高三數學數列章末檢測題及答案

一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)

1．已知{an}為等差數列，若a3＋a4＋a8＝9，則S9＝( )

A．24 B．27

C．15 D．54

解析 B 由a3＋a4＋a8＝9，得3(a1＋4d)＝9，即a5＝3.則S9＝9a1＋a92＝9a5＝27.

2．在等差數列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，則a9－13a11的值為( )

A．14 B．15

C．16 D．17

解析 C ∵a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，∴5a8＝120，a8＝24，∴a9－13a11＝(a8＋d)

－13(a8＋3d)＝23a8＝16.

3．已知{an}是由正數組成的等比數列，Sn表示{an}的前n項的和，若a1＝3，a2a4＝144，則S5的值是( )

A.692 B．69

C．93 D．189

解析 C 由a2a4＝a23＝144得a3＝12(a3＝－12捨去)，又a1＝3，各項均為正數，則

q＝2.所以S5＝a11－q51－q＝3×1－321－2＝93.

4．在數列1,2，7，10，13，4，…中，219是這個數列的第幾項( )

A．16 B．24

C．26 D．28

解析 C 因為a1＝1＝1，a2＝2＝4，a3＝7，a4＝10，a5＝13，a6＝4＝16，…，

所以an＝3n－2.令an＝3n－2＝219＝76，得n＝26.故選C.

5．已知等差數列的前n項和為Sn，若S13<0，s12>0，則在數列中絕對值最小的項為( )

A．第5項 B．第6項

C．第7項 D．第8項

解析 C ∵S13<0，∴a1＋a13＝2a7<0，又s12>0，

∴a1＋a12＝a6＋a7>0，∴a6>0，且|a6|>|a7|.故選C.

6.122－1＋132－1＋142－1＋…＋1n＋12－1的值為( )

A.n＋12n＋2 B.34－n＋12n＋2

C.34－121n＋1＋1n＋2 D.32－1n＋1＋1n＋2

解析 C ∵1n＋12－1＝1n2＋2n＝1nn＋2＝121n－1n＋2，

∴Sn＝121－13＋12－14＋13－15＋…＋1n－1n＋2

＝1232－1n＋1－1n＋2＝34－121n＋1＋1n＋2.

7．正項等比數列{an}中，若log2(a2a98)＝4，則a40a60等於( )

A．－16 B．10

C．16 D．256

解析 C 由log2(a2a98)＝4，得a2a98＝24＝16，

則a40a60＝a2a98＝16.

8．設f(n)＝2＋24＋27＋210＋…＋23n＋10(n∈N)，則f(n)＝( )

A.27(8n－1) B.27(8n＋1－1)

C.27(8n＋3－1) D.27(8n＋4－1)

解析 D ∵數列1,4,7,10，…，3n＋10共有n＋4項，∴f(n)＝2[1－23n＋4]1－23＝27(8n＋4－1)．

9．△ABC中，tan A是以－4為第三項，－1為第七項的等差數列的公差，tan B是以12為

第三項，4為第六項的等比數列的公比，則該三角形的形狀是( )

A．鈍角三角形 B．鋭角三角形

C．等腰直角三角形 D．以上均錯

解析 B 由題意 知，tan A＝－1－－47－3＝34＞0.

又∵tan3B＝412＝8，∴tan B＝2＞0， ∴A、B均為鋭角．

又∵tan(A＋B)＝34＋21－34×2＝－112＜0，∴A＋B為鈍角，即C為鋭角，

∴△ABC為鋭角三角形．

10．在等差數列{an}中，前n項和為Sn＝nm，前m項和Sm＝mn，其中m≠n，則Sm＋n的值( )

A．大於4 B．等於4

C．小於4 D．大於2且小於4

解析 A 由題意可設Sk＝ak2＋bk(其中k為正整數)，

則an2＋bn＝nm，am2＋bm＝mn，解得a＝1mn，b＝0，∴Sk＝k2mn，

∴Sm＋n＝m＋n2mn>4mnmn＝4.

11．等差數列{an}的前n項和為Sn(n＝1，2,3，…)，若當首項a1

和公差d變化時，a5＋a8＋ a11是一個定值，則下列選項中為定值的是( )

A．S17 B．S18

C．S15 D．S14

解析 C 由a5＋a8＋a11＝3a1＋21d＝3(a1＋7d)＝3a8是定值，可知a8是定值．所以

S15＝15a1＋a152＝15a8是定值．

12．數列{an}的通項公式an＝1nn＋1，其前n項和為910，則在平面直角座標系中，直線

(n＋1)x＋y＋n＝0在y軸上的截距為( )

A．－10 B．－9

C．10 D．9

解析 B ∵an＝1n－1n＋1， ∴Sn＝1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝nn＋1，

由nn＋1＝910，得n＝9，∴直線方程為10x＋y＋9＝0，其在y軸上的截距為－9.

