國中奧數練習

國中奧數練習1

1、打一份書稿，甲獨打需30天，乙單獨打需20天。甲、乙合打若干天后，甲停工休息，乙繼續打了5天完成。甲打了多少天?

2、修一條路，甲隊單獨修20天可以修完，乙隊單獨修25天可以修完。現在兩隊合修，中途甲隊休息3天，乙隊休息若干天，這樣一共用了15天才修完。乙隊休息了幾天?

3、搬運一個汽車的貨物，甲需12天，乙需15天，丙需20天。有同樣的裝貨汽車M和N，甲搬運M汽車的貨物，乙同時搬運N汽車的貨物。丙開始幫助甲搬運，中途又去幫助乙去搬運，最後同時搬完兩個汽車的貨物。丙幫助甲搬運了幾小時?

4、一項工作，如果單獨做，小張需10天完工，小李需12天完工，小王需15天完工。現在三人合作，中途小張先休息了1天，小李再休息3天，而小王一直工作到完工為止。這樣一共用了幾天時間?

5、甲、乙合做一項工程，20天完成。如果甲隊做7天，乙隊做5天，只能完成工程的1/3，兩隊單獨做完任務各需多少天?

6、一件工作，甲先獨做3天，然後與乙合做5天，這樣才完成全工程的一半。已知甲、乙工作效率的比是3：4。如果由乙單獨做，需要多少天才能完成?

國中奧數練習2

三角形中的恆等式：

對於任意非直角三角形中,如三角形ABC,總有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

證明：

已知(A+B)=(π-C)

所以tan(A+B)=tan(π-C)

則(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)

整理可得

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

類似地，我們同樣也可以求證:當α+β+γ=nπ(n∈Z)時，總有tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ

定義域和值域

sin(x),cos(x)的定義域為R，值域為[-1,1]。

tan(x)的定義域為x不等於π/2+kπ(k∈Z)，值域為R。

cot(x)的定義域為x不等於kπ(k∈Z),值域為R。

y=a·sin(x)+b·cos(x)+c 的值域為 [ c-√(a2+b2) , c+√(a2+b2)]

國中奧數練習3

1.下列各式中，不是整式的是 ( )

A.3a B.2x=1 C.0 D.x+y

2. 下列説法正 確的是( )

A、 是單項式 B、 沒有係數

C、 是一次一項式 D、3不是單項式

3.用整式表示“比a的平方的一半小1的數”是 ( )

A. ( a) B. a -1 C. (a-1) D. ( a-1)

4.在整式5abc，-7x +1,- ，21 ， 中，單項式共有 ( )

A.1個 B.2個 C .3個 D.4個

5.已知15m n和- m n是同類項，則∣2-4x∣+∣4x-1∣的`值為 ( )

A.1 B.3 C.8x-3 D.13

6.已知-x+3y=5，則5(x-3y) -8(x-3y)-5的值為 ( )

A.80 B.-170 C.160 D.60

7.下列整式的運算中，結果正確的是 ( )

A.3+x=3x B.y+y+y=y C.6ab-ab=6 D.- st+0.25st=0

8. 如果 是三次多項式， 是三次多項式，那麼 一定是 ( )

A、六次多項式 B、次數不高於三的整式

C、三次多項式 D、次數不低於三的整式

國中奧數練習4

1.甲、乙兩人在A、B兩地同時相向出發，4小時後在中間8公里處相遇，甲的速度是每小時8公里，求乙的速度?

2.甲、乙兩人在圓形池周圍練競走，水池周長7200公尺，甲乙以每分鐘180公尺、120公尺的速度同時出發，幾分鐘後利潤相遇?

3.利潤騎自行車從同一地點出發，沿周長900公里的環形路，若反向而行2分鐘就相遇，若同向而行經過18分快者追上慢者，求慢者的速度?

4.甲、乙兩架飛機從一個機場起飛，向同一方向飛行，甲、乙速度為每小時300公里和340公里，飛行4小時後，甲機要提速，2小時後追上乙，問甲的速度?

5.兄妹利潤同時從家出發上學，兄妹的速度為每分鐘90公尺和60公尺，兄到達校門時發現忘帶語文書，立即按原速原路返回，在離學校180公尺處與妹妹相遇，他們家距學校多遠?

6.甲、乙兩人練習跑步，若甲讓乙先跑10公尺，則甲跑5秒鐘追上乙，若甲讓乙先跑2秒，則甲跑4秒鐘就追上乙，求甲的速度?

7.甲、乙兩人在400公尺長的環形跑道上跑步，甲以每分鐘300公尺的速度從起點跑出1分鐘時，乙從起點同向跑出，從這時起甲用5分鐘趕上乙，乙每分鐘跑多少公尺?

