國中奧數練習題
1.下列各式中,不是整式的是 ( )
A.3a B.2x=1 C.0 D.x+y
2. 下列説法正 確的是( )
A、 是單項式 B、 沒有係數
C、 是一次一項式 D、3不是單項式
3.用整式表示“比a的平方的一半小1的數”是 ( )
A. ( a) B. a -1 C. (a-1) D. ( a-1)
4.在整式5abc,-7x +1,- ,21 , 中,單項式共有 ( )
A.1個 B.2個 C .3個 D.4個
5.已知15m n和- m n是同類項,則∣2-4x∣+∣4x-1∣的值為 ( )
A.1 B.3 C.8x-3 D.13
6.已知-x+3y=5,則5(x-3y) -8(x-3y)-5的值為 ( )
A.80 B.-170 C.160 D.60
7.下列整式的運算中,結果正確的是 ( )
A.3+x=3x B.y+y+y=y C.6ab-ab=6 D.- st+0.25st=0
8. 如果 是三次多項式, 是三次多項式,那麼 一定是 ( )
A、六次多項式 B、次數不高於三的整式
C、三次多項式 D、次數不低於三的整式
國中奧數練習題2三角形中的恆等式:
對於任意非直角三角形中,如三角形ABC,總有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
證明:
已知(A+B)=(π-C)
所以tan(A+B)=tan(π-C)
則(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)
整理可得
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
類似地,我們同樣也可以求證:當α+β+γ=nπ(n∈Z)時,總有tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ
定義域和值域
sin(x),cos(x)的定義域為R,值域為[-1,1]。
tan(x)的定義域為x不等於π/2+kπ(k∈Z),值域為R。
cot(x)的定義域為x不等於kπ(k∈Z),值域為R。
y=a·sin(x)+b·cos(x)+c 的值域為 [ c-√(a2+b2) , c+√(a2+b2)]
國中奧數練習題31.甲、乙兩人在A、B兩地同時相向出發,4小時後在中間8公里處相遇,甲的速度是每小時8公里,求乙的速度?
2.甲、乙兩人在圓形池周圍練競走,水池周長7200公尺,甲乙以每分鐘180公尺、120公尺的速度同時出發,幾分鐘後利潤相遇?
3.利潤騎自行車從同一地點出發,沿周長900公里的環形路,若反向而行2分鐘就相遇,若同向而行經過18分快者追上慢者,求慢者的速度?
4.甲、乙兩架飛機從一個機場起飛,向同一方向飛行,甲、乙速度為每小時300公里和340公里,飛行4小時後,甲機要提速,2小時後追上乙,問甲的速度?
5.兄妹利潤同時從家出發上學,兄妹的速度為每分鐘90公尺和60公尺,兄到達校門時發現忘帶語文書,立即按原速原路返回,在離學校180公尺處與妹妹相遇,他們家距學校多遠?
6.甲、乙兩人練習跑步,若甲讓乙先跑10公尺,則甲跑5秒鐘追上乙,若甲讓乙先跑2秒,則甲跑4秒鐘就追上乙,求甲的速度?
7.甲、乙兩人在400公尺長的環形跑道上跑步,甲以每分鐘300公尺的速度從起點跑出1分鐘時,乙從起點同向跑出,從這時起甲用5分鐘趕上乙,乙每分鐘跑多少公尺?
8.甲、乙兩人同時從A點背向出發沿400公尺環形跑道行走,甲每分鐘走80公尺,乙每分鐘走50公尺,這二人最少用多少分鐘再在A點相遇?
9.狗追狐狸,狗跳一次前進18公尺,狐狸跳一次前進11公尺,狗每跳兩次時狐狸恰好跳3次,如果開始時狗離狐狸有30公尺,那麼狗跳多少公尺才能追上狐狸?
10.甲、乙二人在周長是120公尺的圓池塘邊散步,甲每分鐘走8公尺,乙每分鐘走7公尺,現在從同一地點同時出發,相背而行,出發後到第二次相遇用多少時間?