二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)

13．設Sn是等差 數列{an}(n∈N*)的前n項和，且a1＝1，a4＝7，則S5＝________.

解析 ∵a1＝1，a4＝7，∴d＝7－14－1＝2.

∴S5＝5a1＋5×5－12d＝5×1＋5×42×2＝25.

【答案】 25

14．若數列{an}滿足關係a1＝3，an＋1＝2an＋1，則該數列的通項公式為________．

解析 ∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，

∴數列{an＋1}是首項為4，公比為2的等比數列，

∴an＋1＝42n－1，∴an＝2n＋1－1.

【答案】 an＝2n＋1－1

15．(20 11北京大學聯考)在等比數列{an}中，若a1＝12，a4＝－4，則公比q＝________；|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝________.

解析 ∵數列{an}為等比數列，

∴a4＝12q3＝－4，q＝－2；an＝12(－2)n－1， |an|＝122n－1，

由等比數列前n項和公式得 |a1|＋|a2|＋…＋|an|＝121－2n1－2＝－12＋122n＝2n－1－12.

【答案】 －2 2n－1－12

16．給定：an＝logn＋1(n＋2)(n∈N*)，定義使a1a2…ak為整數的數k(k∈N*)叫做數列{an}的“ 企盼數”，則區間[1,2 013]內所有“企盼數”的和M＝________.

解析 設a1a2…ak＝log23log34…logk(k＋1)logk＋1(k＋2)＝log2(k＋2)為整數m，

則k＋2＝2m，

∴k＝2m－2.

又1≤k≤2 013，

∴1≤2m－2≤2 013，

∴2≤m≤10.

∴區間[1,2 013]內所有“企盼數”的和為

M＝(22－2)＋(23－2)＋…＋(210－2)

＝(22＋23＋…＋210)－18

＝22×1－291－2－18

＝2 026.

【答案】 2 026

三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字説明、證明過程或演算步驟)

17．(10分)已知等差數列{an}的前三項為a,4,3a，前k項的和Sk＝2 550，求通項公式an及k的值．

解析 法一：由題意知，

a1＝a，a2＝4，a3＝3a，Sk＝2 550.

∵數列{an}是等差數列，

∴a＋3a＝2×4，

∴a1＝a＝2，公差d＝a2－a1＝2，

∴an＝2＋2(n－1)＝2n.

又∵Sk＝ka1＋kk－12d，

即k2＋kk－122＝2 550，整理，

得k2＋k－2 550＝0，

解得k1＝50， k2＝－51(捨去)，

∴an＝2n，k＝50.

法二：由法一，得a1＝a＝2，d＝2，

∴an＝2＋2(n－1)＝2n，

∴Sn＝na1＋an2＝n2＋2n2＝n 2＋n.

又∵Sk＝2 550，

∴k2＋k＝2 550，

即k2＋k－2 550＝0，

解得k＝50(k＝－51捨去)．

∴an＝2n，k＝50.

18．(12分)(1)已知數列{an}的前n項和Sn＝3n2－2n，求數列{an}的通項公式；新課標

(2)已知數列{an}的前n項和為Sn＝3＋2n，求an.

解析 (1)n＝1時，a1＝S1＝1.

當n≥2時，

an＝Sn－Sn－1

＝3n2－2n－3(n－1)2＋2(n－1)

＝ 6n－5，

因為a1也適合上式，

所以通項公式為an＝6n－5.

(2)當n＝1時，a1＝S1＝3＋2＝5.

當n≥2時，

an＝Sn－Sn－1＝3＋2n－(3＋2n－1)＝2n－2n－1＝2n－1.

因為n＝1時，不符合an＝2n－1，

所以數列{an}的通項公式為

an＝5， n＝1，2n－1， n≥2.

