《約數和倍數的意義》教學片斷及反思

【背景與導讀】

《約數和倍數》是人教版義務教材五年級下冊的教學內容。本節課屬於概念教學，可操作性不強，對學生來説比較抽象，理解較困難。可以説，目前，想把概念教學講透、講活是眾多數學教師所面臨的一個難題。理解約數和倍數的涵義是建立在“整除”的基礎之上。在之前學生對整除只是有個初步的認識，但還不能以嚴密的定義形式再現，所以我先讓學生通過給幾道除法算式求商，然後根據算式特點將算式分類，通過觀察、比較建立“整除”的意義。在此基礎上提出兩個數的另一種關係：約數和倍數的關係。通過自主學習、合作探究的形式，掌握約數和倍數的意義，並抓住了對關健詞“相互依存”的理解，又通過學生互辨互評的過程，以及趣味的變式練習，深化了對約數和倍數的理解。在整個新知識的教學中，學生始終保持着飽滿的熱情，積極地去探索、去體驗，主動地建構知識。

【案例與反思】

活動探究，建立整除概念。

[片斷一]

1.將下面幾道算式卡片分發到各小組

15÷36÷1.23÷224÷8

30÷153.3÷1.120÷6

師：先計算，再根據你們在計算時的體驗將這些算式分類，並説出分類的依據。

（小組計算、商討，彙報交流）

生1：我們組認為可以分為兩類，一類是除不盡的，另一類是除盡的。（同時展示）

（1）15÷3=5（2）7÷3=2……1

6÷1.2=520÷6=3……2

3÷2=1.5

24÷8=3

30÷15=2

3.3÷1.1=3

生2：我們組認為可以分為這樣的兩類：一類是被除數和除數都是整數的，另一類是被除數和除數有小數的。（同時展示）

（1）15÷3=5（2）6÷1.2=5

3÷2=1.53.3÷1.1=3

30÷15=2

7÷3=2……1

20÷6=3……2

生3：我覺得生1組的分類合理些，生2組的分類沒什麼意義。

生4：我們也同意生1組的分法，但我們認為還可以將第（1）類再分成兩類，這樣可以分成三類：一類是一般除盡的；一類是不僅能除盡並且整除的；一類是除不盡的。（同時展示）

（1）3÷2=1.5（2）15÷3=5（3）7÷3=2……1

6÷1.2=524÷8=320÷6=3……2

3.3÷1.1=330÷15=2

師：依據不同的標準，就有不同的分法。生3將能除盡的算式又分成了兩類，將整除算

式單獨列出來。你能用一句話或一幅圖表示整除和除盡的關係嗎？

（小組內商量）抽生彙報：能整除一定能除盡，能除盡不一定能整除，除盡的範圍要比整除的範圍大一些。

生：我們還可以用一個集合圖來表示整除和除盡的關係：

師：請你們再舉出幾道整除算式來。同桌交流。

師：如果用數a表示被除數，數b表示除數，數c表示商，那麼它們的整除條件是怎樣的？（小組內商量、彙報，師板書）

a÷b=c（1）a、b、c都是整數，並且沒有餘數。

（2）b不等於0。

師：一道除法算式如果具備了整除條件，我們就説數a能被數b整除，B能整除a。

生自讀教材整除定義。

師：那麼15÷3=5這個整除算式，誰能被誰整除，誰能整除誰？（抽幾名學生説一説）

小組內學生互説互評。

師：能否説3能被2整除？為什麼？

……

[反思]

理解“整除”是認識“約數和倍數”的前提，概念的學習，對學生來説比較抽象。教師必須激發學生的學習興趣，只有在學生主動的狀態下的學習才是最有效的，課堂上一方面要體現以學生為主體，另一方面要培養學生自我探究的意識，讓學生主動參與學習過程，才能激發他們的探究慾望，培養學生自主學習的能力。學生在以前雖然學習過整除，但已冷卻了很長時間，何況當時也沒有明確地下定義，而理解“整除”對於本節課很關鍵。於是我沒有按教材安排的那樣一開始就讓學生回憶什麼叫“整除”，而是依據學生對整除算式的表象印象將幾道除法算式求商後進行分類，進而從中篩選出整除算式，通過篩選對“整除”的表象深化，從而理解“整除的意義”。另外，我也不是將計算好的算式直接讓學生分類，而是先計算，再讓學生根據自己的實踐體驗，分類時也更有依據性。還把算式製成活動卡片的形式，創設了操作契機，學生分類也較靈便，學得也很積極主動。

[片斷二]

交流探索，理解“約數和倍數”

師：當數a能被數b整除時，它們也具備了另一種關係，那就是我們今天要學習的約數和倍數的關係。（板書課題）

這種關係是什麼樣的呢？自讀教材“約數和倍數”的意義。

自學提示：

（1）在什麼情況下兩個數才具有約數和倍數的關係？

（2）這種關係是怎樣的？

（3）“相互依存”是什麼意思？（可查字典）

生1：必須在整除的前提重要條件下，兩個數才具備約數和倍數的關係。（其他同學舉手同意）

生2：當數a能被數b整除時，a就是b的倍數，b就是a的約數或因數。如15÷3=5，15是3的倍數，3是15的約數。

生3：生2的回答很好，他還舉了例子，讓大家聽得非常明白。

師：（以7÷3=2……1為例）能説7是3的倍數，3是7的約數嗎？

生譁然：不能！

為什麼？

生4：約數和倍數必須建立在整除的前提條件下，7不能被3整除，所以不能説7是3的倍數，3是7的約數。

師作明白狀，然後擦掉不是整除的算式。

同桌相互説出一組數的約數和倍數的關係。

師：書中有這樣一句話，約數和倍數是相互依存的，怎樣理解？

生5：我們查過字典，也相互講座過，“相互依存”是相互依靠、相互依賴的意思，簡單地説，就是“相依為命，誰也離不開誰”。

師：我也以15÷3=5為例，因為15能被3整除，所以15是倍數，3是約數。請你們判斷我説的對嗎？

生：“對”“不對”

