學習奧數必備的基礎
國小奧數理論知識速查手冊
1.和差倍問題
? | 和差問題 | 和倍問題 | 差倍問題 |
已知條件 | 幾個數的和與差 | 幾個數的和與倍數 | 幾個數的差與倍數 |
公式適用範圍 | 已知兩個數的和,差,倍數關係 | ||
公式 | ①(和-差)÷2=較小數 |
較小數+差=較大數
和-較小數=較大數
②(和+差)÷2=較大數
較大數-差=較小數
和-較大數=較小數
和÷(倍數+1)=小數 |
小數×倍數=大數
和-小數=大數
差÷(倍數-1)=小數小數×倍數=大數 |
小數+差=大數
關鍵問題 | 求出同一條件下的 | ||
? | 和與差 | 和與倍數 | 差與倍數 |
2.年齡問題的三個基本特徵:(五點名校命題必考知識點,國小各種競賽中的命題熱點)①兩個人的年齡差是不變的;
②兩個人的年齡是同時增加或者同時減少的;
③兩個人的年齡的倍數是發生變化的;
3.歸一問題的基本特點:問題中有一個不變的量,一般是那個“單一量”,題目一般用“照這樣的速度”……等詞語來表示。
關鍵問題:根據題目中的條件確定並求出單一量;
4.植樹問題(五點名校命題必考知識點,國小各種競賽中的命題熱點)
基本類型 | 在直線或者不封閉的曲線上植樹,兩端都植樹 | 在直線或者不封閉的曲線上植樹,兩端都不植樹 | 在直線或者不封閉的曲線上植樹,只有一端植樹 | 封閉曲線上植樹 |
基本公式 | 棵數=段數+1 |
棵距×段數=總長
棵數=段數-1 |
棵距×段數=總長
棵數=段數 |
棵距×段數=總長
關鍵問題 | 確定所屬類型,從而確定棵數與段數的關係 |
5.雞兔同籠問題基本概念:雞兔同籠問題又稱為置換問題、假設問題,就是把假設錯的那部分置換出來;基本思路:
①假設,即假設某種現象存在(甲和乙一樣或者乙和甲一樣):
②假設後,發生了和題目條件不同的差,找出這個差是多少;
③每個事物造成的差是固定的,從而找出出現這個差的原因;
④再根據這兩個差作適當的調整,消去出現的差。
基本公式:
①把所有雞假設成兔子:雞數=(兔腳數×總頭數-總腳數)÷(兔腳數-雞腳數)
②把所有兔子假設成雞:兔數=(總腳數一雞腳數×總頭數)÷(兔腳數一雞腳數)
關鍵問題:找出總量的差與單位量的差。
雪帆提示:雞兔同籠的公式千萬不要死記硬背,因為它的變形更多!
6.盈虧問題基本概念:一定量的對象,按照某種標準分組,產生一種結果:按照另一種標準分組,又產生一種結果,由於分組的標準不同,造成結果的差異,由它們的關係求對象分組的組數或對象的總量.基本思路:先將兩種分配方案進行比較,分析由於標準的差異造成結果的變化,根據這個關係求出參加分配的總份數,然後根據題意求出對象的總量.
基本題型:
①一次有餘數,另一次不足;
基本公式:總份數=(餘數+不足數)÷兩次每份數的差②當兩次都有餘數;
基本公式:總份數=(較大餘數一較小余數)÷兩次每份數的差③當兩次都不足;
基本公式:總份數=(較大不足數一較小不足數)÷兩次每份數的差基本特點:對象總量和總的組數是不變的。
關鍵問題:確定對象總量和總的組數。
7.牛吃草問題基本思路:
假設每頭牛吃草的速度為“1”份,根據兩次不同的吃法,求出其中的總草量的差;再找出造成這種差異的原因,即可確定草的生長速度和總草量。
基本特點:原草量和新草生長速度是不變的;關鍵問題:確定兩個不變的'量。
基本公式:生長量=(較長時間×長時間牛頭數-較短時間×短時間牛頭數)÷(長時間-短時間);
總草量=較長時間×長時間牛頭數-較長時間×生長量;
8.週期循環與數表規律週期現象:事物在運動變化的過程中,某些特徵有規律循環出現。
週期:我們把連續兩次出現所經過的時間叫週期。關鍵問題:確定循環週期。
閏年:一年有366天;①年份能被4整除;②如果年份能被100整除,則年份必須能被400整除;
平年:一年有365天。①年份不能被4整除;②如果年份能被100整除,但不能被400整除;
9.平均數基本公式:①平均數=總數量÷總份數
總數量=平均數×總份數總份數=總數量÷平均數
②平均數=基準數+每一個數與基準數差的和÷總份數基本算法:
①求出總數量以及總份數,利用基本公式
①進行計算.