國中奧數練習題41. 求證: ①(a+b+c)2+(a+b-c)2-(a-b-c)2-(a-b-c)2=8ab
②(x+y)4+x4+y4=2(x2+xy+y2)2 ③(x-2y)x3-(y-2x)y3=(x+y)(x-y)3
④3 n+2+5 n+2―3 n―5 n=24(5 n+3 n-1) ⑤a5n+a n+1=(a3 n-a2 n+1)(a2 n+a n+1)
2.己知:a2+b2=2ab 求證:a=b
3.己知:a+b+c=0
求證:①a3+a2c+b2c+b3=abc ②a4+b4+c4=2a2b2+2b2c2+2c2a2
4.己知:a2=a+1 求證:a5=5a+3
5.己知:x+y-z=0 求證: x3+8y3=z3-6xyz
6.己知:a2+b2+c2=ab+ac+bc 求證:a=b=c
7.己知:a∶b=b∶c 求證:(a+b+c)2+a2+b2+c2=2(a+b+c)(a+c)
8.己知:abc≠0,ab+bc=2ac 求證:
9.己知: 求證:x+y+z=0
10.求證:(2x-3)(2x+1)(x2-1)+1是一個完全平方式
11己知:ax3+bx2+cx+d能被x2+p整除 求證:ad=bc
國中奧數練習題51、運送29.5噸煤,先用一輛載重4噸的汽車運3次,剩下的用一輛載重為2.5噸的貨車運。還要運幾次才能完?
還要運x次才能完
29.5-3*4=2.5x
17.5=2.5x
x=7
還要運7次才能完
2、一塊梯形田的面積是90平方米,上底是7米,下底是11米,它的高是幾米?
它的高是x米
x(7+11)=90*2
18x=180
x=10
它的高是10米
3、某車間計劃四月份生產零件5480個。已生產了9天,再生產908個就能完成生產計劃,這9天中平均每天生產多少個?
這9天中平均每天生產x個
9x+908=5408
9x=4500
x=500
這9天中平均每天生產500個
4、甲乙兩車從相距272千米的兩地同時相向而行,3小時後兩車還相隔17千米。甲每小時行45千米,乙每小時行多少千米?
乙每小時行x千米
3(45+x)+17=272
3(45+x)=255
45+x=85
x=40
乙每小時行40千米
5、某校六年級有兩個班,上學期級數學平均成績是85分。已知六(1)班40人,平均成績為87.1分;六(2)班有42人,平均成績是多少分?
平均成績是x分
40*87.1+42x=85*82
3484+42x=6970
42x=3486
x=83
平均成績是83分
6、學校買來10箱粉筆,用去250盒後,還剩下550盒,平均每箱多少盒?
平均每箱x盒
10x=250+550
10x=800
x=80
平均每箱80盒
國中奧數練習題61。羊跑5步的時間馬跑3步,馬跑4步的距離羊跑7步,現在羊已跑出30米,馬開始追它。問:羊再跑多遠,馬可以追上它?
解:
根據“馬跑4步的距離羊跑7步”,可以設馬每步長為7x米,則羊每步長為4x米。 根據“羊跑5步的時間馬跑3步”,可知同一時間馬跑3*7x米=21x米,則羊跑5*4x=20米。
可以得出馬與羊的`速度比是21x:20x=21:20
根據“現在羊已跑出30米”,可以知道羊與馬相差的路程是30米,他們相差的份數是21—20=1,現在求馬的21份是多少路程,就是30÷(21—20)×21=630米
2。甲乙輛車同時從a b兩地相對開出,幾小時後再距中點40千米處相遇?已知,甲車行完全程要8小時,乙車行完全程要10小時,求a b兩地相距多少千米?
答案720千米。
由“甲車行完全程要8小時,乙車行完全程要10小時”可知,相遇時甲行了10份,乙行了8份(總路程為18份),兩車相差2份。又因為兩車在中點40千米處相遇,説明兩車的路程差是(40+40)千米。所以算式是(40+40)÷(10—8)×(10+8)=720千米。
3。在一個600米的環形跑道上,兄兩人同時從同一個起點按順時針方向跑步,兩人每隔12分鐘相遇一次,若兩個人速度不變,還是在原來出發點同時出發,哥哥改為按逆時針方向跑,則兩人每隔4分鐘相遇一次,兩人跑一圈各要多少分鐘?