師：為什麼不對？

生15是3的倍數，但在30÷15=2中，15又是30的約數，所以不能單説15是倍數，它也可能成為另一個數的約數。必須説清誰是誰的倍數，誰是誰的約數。

師強調：這就是約數和倍數的相互依存交通系統，必須説清誰是誰的倍數，誰是誰的約數。

……

[反思]

在引入約數和倍數時，注意了新舊知識的聯繫，讓學生感受到新知識的生長點。認識約數和倍數的意義時，讓學生在看書自學的基礎上談收穫和體會，體現了讓學生在學習中的自主建構，而自學提示又給學生點亮了指明燈，讓學生學有目標。對於第一次認識的兩個數的約數和倍數關係，通過讓學生相互説、評的過程，加強了學生對“約數和倍數”的認識，又通過查字典、互辨互説中理解“相互依存”的含義，從而深化對“約數和倍數”的理解。而在數學課堂上查字典，學生感覺很新鮮，也體會到學科之間是相互聯繫的.，學生學得更主動了。

[片斷三]

趣味練習，深化主題。

課堂練習

……

課後練習第四題：下面哪些數是60的約數，哪些數是6的倍數

481256018

我是這樣設計的：將這幾個數製成數字卡片，抽兩名學生上黑板選出之後貼入下面的集合裏

生1選出12、5貼到第一個集合裏。

生2也選出48、18，然後又將12從第一個集合裏拿到第二個集合裏。（生1還沒看見）

生1剛拿到60，生2也去拿60，這樣兩人相持不下，“我的”“我的”

生1：哎，12本來是我的，你怎麼拿走了？（生1這才發現12已被生2拿走，而現在又在爭奪這個60）

其他同學都笑了。

師：同學們，你們看，這兩個數該給誰呢？

生：他們倆都對！（學生們都愣住了，噢，這兩個數他們都需要。）

師：誰能説説這説明了一個什麼道理？

生1：説明了一個數可能是某個數的約數，也可能是另一個數的倍數。

生2：這正説明了約數和倍數得相互依存的。

生3：正因為這樣，所以不能單説誰是約數，誰是倍數。一定要説清誰是誰的約數，誰是誰的倍數；誰的約數是誰，誰的倍數是誰。

……

[反思]

巧妙地將這個練習題設計成了趣味遊戲，將靜態教材動態化，符合學生的年齡特點。在兩個學生爭奪這兩個數時將課堂氣氛推向了高潮。不僅增強了數學學習的趣味性，而且使學生加深了對約數和倍數的認識，並對深化本節課的主題也起到了推波助瀾的作用。讓學生真正成為學習的主人，調動了學生學習數學的興趣。

[點評與拓展]

這節課是概念教學，教師沒有落入“枯燥乏味”的老套，而是根據學生的年齡特點和教材特點，靈活地駕馭教材，取得了非常好的教學效果。本節課在教學設計上體現了新的課程理念，注重了學生的主動參與、自主建構，讓學生在活動中理解約數和倍數的意義。教師在角色上只是作好引導，幫助學生質疑解難，當學生的學習有困難時，教師採用了分組討論，採取合作交流的學習方式排除疑難，讓學生真正成為學習的主人，親自品嚐到了成功的喜悦。

一是將靜態教材動態化。新課程強調教師不僅是教材的使用者，同時也是教材的開發者，本節教學中，教師在理解、研究教材的基礎上，在膽地對教材進行二度開發，實現了教材由靜態向動態的轉變。教師沒有如教材所提供的教學思路，先複習什麼是整除，然後找出整除算式，而是先將靜態的算式製成動態的卡片，為學生將算式進行分類提供了動態情境，成功地實現了“整除”在學生心中的辨別與概括的建構過程，也為下面學習約數和倍數做好了準備。在課堂練習時，教師又將靜態的選擇題設計成活動卡片的形式，不僅調動了學生的學習數學的興趣，而且深化了對約數和倍數的理解，實現了在數學課中的“活中樂、活中學、活中悟、活中索”的數學學習新體驗。

二是教學內容探究化。“教學不是告訴，”教師沒有直接把整除的意義告知學生，而是讓學生在算一算、比一比、擺一擺、議一議、説一説的過程中，探究除法算式的特點，感知整除與除盡、小數除法的不同；在學習約數和倍數的意義時，則通過自主學習與合作探究的形式，當有了疑難，則通過讓學生互辨互評的方式，順利地突破了重難點，體現了“學生是教學的主體”這一新課程的核心理念。

三是概念教學活動化。以往教師在概念教學中大多采用講解法，教學沉悶，教師講得吃力，學生聽得費勁。而在本節課中，教師讓學生在拼擺算式、合作交流、變式練習等形式使課堂氣氛活躍生動，學生學得輕鬆愉快，提高了學生學習數學的興趣。同時也培養了學生在活動中合作學習、團結互助的精神，拓展了學生的學習能力，學生也從中嚐到了成功的樂趣。