8.甲、乙兩人同時從A點背向出發沿400公尺環形跑道行走，甲每分鐘走80公尺，乙每分鐘走50公尺，這二人最少用多少分鐘再在A點相遇?

9.狗追狐狸，狗跳一次前進18公尺，狐狸跳一次前進11公尺，狗每跳兩次時狐狸恰好跳3次，如果開始時狗離狐狸有30公尺，那麼狗跳多少公尺才能追上狐狸?

10.甲、乙二人在周長是120公尺的圓池塘邊散步，甲每分鐘走8公尺，乙每分鐘走7公尺，現在從同一地點同時出發，相背而行，出發後到第二次相遇用多少時間?

國中奧數練習5

試題一

計算：1234+2341+3412+4123=?

答案：11110.

詳解：

1234+2341+3412+4123

=(1000+200+30+4)+(20xx+300+40+1)+(3000+400+10+2)+(4000+100+20+3)

=(1000+20xx+3000+4000)+(100+200+300+400)+(10+30+30+40)+(1+2+3+4)

=10000+1000+100+10

=11110

試題二

甲倉存糧128噸，乙倉存糧52噸，甲倉每天運出12噸，乙倉每天運進7噸。那麼多少天以後兩倉的存糧就同樣多了?

(答案將在明天公佈，你會做嗎?)

答案：4天。

詳解：①甲、乙兩倉存糧相差多少噸?128-52=76(噸)

②每天運進19噸，76噸需要運多少天?76÷19=4(天)

列綜合算式為：(128-52)÷(12+7)=4(天)

試題三

姐姐做自然練習比妹妹做算術練習多用48分鐘，比妹妹做英語練習多用42分鐘;妹妹做算術、英語兩門練習共用了44分鐘。那麼妹妹做英語練習用了多少分鐘?

答案：25分鐘。

詳解：根據姐姐做自然練習與妹妹做算術練習和英語練習的時間比較知道，妹妹做英語練習的時間與她做算術練習的時間之差為：48-42=6(分鐘)

由題目的最後一個條件，妹妹做英語練習所需時間為(44+6)÷2=25(分鐘)

列綜合算式如下：[44+(48-42)]÷2=25(分鐘)

國中奧數練習6

1. 求證： ①(a+b+c)2+(a+b-c)2-(a-b-c)2-(a-b-c)2=8ab

②(x+y)4+x4+y4=2(x2+xy+y2)2 ③(x-2y)x3-(y-2x)y3=(x+y)(x-y)3

④3 n+2+5 n+2―3 n―5 n=24(5 n+3 n-1) ⑤a5n+a n+1=(a3 n-a2 n+1)(a2 n+a n+1)

2.己知：a2+b2=2ab 求證：a=b

3.己知：a+b+c=0

求證：①a3+a2c+b2c+b3=abc ②a4+b4+c4=2a2b2+2b2c2+2c2a2

4.己知：a2=a+1 求證：a5=5a+3

5.己知：x+y-z=0 求證： x3+8y3=z3-6xyz

6.己知：a2+b2+c2=ab+ac+bc 求證：a=b=c

7.己知：a∶b=b∶c 求證：(a+b+c)2+a2+b2+c2=2(a+b+c)(a+c)

8.己知：abc≠0，ab+bc=2ac 求證：

9.己知： 求證：x+y+z=0

10.求證：(2x-3)(2x+1)(x2-1)+1是一個完全平方式

11己知：ax3+bx2+cx+d能被x2+p整除 求證：ad=bc

國中奧數練習7

1、運送29.5噸煤，先用一輛載重4噸的汽車運3次，剩下的用一輛載重為2.5噸的貨車運。還要運幾次才能完?

還要運x次才能完

29.5-3*4=2.5x

17.5=2.5x

x=7

還要運7次才能完

2、一塊梯形田的面積是90平方米，上底是7米，下底是11米，它的高是幾米?

它的高是x米

x(7+11)=90*2

18x=180

x=10

它的高是10米

3、某車間計劃四月份生產零件5480個。已生產了9天，再生產908個就能完成生產計劃，這9天中平均每天生產多少個?

這9天中平均每天生產x個

9x+908=5408

9x=4500

x=500

這9天中平均每天生產500個

4、甲乙兩車從相距272千米的兩地同時相向而行，3小時後兩車還相隔17千米。甲每小時行45千米，乙每小時行多少千米?

乙每小時行x千米

3(45+x)+17=272

3(45+x)=255

45+x=85

x=40

乙每小時行40千米

5、某校六年級有兩個班，上學期級數學平均成績是85分。已知六(1)班40人，平均成績為87.1分;六(2)班有42人，平均成績是多少分?

平均成績是x分

40*87.1+42x=85*82

3484+42x=6970

42x=3486

x=83

平均成績是83分

6、學校買來10箱粉筆，用去250盒後，還剩下550盒，平均每箱多少盒?

