羊共800只，山羊的2/5比綿羊的1/2多50只，這個畜牧場有山羊、綿羊各多少隻？

2．師傅和徒弟共加工零件840個，師傅加工零件的個數的5/8比徒弟加工零件個數的`2/3多60個，師傅和徒弟各加工零件多少個？

3．某校六年級甲、乙兩個班共種100棵樹，乙班種的1/10比甲班種的1/3少16棵，兩個班各種多少棵？

【例題5】育紅國小上學期共有學生750人，本學期男學生增加1/6，女學生減少1/5，共有710人，本學期男、女學生各有多少人？

【思路導航】假設本學期女學生不是減少1/5，而是增加1/6，半學期應該有750×（1+1/6）＝875人，比實際多875－710＝165人，這165人是假設女學生也增加1/6多出的人數，而實際女學生減少1/5，所以，這165人對應着女學生的（1/5+1/6）＝11/30。

上學期女生：【750×（1+1/6）－710】÷（1/5+1/6）＝450（人）

本學期女生：450×（1－1/5）＝360（人）

本學期男生：710－360＝350（人）

答：本學期男學生有350人，女學生有360人。

練習5：

1．金放在水裏稱，重量減輕1/19，銀放在水裏稱，重量減少1/10，一塊重770克的金銀合金，放在水裏稱是720克，這塊合金含金、銀各多少克？

2．某中學去年共招新生475人，今年共招新生640人，其中國中招的新生比去年增加48％，高中招的新生比去年增加20％，今年初、高中各招收新生多少人？

3．袋子裏原有紅球和黃球共119個。將紅球增加3/8，黃球減少2/5後，紅球與黃球的總數變為121個。原來袋子裏有紅球和黃球各多少個？

假設法解題（二）

一、知識要點

已知甲是乙的幾分之幾，又知甲與乙各改變一定的數量後兩者之間新的倍數關係，要求甲、乙兩個數是多少，這樣的應用題稱為變倍問題。

應用題中的變倍問題，有兩數同增、兩數同減、一增一減等各種情況。雖然其中的數量關係比較複雜，但解答時的關鍵仍是確定哪個量為單位“1”，然後通過假設，找出變化前後的相差數相當於單位“1”的幾分之幾，從而求出單位“1”的量，其他要求的量就迎刃而解了。

二、精講精練

【例題1】兩根鐵絲，第一根長度是第二根的3倍，兩根各用去6米，第一根剩下的長度是第二根剩下的長度的5倍，第二根原來有多少米？

【思路導航】假設第一根用去6×3＝18米，那麼第一根剩下的長度仍是第二根剩下長度的3倍，而事實上第一根比假設的少用去（6×3－6）＝12米，也就多剩下第二根剩下的長度的（5－3）＝2倍。

（6×3－3）÷（5－3）+6＝12（米）

答：第二根原來有12米。

練習1：

1．丁曉原有書的本數是陳陽的5倍，若兩人同時各借出5本給其他同學，則丁曉書的本數是陳陽的10倍，兩人原來各有書多少本？

2．在植樹勞動中，光明中學植樹的棵數是光明國小的3倍，如果中學增加450棵，國小增加400棵，則中學是國小的2倍。求中、國小原來各植樹多少棵？

3．兩堆煤，第一堆是第二堆的2倍，第一堆用去8噸，第二堆用去11噸，第一堆剩下的重量是第二堆的4倍。求第二堆煤原來是多少噸？

【例題2】王明平時積蓄下來的零花錢比陳剛的3倍多6.40元，若兩個人各買了一本4.40元的故事書後，王明的錢就是陳剛的8倍，陳剛原來有零花錢多少元？

【思路導航】假設仍然保持王明的錢比陳剛的3倍多6.40元，則王明要相應地花去4.40×3 ＝13.20元，但王明只花去了4.40元，比13.20元少13.20－4.40＝8.80元，那麼王明買書後的錢比陳剛買書後的錢的3倍多6.40+8.80＝15.20元，而題中已告訴：買書後王明的錢是陳剛的8倍，所以，15.20元就對應着陳剛花錢後剩下錢的8－3＝5倍。

