數學教案不等式證明參考

目的：以不等式的.等價命題為依據，揭示不等式的常用證明方法之一——比較法，要求學生能教熟練地運用作差、作商比較法證明不等式。

過程：

一、複習：

1．不等式的一個等價命題

2．比較法之一（作差法）步驟：作差——變形——判斷——結論

二、作差法：（P13—14）

1． 求證：x2 + 3 > 3x

證：∵(x2 + 3) - 3x =

∴x2 + 3 > 3x

2． 已知a, b, m都是正數，並且a < b，求證：

證：

∵a,b,m都是正數，並且a 0 , b - a > 0

∴ 即：

變式：若a > b，結果會怎樣？若沒有“a < b”這個條件，應如何判斷？

3． 已知a, b都是正數，並且a b，求證：a5 + b5 > a2b3 + a3b2

證：(a5 + b5 ) - (a2b3 + a3b2) = ( a5 - a3b2) + (b5 - a2b3 )

= a3 (a2 - b2 ) - b3 (a2 - b2) = (a2 - b2 ) (a3 - b3)

= (a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2)

∵a, b都是正數，∴a + b, a2 + ab + b2 > 0

又∵a b，∴(a - b)2 > 0 ∴(a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2) > 0

即：a5 + b5 > a2b3 + a3b2

4． 甲乙兩人同時同地沿同一路線走到同一地點，甲有一半時間以速度m行走，另一半時間以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m n，問：甲乙兩人誰先到達指定地點？

解：設從出發地到指定地點的路程為S，

甲乙兩人走完全程所需時間分別是t1, t2，

則： 可得：

∴

∵S, m, n都是正數，且m n，∴t1 - t2 < 0 即：t1 < t2

從而：甲先到到達指定地點。

變式：若m = n，結果會怎樣？

三、作商法

5． 設a, b R+，求證：

證：作商：

當a = b時，

當a > b > 0時，

當b > a > 0時，

∴ （其餘部分佈置作業）

作商法步驟與作差法同，不過最後是與1比較。

四、小結：作差、作商

五、作業： P15 練習

P18 習題6.3 1—4