平均每箱x盒

10x=250+550

10x=800

x=80

平均每箱80盒

國中奧數練習8

1。羊跑5步的時間馬跑3步，馬跑4步的距離羊跑7步，現在羊已跑出30米，馬開始追它。問：羊再跑多遠，馬可以追上它？

解：

根據“馬跑4步的距離羊跑7步”，可以設馬每步長為7x米，則羊每步長為4x米。 根據“羊跑5步的時間馬跑3步”，可知同一時間馬跑3*7x米=21x米，則羊跑5*4x=20米。

可以得出馬與羊的速度比是21x：20x=21：20

根據“現在羊已跑出30米”，可以知道羊與馬相差的路程是30米，他們相差的份數是21—20=1，現在求馬的21份是多少路程，就是30÷（21—20）×21=630米

2。甲乙輛車同時從a b兩地相對開出，幾小時後再距中點40千米處相遇？已知，甲車行完全程要8小時，乙車行完全程要10小時，求a b兩地相距多少千米？

答案720千米。

由“甲車行完全程要8小時，乙車行完全程要10小時”可知，相遇時甲行了10份，乙行了8份（總路程為18份），兩車相差2份。又因為兩車在中點40千米處相遇，説明兩車的路程差是（40+40）千米。所以算式是（40+40）÷（10—8）×（10+8）=720千米。

3。在一個600米的環形跑道上，兄兩人同時從同一個起點按順時針方向跑步，兩人每隔12分鐘相遇一次，若兩個人速度不變，還是在原來出發點同時出發，哥哥改為按逆時針方向跑，則兩人每隔4分鐘相遇一次，兩人跑一圈各要多少分鐘？

答案為兩人跑一圈各要6分鐘和12分鐘。

解：

600÷12=50，表示哥哥、弟弟的速度差

600÷4=150，表示哥哥、弟弟的速度和

（50+150）÷2=100，表示較快的速度，方法是求和差問題中的較大數

（150—50）/2=50，表示較慢的速度，方法是求和差問題中的較小數

600÷100=6分鐘，表示跑的快者用的時間

600/50=12分鐘，表示跑得慢者用的時間

4。慢車車長125米，車速每秒行17米，快車車長140米，車速每秒行22米，慢車在前面行駛，快車從後面追上來，那麼，快車從追上慢車的車尾到完全超過慢車需要多少時間？ 答案為53秒

算式是（140+125）÷（22—17）=53秒

可以這樣理解：“快車從追上慢車的車尾到完全超過慢車”就是快車車尾上的點追及慢車車頭的點，因此追及的路程應該為兩個車長的和。

國中奧數練習9

1.已知x2+x= 1 3 ，求6x4+15x3+10x2的值

2.已知a，b，c為實數，且滿足下式：a2+b2+c2=1，①，a( 1 b + 1 c )+b( 1 c + 1 a )+c( 1 a + 1 b )=3;②求a+b+c的值.

解：將①式變形如下，

a( 1 b + 1 c )+1+b( 1 c + 1 a )+1+c( 1 a + 1 b )+1=0，

即a( 1 a + 1 b + 1 c )+b( 1 a + 1 b + 1 c )+c( 1 a + 1 b + 1 c )=0，

∴(a+b+c)( 1 a + 1 b + 1 c )=0，

∴(a+b+c) bc+ac+ab abc =0，

∴a+b+c=0或bc+ac+ab=0.

若bc+ac+ab=0，則

(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(bc+ac+ab)=a2+b2+c2=1，

∴a+b+c=±1.

∴a+b+c的值為0，1，-1.

國中奧數練習10

對於比較複雜的問題，可以先觀察其簡單情況，歸納出其中帶規律性的東西，然後再來解決較複雜的問題。

習題1：10個三角形最多將平面分成幾個部分？

解：設n個三角形最多將平面分成an個部分。

n=1時，a1=2;

n=2時，第二個三角形的每一條邊與第一個三角形最多有2個交點，三條邊與第一個三角形最多有2×3=6（個）交點。這6個交點將第二個三角形的周邊分成了6段，這6段中的每一段都將原來的每一個部分分成2個部分，從而平面也增加了6個部分，即a2=2+2×3。

n=3時，第三個三角形與前面兩個三角形最多有4×3=12（個）交點，從而平面也增加了12個部分，即：

a3=2+2×3+4×3。

……

一般地，第n個三角形與前面（n—1）個三角形最多有2（n—1）×3個交點，從而平面也增加2（n—1）×3個部分，故

an=2+2×3+4×3+…+2（n—1）×3

=2+[2+4+…+2（n—1）]×3

=2+3n（n—1）=3n2—3n+2。

特別地，當n=10時，a10=3×102+3×10+2=272，即10個三角形最多把平面分成272個部分。