②基準數法:根據給出的數之間的關係,確定一個基準數;一般選與所有數比較接近的數或者中間數為基準數;以基準數為標準,求所有給出數與基準數的差;再求出所有差的和;再求出這些差的平均數;最後求這個差的平均數和基準數的和,就是所求的平均數,具體關係見基本公式。
10.抽屜原理(五點名校命題必考知識點,國小各種競賽中的命題熱點)
抽屜原則一:如果把(n+1)個物體放在n個抽屜裏,那麼必有一個抽屜中至少放有2個物體。
例:把4個物體放在3個抽屜裏,也就是把4分解成三個整數的和,那麼就有以下四種情況:
①4=4+0+0
②4=3+1+0
③4=2+2+0
④4=2+1+1觀察上面四种放物體的方式,我們會發現一個共同特點:總有那麼一個抽屜裏有2個或多於2個物體,也就是説必有一個抽屜中至少放有2個物體。
抽屜原則二:如果把n個物體放在m個抽屜裏,其中n>m,那麼必有一個抽屜至少有:
①k=[n/m]+1個物體:當n不能被m整除時。
②k=n/m個物體:當n能被m整除時。理解知識點:[X]表示不超過X的最大整數。例[4.351]=4;[0.321]=0;[2.9999]=2;
關鍵問題:構造物體和抽屜。也就是找到代表物體和抽屜的量,而後依據抽屜原則進行運算。
11.定義新運算(五點名校命題必考知識點)基本概念:定義一種新的運算符號,這個新的運算符號包含有多種基本(混合)運算。
基本思路:嚴格按照新定義的運算規則,把已知的數代入,轉化為加減乘除的運算,然後按照基本運算過程、規律進行運算。
關鍵問題:正確理解定義的運算符號的意義。
注意事項:①新的運算不一定符合運算規律,特別注意運算順序。
②每個新定義的運算符號只能在本題中使用。
12.數列求和(五點名校命題必考知識點,國小各種競賽中的命題熱點)等差數列:在一列數中,任意相鄰兩個數的差是一定的,這樣的一列數,就叫做等差數列。
基本概念:首項:等差數列的第一個數,一般用a1表示;
項數:等差數列的所有數的個數,一般用n表示;
公差:數列中任意相鄰兩個數的差,一般用d表示;
通項:表示數列中每一個數的公式,一般用an表示;
數列的和:這一數列全部數字的和,一般用Sn表示.
基本思路:等差數列中涉及五個量:a1,an,d,n,sn,通項公式中涉及四個量,如果己知其中三個,就可求出第四個;
求和公式中涉及四個量,如果己知其中三個,就可以求這第四個。
基本公式:
通項公式:an=a1+(n-1)d;通項=首項+(項數一1)×公差;
數列和公式:sn,=(a1+an)×n÷2;數列和=(首項+末項)×項數÷2;
項數公式:n=(an+a1)÷d+1;項數=(末項-首項)÷公差+1;
公差公式:d=(an-a1))÷(n-1);公差=(末項-首項)÷(項數-1);
關鍵問題:確定已知量和未知量,確定使用的公式;雪帆提示:推導出來的東西要熟記,可以利用植樹問題推到!
13.二進制及其應用十進制:
用0~9十個數字表示,逢10進1;不同數位上的數字表示不同的含義,十位上的2表示20,百位上的2表示200。所以234=200+30+4=2×102+3×10+4。=An×10n-1+An-1×10n-2+An-2×10n-3+An-3×10n-4+An-4×10n-5+An-6×10n-7+……+A3×102+A2×101+A1×100
注意:N0=1;N1=N(其中N是任意自然數)二進制:用0~1兩個數字表示,逢2進1;不同數位上的數字表示不同的含義。
(2)=An×2n-1+An-1×2n-2+An-2×2n-3+An-3×2n-4+An-4×2n-5+An-6×2n-7+……+A3×22+A2×21+A1×20注意:An不是0就是1。
十進制化成二進制:
①根據二進制滿2進1的特點,用2連續去除這個數,直到商為0,然後把每次所得的餘數按自下而上依次寫出即可。
②先找出不大於該數的2的n次方,再求它們的差,再找不大於這個差的2的n次方,依此方法一直找到差為0,按照二進制展開式特點即可寫出。
14.加法乘法原理和幾何計數(五點名校命題必考知識點,國小各種競賽中的命題熱點)
加法原理:如果完成一件任務有n類方法,在第一類方法中有m1種不同方法,在第二類方法中有m2種不同方法……,在第n類方法中有mn種不同方法,那麼完成這件任務共有:m1+m2.......+mn種不同的方法。
關鍵問題:確定工作的分類方法。
基本特徵:每一種方法都可完成任務。
乘法原理:如果完成一件任務需要分成n個步驟進行,做第1步有m1種方法,不管第1步用哪一種方法,第2步總有m2種方法……不管前面n-1步用哪種方法,第n步總有mn種方法,那麼完成這件任務共有:m1×m2.......×mn種不同的方法。關鍵問題:確定工作的完成步驟。基本特徵:每一步只能完成任務的一部分。直線:一點在直線或空間沿一定方向或相反方向運動,形成的軌跡。
直線特點:沒有端點,沒有長度。
線段:直線上任意兩點間的距離。這兩點叫端點。
線段特點:有兩個端點,有長度。
射線:把直線的一端無限延長。
射線特點:只有一個端點;沒有長度。
①數線段規律:總數=1+2+3+…+(點數一1);
②數角規律=1+2+3+…+(射線數一1);
③數長方形規律:個數=長的線段數×寬的線段數:
④數長方形規律:個數=1×1+2×2+3×3+…+行數×列數
15.質數與合數質數:一個數除了1和它本身之外,沒有別的約數,這個數叫做質數,也叫做素數。
合數:一個數除了1和它本身之外,還有別的約數,這個數叫做合數。
質因數:如果某個質數是某個數的約數,那麼這個質數叫做這個數的質因數。
分解質因數:把一個數用質數相乘的形式表示出來,叫做分解質因數。通常用短除法分解質因數。任何一個合數分解質因數的結果是唯一的。
分解質因數的標準表示形式:N=,其中a1、a2、a3……an都是合數N的質因數,且a1
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