【6.40+（4.40×3－4.40】÷（8－3）+4.40＝7.44（元）

答：陳剛原來有零花錢7.44元。

練習2：

1．甲書架上的書比乙書架上的3倍多50本，若甲、乙兩個書架上各增加150本，則甲書架上的書是乙書架上的2倍，甲、乙兩個書架原來各有多少本書？

2．上學年，馬村中學的學生比牛莊國小的學生的2倍多54人，本學年馬村中學增加了20人，牛莊國小減少了8人，則馬村中學的學生比牛莊國小的學生的4倍少26人，上學年馬村中學和牛莊國小各有學生多少人？

3．箱子裏有紅、白兩種玻璃球，紅球比白球的3倍多2粒，每次從箱子裏取出7粒白球和15粒紅球，若干次後，箱子裏剩下3粒白球和53粒紅球，那麼，箱子裏白球原有多少粒？

【例題3】小紅的彩筆枝數是小剛的1/2，兩人各買5枝後，小紅的彩筆枝數是小剛的2/3，兩人原來各有彩筆多少枝？

【思路導航】假設小剛買了5枝後，小紅的彩筆仍為小剛的1/2，則小紅只需買（5×1/2）＝2又1/2枝，但實際上小紅買了5枝，多買了5－2又1/2＝2又1/2 枝。將小剛買了5枝後的枝數看作“1”，小紅多買了2又1/2 ，相當於（2/3－1/2）＝1/6。

小剛原來：（5－5×1/2）÷（2/3－1/2）－5＝10（枝）

小紅原來：10×1/2＝5（枝）

答：小剛原來有彩筆10枝，小紅原來有彩筆5枝。

練習3：

1．小華今年的年齡是爸爸年齡的1/6，四年後小華的年齡是爸爸的1/4，求小華和爸爸今年的年齡各是多少歲？

2．小紅今年的年齡是媽媽的3/8，10年後小紅的年齡是媽媽的1/2，小紅今年多少歲？

3．甲書架上的書是乙書架上的5/7，甲、乙兩個書架上各增加90本後，甲書架上的書是乙書架上的4/5，甲、乙兩各書架原來各有多少本書？

【例題4】王芳原有的圖書本數是李衞的4/5，兩人各捐給“希望工程”10本後，則王芳的圖書的本數是李衞的7/10，兩人原來各有圖書多少本？

【思路導航】假設李衞捐了10本後，王芳的圖書仍是李衞的4/5，則王芳只需捐10×4/5＝8本，實際王芳捐了10本，多捐了10－8＝2本，將李衞捐書後剩下的圖書看作“1”，着2本書相當於4/5－7/10＝1/10。

（10－10×4/5）÷(4/5－710)=30(本)

30×4/5＝24（本）

答：李衞原有圖書30本，王芳原有圖書24本。

練習4：

1．甲書架上的書是乙書架上的4/5，從這兩個書架上各借出112本後，甲書架上的書是乙書架上的4/7，原來甲、乙兩個書架上各有多少本書？

2．小明今年的年齡是爸爸的6/11，10年前小明的年齡是爸爸的4/9，小明和爸爸今年各多少歲？

3．甲車間的工人是乙車間的1/4，從甲、乙兩個車間各抽出30人後，甲車間的工人只佔乙車間的1/6，甲、乙兩個車間原來各有多少名工人？

【例題5】某校六年級男生人數是女生的23，後來轉進2名男生，轉走3名女生，這時男生人數是女生的3/4，現在男、女生各有多少人？

【思路導航】假設轉走3名女生後，男生人數仍是女生的2/3，則男生應轉走3×2/3＝2人，實際上男生卻轉進2人，與應轉走2人相差2+2＝4人。將轉走3名女生後的女生人數看作“1”，則相差的4人相當於現在女生的3/4－2/3。

（2+3×2/3）÷（3/4－2/3）＝48（人）

48×3/4＝36（人）

答：現在男生有36人，女生有48人。

練習5：

1．甲車間的工人是乙車間的2/5，後來甲車間增加20人，乙車間減少35人，這樣甲車間的人數是乙車間的7/9，現在甲、乙兩個車間各有多少人？

2．有一堆棋子，黑子是白子的2/3，現在取走12粒黑子，添上18粒白子後，黑子是白子的5/12，現在白子、黑子各有多少粒？

3．愛華國小和曙光國小的同學參加國小數學競賽，去年的比賽中，愛華國小得一等獎的人數是曙光國小的2.5倍。今年的比賽中，愛華國小得一等獎的人數減少了1人，曙光國小增加了6人，這時曙光國小得一等獎的人數是愛華國小的2倍。兩校去年的一等獎的同學各有多少人？