奧數例題詳解
例1: 觀察數列的前面幾項,找出規律,寫出該數列的第100項來?
12345,23451,34512,45123,…
解:為了尋找規律,再多寫出幾項出來,並給以編號:
仔細觀察,可發現該數列的第6項同第1項,第7項同第2項,第8項同第3項,…也就是説該數列各項的出現具有周期性,他們是循環出現的,一個循環節包含5項.
100÷5=20.
可見第100項與第5項、第10項一樣(項數都能被5整除),即第100項是51234.
例2 :把寫上1到100這100個號碼的牌子,像下面那樣依次分發給四個人,你知道第73號牌子會落到誰的手裏?
解:仔細觀察,你會發現:
分給小明的牌子號碼是1,5,9,13,…,號碼除以4餘1;
分給小英的牌子號碼是2,6,10,14,…,號碼除以4餘2;
分給小方的牌子號碼是3,7,11,…,號碼除以4餘3;
分給小軍的牌子號碼是4,8,12,…,號碼除以4餘0(整除).
因此,試用4除73看看餘幾?
73÷4=18…餘 1
可見73號牌會落到小明的手裏.
這就是運用瞭如下的規律:
用這種規律預測第幾號牌子發給誰,是很容易的,請同學們自己再試一試.
例3: 四個小動物換位,開始小鼠、小猴、小兔和小貓分別坐在1、2、3、4號位子上(如下圖所示).第一次它們上下兩排換位,第二次左右換位,第三次又上下交換,第四次左右交換.這樣一直交換下去,問十次換位後,小兔坐在第幾號座位上?
解:為了能找出變化規律,再接着寫出幾次換位情況,見下圖.
盯住小兔的位置進行觀察:
第一次換位後,它到了第1號位;
第二次換位後,它到了第2號位;
第三次換位後,它到了第4號位;
第四次換位後,它到了第3號位;
第五次換位後,它又到了第1號位;
…
可以發現,每經過四次換位後,小兔又回到了原來的位置,利用這個規律以及10÷4=2…餘2,可知:
第十次換位後,小兔的座位同第二次換位後的位置一樣,即在第二號位.
如果再仔細地把換位圖連續起來研究研究,可以發現,隨着一次次地交換,
小兔的座位按順時針旋轉,
小鼠的座位按逆時針旋轉,
小猴的座位按順時針旋轉,
小貓的座位按逆時針旋轉,
按這個規律也可以預測任何小動物在交換幾次後的座位.
例4: 從1開始,每隔兩個數寫出一個數,得到一列數,求這列數的第100個數是多少?
1,4,7,10,13,…
解:不難看出,這是一個等差數列,它的後一項都比相鄰的'前一項大3,即公差=3,還可以發現:
第2項等於第1項加1個公差即
4=1+1×3.
第3項等於第1項加2個公差即
7=1+2×3.
第4項等於第1項加3個公差即
10=1+3×3.
第5項等於第1項加4個公差即
13=1+4×3.
…
可見第n項等於第1項加(n-1)個公差,即
按這個規律,可求出:
第100項=1+(100-1)×3=1+99×3=298.
例5: 畫圖遊戲先畫第一代,一個△,再畫第二代,在△下面畫出兩條線段,在一條線段的末端又畫一個△,在另一條的末端畫一個○;畫第三代,在第二代的△下面又畫出兩條線段,一條末端畫△,另一條末端畫○;而在第二代的○的下面畫一條線,線的末端再畫一個△;…一直照此畫下去(見下圖),問第十次的△和○共有多少個?
解:按着畫圖規則繼續畫出幾代,以便於觀察,以期從中找出圖形的生成規律,見下圖.
數一數,各代的圖形(包括△和○)的個數列成下表:
可以發現各代圖形個數組成一個數列,這個數列的生成規律是,從第三項起每一項都是前面兩項之和.按此規律接着把數列寫下去,可得出第十代的△和○共有89個(見下表):
這就是著名的裴波那契數列.裴波那契是意大利的數學家,他生活在距今大約七百多年以前的時代.
例6 :如下圖所示,5個大小不等的中心有孔的圓盤,按大的在下、小的在上的次序套在木樁上構成了一座圓盤塔.現在要把這座圓盤塔移到另一個木樁上.規定移動時要遵守一個條件,每搬一次只許拿一個圓盤而且任何時候大圓盤都不能壓住小圓盤.假如還有第三個木樁可作臨時存放圓盤之用.問把這5個圓盤全部移到另一個木樁上至少需要搬動多少次?(下圖所示)
解:先從最簡單情形試起.
①當僅有一個圓盤時,顯然只需搬動一次(見下頁圖).
②當有兩個圓盤時,只需搬動3次(見下圖).
③當有三個圓盤時,需要搬動7次(見下頁圖).
總結,找規律:
①當僅有一個圓盤時,只需搬1次.
②當有兩個圓盤,上面的小圓盤先要搬到臨時樁上,等大圓盤搬到中間樁後,小圓盤還得再搬回來到大圓盤上.所以小的要搬兩次,下面的大盤要搬1次.這樣搬到兩個圓盤需3次.
③當有三個圓盤時,必須先要把上面的兩個小的圓盤搬到臨時樁上,見上圖中的(1)~(3).由前面可知,這需要搬動3次.然後把最下層的最大圓盤搬一次到中間樁上,見圖(4),之後再把上面的兩個搬到中間樁上,這又需搬3次,見圖中(5)~(7).
所以共搬動2×3+1=7次.
④推論,當有4個圓盤時,就需要先把上面的3個圓盤搬到臨時樁上,需要7次,然後把下面的大圓盤搬到中間樁上(1次),之後再把臨時樁上的3個圓盤搬到中間樁上,這又需要7次,所以共需搬動2×7+1=15次.
⑤可見當有5個圓盤時,要把它按規定搬到中間樁上去共需要:
2×15+1=31次.
這樣也可以寫出一個一般的公式(叫遞推公式)
對於有更多圓盤的情況可由這個公式算出來.
進一步進行考察,並聯想到另一個數列:
若把n個圓盤搬動的次數寫成an,把兩個表對照後,
可得出
有了這個公式後直接把圓盤數代入計算就行了,不必再像前一個公式那樣進行遞推了.
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