答案為兩人跑一圈各要6分鐘和12分鐘。
解:
600÷12=50,表示哥哥、弟弟的速度差
600÷4=150,表示哥哥、弟弟的速度和
(50+150)÷2=100,表示較快的速度,方法是求和差問題中的較大數
(150—50)/2=50,表示較慢的速度,方法是求和差問題中的較小數
600÷100=6分鐘,表示跑的快者用的時間
600/50=12分鐘,表示跑得慢者用的時間
4。慢車車長125米,車速每秒行17米,快車車長140米,車速每秒行22米,慢車在前面行駛,快車從後面追上來,那麼,快車從追上慢車的車尾到完全超過慢車需要多少時間? 答案為53秒
算式是(140+125)÷(22—17)=53秒
可以這樣理解:“快車從追上慢車的車尾到完全超過慢車”就是快車車尾上的點追及慢車車頭的點,因此追及的路程應該為兩個車長的和。
國中奧數練習題7例1:甲,乙兩隊開挖一條水渠.甲隊單獨挖要8天完成,乙隊單獨挖要12天完成.現在兩隊同時挖了幾天後,乙隊調走,餘下的甲隊在3天內完成.乙隊挖了多少天
解:可以理解為甲隊先做3天后兩隊合挖的.=3(天)
例2:加工一批零件,甲單獨做20天可以完工,乙單獨做30天可以完工.現兩隊合作來完成這個任務,合作中甲休息了2 .5天,乙休息了若干天,這樣共14天完工.乙休息了幾天
解:分析:共14天完工,説明甲做(14-2.5)天,其餘是乙做的,用14天減去乙做的天數就是乙休息的天數.14-=1(天)
例3:一池水,甲,乙兩管同時開,5小時灌滿,乙,丙兩管同時開,4小時灌滿.現在先開乙管6小時,還需甲,丙兩管同時開2小時才能灌滿.乙單獨開幾小時可以灌滿
解:分析:把乙先開做6小時看作與甲做2小時,與丙做2小時,還有2小時,現在可理解為甲乙同開2小時,乙丙同開2小時,剩下的是乙2小時放的.1÷=20(小時)
例4:某工程,甲,乙合作1天可以完成全工程的.如果這項工程由甲隊單獨做2天,再由乙隊單獨做3天,能完成全工程的.甲,乙兩隊單獨完成這項工程各需要幾天
解:分析:可以理解為兩隊合作2天,餘下的是乙1天做的,乙的工效, 甲:=12(天)
例5:一項工程,甲先單獨做2天,然後與乙合做7天,這樣才能完成全工程的一半.已知甲,乙工效的比是2:3.如果這項工程由乙單獨做,需要多少天才能完成
解:分析:乙的工效是甲工效的3÷2=1.5倍,設甲的工效為x,乙的工效為1.5x,
(2+7)x+1.5x×7=,解之得:x=,乙工效1÷1.5x =26(天)
國中奧數練習題81.已知x2+x= 1 3 ,求6x4+15x3+10x2的值
2.已知a,b,c為實數,且滿足下式:a2+b2+c2=1,①,a( 1 b + 1 c )+b( 1 c + 1 a )+c( 1 a + 1 b )=3;②求a+b+c的值.
解:將①式變形如下,
a( 1 b + 1 c )+1+b( 1 c + 1 a )+1+c( 1 a + 1 b )+1=0,
即a( 1 a + 1 b + 1 c )+b( 1 a + 1 b + 1 c )+c( 1 a + 1 b + 1 c )=0,
∴(a+b+c)( 1 a + 1 b + 1 c )=0,
∴(a+b+c) bc+ac+ab abc =0,
∴a+b+c=0或bc+ac+ab=0.
若bc+ac+ab=0,則
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(bc+ac+ab)=a2+b2+c2=1,
∴a+b+c=±1.
∴a+b+c的值為0,1,-1.
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