七年級奧數期末自測題(三)及答案解析

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七年級奧數期末自測題(三)及答案解析

1.解關於x的方程

2.解方程

其中a+b+c≠0.

3.求(8x3-6x2+4x-7)3(2x5-3)2的展開式中各項係數之和.

4.液態農藥一桶，倒出8升後用水灌滿，再倒出混合溶液4升，再用水灌滿，這時農藥的濃度為72%，求桶的容量.

5.滿足[-1.77x]=-2x的自然數x共有幾個?這裏[x]表示不超過x的最大整數，例如[-5.6]=-6，[3]=3.

6.設P是△ABC內一點.求：P到△ABC三頂點的距離和與三角形周長之比的`取值範圍.

7.甲乙兩人同時從東西兩站相向步行，相會時，甲比乙多行24千米，甲經過9小時到東站，乙經過16小時到西站，求兩站距離.

8.黑板上寫着三個數，任意擦去其中一個，將它改寫成其他兩數的和減1，這樣繼續下去，最後得到19，1997，1999，問原來的三個數能否是2，2，2?

9.設有n個實數x1，x2，…，xn，其中每一個不是+1就是-1，且

求證：n是4的倍數.

答案解析：

1.化簡得

6(a-1)x=3-6b+4ab，

當a≠1時，

2.將原方程變形為

由此可解得

x=a+b+c.

3.當x=1時，

(8-6+4-7)3(2-1)2=1.

即所求展開式中各項係數之和為1.

依題意得

去分母、化簡得

7x2-300x+800=0，

即 (7x-20)(x-40)=0，

5.若n為整數，有[n+x]=n+[x]，所以

[-1.77x]=[-2x+0.23x]

=-2x+[0.23x].

由已知[-1.77x]=-2x，所以

-2x=-2x+[0.23x]，

所以[0.23x]=0.

又因為x為自然數，所以0≤0.23x<1，經試驗，可知x可取1，2，3，4，共4個.

6.如圖1-105所示.在△PBC中有

BC

延長BP交AC於D.易證

PB+PC

由①，②

BC

同理

AC

AB

③+④+⑤得

AB+BC+CA<2(PA+PB+PC)<2(AB+BC+CA).

所以

來

7.設甲步行速度為x千米/小時，乙步行速度為y千米/小時，則所求距離為(9x+16y)千米.依題意得

由①得

16y2=9x2，③

由②得16y=24+9x，將之代入③得

即 (24+9x)2=(12x)2.

解之得

於是

所以兩站距離為

9×8+16×6=168(千米).

8.答案是否定的.對於2，2，2，首先變為2，2，3，其中兩個偶數，一個奇數.以後無論改變多少次，總是兩個偶數，一個奇數(數值可以改變，但奇偶性不變)，所以，不可能變為19，1997，1999這三個奇數.

又因為

所以，k是偶數，從而n是4的倍數.