國小五年級奧數整數分拆問題例題講解

整數分拆問題是一個古老而又十分有趣的問題。所謂整數的分拆，就是把一個自然數表示成為若干個自然數的和的形式，每一種表示方法，便是這個自然數的一個分拆。整數分拆的要求通常是將一個自然數拆成兩個(或兩個以上)自然數的和，並使這些自然數的積最大(或最小);或拆成若干個連續自然數的和等等。下面舉例作出剖析。

例1 將14分拆成兩個自然數的和，並使這兩個自然數的'積最大，應該如何分拆?

分析與解不考慮加數順序，將14分拆成兩個自然數的和，有1+13，2+12，3+11，4+10，5+9，6+8，7+7共七種方法。經計算，容易得知，將14分拆成7+7時，有最大積7×7=49。

例2 將15分拆成兩個自然數的和，並使這兩個自然數的積最大，如何分拆?

分析與解不考慮加數順序，可將15分拆成下列形式的兩個自然數的和：1+14，2+13，3+12，4+11，5+10，6+9，7+8。顯見，將15分拆成7+8時，有最大積7×8=56。

注：從上述兩例可見，將一個自然數分拆成兩個自然數的和時，如果這個自然數是偶數2m，當分拆成m+m時，有最大積m×m=m2;如果這個自然數是奇數2m+1，當分拆成m+(m+1)時，有最大積m×(m+1)。

例3 將14分拆成3個自然數的和，並使這三個自然數的積最大，如何分拆?

分析與解顯然，只有使分拆成的數之間的差儘可能地小(比如是0或1)，這樣得到的積才最大。這樣不難想到將14分拆成4+5+5時，有最大積4×5×5=100。

例4 將14分拆成若干個自然數的和，並使這些自然數的積最大，如何分拆?

分析與解首先應該考慮分成哪些數時乘積才能儘可能地大。

首先分拆成的數中不能有1，這是顯而易見的。

其次分成的數中不能有大於4的數，不然的話，將這個數再拆成2與另一個自然數的和，這兩個數的積一定比原數大。比如5=2+3，但5比2×3=6小。

又因為4=2×2，因此，可以考慮將14分拆成若干個2或3了。

注意到2+2+2=6，2×2×2=8;3+3=6，3×3=9.因此，分拆成的數中如果有三個2，還不如換成兩個3。這樣可知，分拆成的數中至多隻能有兩個2，其餘都是3。

綜合上述結果，應該將14分拆成四個3與一個2之和，即14=3+3+3+3+2，這樣可得到五個數的最大積3×3×3×3×2=162。

上述幾例是關於如何將一個自然數分拆成若干個自然數的和，並使它們的積最大的問題。下面兩例則是如何將一個自然數按題目要求拆成若干個連續自然數的問題。

例5 將1994分拆成若干個連續自然數的和，一共有多少種不同的方法?

分析與解因1994=997×2=492+493+494+495，僅一種方法。所以，該題有唯一解。

例6 將35分拆成若干個連續自然數的和，一共有多少種不同的方法?

分析與解由於35=5×7=7×5，因此35可以分拆成2+3+4+5+6+7+8或5+6+7+8+9，一共有兩種方法。