19．(12分)有10台型號相同的聯合收割機，收割一片土地上的莊稼．若同時投入至收割完畢需用24小時，但現在它們是每隔相同的`時間依次投入工作的，每一台投入工作後都一直工作到莊稼收割完畢．如果第一台收割機工作的時間是最後一台的5倍．求用這種收割方法收割完這片土地上的莊稼需用多長時間？

解析 設從第一台投入工作起，這10台收割機工作的時間依次為a1，a2，a3，…，a10小時，依題意，{an}組成一個等差數列，每台收割機每小時工作效率是1240，且有

a1240＋a2240＋…＋a10240＝1， ①a1＝5a10， ②

由①得，a1＋a2＋…＋a10＝240.

∵數列{an}是等差數列，

∴a1＋a10×102＝240，即a1＋a10＝48.③

將②③聯立，解得a1＝40(小時)，即用這種方 法收割完這片土地上的莊稼共需40小時．

20．(12分)已知數列{an}滿足a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1.

(1)求證：{an＋1＋2an}是等比數列；

(2)求數列{an}的通項公式；

(3)設3nbn＝n(3n－an)，求|b1|＋|b2|＋…＋|bn|.

解析 (1)∵an＋1＝an＋6an－1，

∴an＋1＋2an＝3an＋6an－1＝3(an＋2an－1)．

又a1＝5，a2＝5，

∴a2＋2a1＝15，

∴an＋an＋1≠0，

∴an＋1＋2anan＋2an－1＝3，

∴數列{an＋1＋2an}是以15為首項，

3為公比的等比數列．

(2)由(1)得an＋1＋2an＝15×3n－1＝5×3n，

即an＋1＝－2an＋5×3n，

∴an＋1－3n＋1＝－2(an－3n)．

又∵a1－3＝2，

∴an－3n≠0，

∴{an－3n}是以2為首項，－2為公比的等比數列．

∴an－3n＝2×(－2)n－1，

即an＝2×(－2)n－1＋3n(n∈N*)．

(3)由(2)及3nbn＝ n(3n－an)，可得

3nbn＝－n(an－3n)＝－n[2×(－2)n－1]＝n(－2)n，

∴bn＝n－23n，

∴|bn|＝n23n.

∴Tn＝|b1|＋|b2|＋…＋|bn|

＝23＋2×232＋…＋n×23n，①

①×23，得

23Tn＝232＋2×233＋…＋(n－1)×23n＋n×23n＋1，②

①－②得

13Tn＝23＋232＋…＋23n－n×23n＋1

＝2－3×23n＋1－n23n＋1

＝2－(n＋3)23n＋1，

∴Tn＝6－2(n＋3)23n.

21．(12分)已知函數f(x)滿足f(x＋y)＝f(x)f(y)且f(1)＝12.

(1)當n∈N*時，求f(n)的表達式；

(2)設an＝nf(n)，n∈N*，求證：a1＋a2＋a3＋…＋an<2；

(3)設bn＝(9－n)fn＋1fn，n∈N*，Sn為{bn}的前n項和，當Sn最大時，求n的值．

解析 (1)令x＝n，y＝1，

得f(n＋1)＝f(n)f(1)＝12f(n)，

∴{f(n)}是首項為12，公比為12的等比數列，

即f(n)＝12n.

(2)設Tn為{an}的前n項和，

∵an＝nf(n)＝n12n，

∴Tn＝12＋2×122＋3×123＋…＋n×12n，

12Tn＝122＋2×123＋3×124＋…＋(n－1)×12n＋n×12n＋1，

兩式相減得

12Tn＝12＋122＋…＋12n－n×12n＋1，

整理，得Tn＝2－12n－1－n×12n<2.

(3)∵f(n)＝12n，

∴bn＝(9－n)fn＋1fn

＝(9－n)12n＋112n＝9－n2，

∴當n≤8時，bn>0；當n＝9時，bn＝0；

當n>9時，bn<0.

∴當n＝8或9時，Sn取到最大值．

22． (12分)設數列{an}滿足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝n3(n∈N*) ．

(1)求數列{an}的通項；

(2)設bn＝nan，求數列{bn}的前n項和Sn.

解析 (1)∵a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝n3，①

∴a1＝13，

a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝n－13(n≥2)，②

①－②得3n－1an＝n3－n－13＝13(n≥2)，

化簡得an＝13n(n≥2)．

顯然a1＝13也滿足上式，故an＝13n(n∈N*)．

(2)由①得bn＝n3n.

於是Sn＝13＋232＋333＋…＋n3n，③

3Sn＝132＋233＋334＋…＋n3n＋1，④

③－④得－2Sn＝3＋32＋33＋…＋3n－n3n＋1，

即－2Sn＝3－3n＋11－3－n3n＋1，

Sn＝n23n＋1－143n＋1＋34.